-
Привет!
-
Допустим, у нас с вами есть круг.
-
И ещё мы знаем диаметр этого круга.
-
Я сейчас постараюсь его получше нарисовать.
-
Довольно неплохо получилось, да?
-
Это диаметр нашего круга.
-
Диаметр.
-
Допустим, у нас есть треугольник,
-
у которого одна из сторон – диаметр.
-
Угол, противолежащий этой стороне,
-
находится у вершины,
-
которая лежит где-то на окружности.
-
Допустим, что вершина
-
лежит где-то здесь на окружности.
-
Тогда треугольник будет выглядеть примерно так.
-
Вот так выглядит наш треугольник.
-
Я докажу вам в этом видео,
-
что этот треугольник будет прямоугольным.
-
А прямой угол будет находиться у вершины,
-
противолежащей диаметру.
-
Я пока не буду отмечать его на рисунке,
-
потому что мы это еще не доказали.
-
Давайте посмотрим, что мы сможем сделать,
-
чтобы показать это.
-
Мы уже знаем определение вписанного угла
-
и его отношение к центральному углу,
-
если они оба опираются на одну и ту же дугу.
-
Давайте посмотрим. Мы видим здесь вписанный угол.
-
Давайте обозначим его Ѳ.
-
Допустим, что здесь у нас центр нашего круга.
-
Тогда этот угол – центральный угол.
-
Давайте я нарисую ещё один треугольник,
-
нарисую еще одну линию.
-
Это у нас центральный угол. Это – радиус.
-
Здесь у нас тоже радиус.
-
Расстояния от центра одинаковы.
-
Мы выучили несколько видео тому назад, что этот угол,
-
вписанный угол, он относится к этой дуге.
-
Центральный угол, который стягивает ту же дугу,
-
будет в 2 раза больше.
-
Мы доказали это пару видео тому назад.
-
Значит этот угол будет равен 2Ѳ.
-
Это центральный угол,
-
который опирается на ту же самую дугу.
-
Теперь, этот треугольник у нас равнобедренный.
-
Я могу повернуть его и зарисовать вот так.
-
Я немного поверну, и он будет выглядеть так,
-
а зелёная сторона будет выглядеть вот так.
-
И обе эти стороны по длине равны r.
-
Верхний угол равен 2Ѳ.
-
Всё, что я сделал – просто повернул его,
-
чтобы нарисовать его таким образом.
-
Эта сторона – это данная сторона.
-
Т.к. две стороны равны,
-
это равнобедренный треугольник.
-
Значит, два угла у основания должны быть одинаковыми.
-
Этот и этот угол у основания равны.
-
Подумаем, я уже использовал Ѳ,
-
тогда сейчас давайте использовать х.
-
Здесь будет х, и здесь будет х.
-
Чему будет равен х?
-
х+х+2Ѳ=180°.
-
Они все относятся к одному треугольнику.
-
Давайте я запишу это.
-
х+х+2Ѳ - всё должно равняться 180°.
-
Или получаем, что 2х+2Ѳ=180.
-
Или 2х=180-2Ѳ.
-
Делим всё на 2 и получаем: х=90-Ѳ.
-
Т.е. х=90-Ѳ.
-
Что ещё мы можем здесь сделать?
-
Посмотрите на этот треугольник.
-
В этом треугольнике стороны тоже имеют такие же длины.
-
Это тоже радиус треугольника.
-
Эту сторону мы уже обозначили, что это радиус.
-
Т.е. снова: это тоже равнобедренный треугольник.
-
Эти две стороны равны,
-
значит, углы у основания тоже равны.
-
Здесь Ѳ, значит здесь тоже будет Ѳ.
-
Мы использовали эти данные,
-
когда показывали отношение вписанного угла к центральному,
-
если они опираются на одну дугу.
-
Итак, тут и тут Ѳ, т.к. это углы равнобедренного треугольника.
-
Чему равен весь большой угол?
-
Он будет равен: Ѳ+90-Ѳ.
-
Ѳ сокращается.
-
Если одна из сторон моего треугольника является диаметром,
-
и вершина противолежащего угла лежит на окружности,
-
тогда угол при ней будет прямым.
-
И треугольник, соответственно, будет прямоугольным.
-
Я нарисовал просто пример из головы.
-
Если бы я, например, взял точку здесь.
-
Нарисовал бы вот так и вот так.
-
Этот угол был бы прямым.
-
Если я нарисую вот так, то прямым будет этот угол.
-
Для каждого примера я могу применить то же доказательство.
-
Сейчас я показал очень общий пример,
-
но правило будет применимо
-
для любого подобного треугольника.