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A probabilidade é uma área da matemática
que está por toda a parte.
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Ouvimos falar dela
nas previsões meteorológicas,
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por exemplo, quando há 80%
de probabilidade que neve amanhã.
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Usa-se nos prognósticos do desporto,
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por exemplo, para determinar
quem vai ganhar a Super Taça.
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Também se usam as probabilidades
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para calcular as taxas
dos seguros automóveis
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e é o que permite o funcionamento
dos casinos e das lotarias.
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Como é que as probabilidades nos afetam?
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Vejamos um problema simples
de probabilidades.
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Compensa responder ao acaso
todas as 10 perguntas
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dum questionário Verdade/Falso?
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Por outras palavras,
se atirarmos ao ar uma moeda,
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10 vezes, e a usarmos
para escolher as respostas,
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qual é a probabilidade
de atingirmos um resultado perfeito?
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Parece bastante simples.
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Só há dois resultados possíveis
para cada pergunta.
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Mas num questionário
de 10 perguntas, Verdade/Falso
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há numerosas formas possíveis de arranjar
combinações diferentes de V e F.
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Para perceber quantas
combinações diferentes,
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pensemos num questionário muito
mais pequeno de Verdade/Falso
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apenas com duas perguntas.
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Podemos responder
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"Verdade, Verdade" ou "Falso, Falso",
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ou uma de cada:
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primeiro "Falso", depois "Verdade",
ou primeiro "Verdade", depois "Falso".
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Portanto, são quatro formas diferentes
de escrever as respostas
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para um questionário de duas perguntas.
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E se for um questionário de 10 perguntas?
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Desta vez, são demasiadas formas
para contar e listar à mão.
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Para responder a esta pergunta,
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precisamos de saber
o Princípio Fundamental da Contagem.
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O Princípio Fundamental da Contagem
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afirma que, se há A resultados possíveis
para um acontecimento,
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e B resultados possíveis
para outro acontecimento,
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então há A vezes B formas
de agrupar os resultados.
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Obviamente, isto fuciona
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para um questionário
de duas perguntas Verdade/Falso.
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Há duas respostas diferentes
para a primeira pergunta
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e duas respostas diferentes
para a segunda pergunta.
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Isso faz 2 vezes 2,
ou seja, 4 formas diferentes
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de responder a um questionário
de duas perguntas.
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Agora consideremos
o questionário de 10 perguntas.
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Para isso, basta-nos alargar um pouco
o Príncípio Fundamental da Contagem.
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Precisamos de perceber
que há duas respostas possíveis
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para cada uma das 10 perguntas.
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Portanto, o número
de resultados possíveis é:
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2 vezes 2, vezes 2, vezes 2, vezes 2,
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vezes 2, vezes 2, vezes 2,
vezes 2, vezes 2.
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Ou, numa forma mais abreviada,
2 elevado à potência 10,
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ou seja, igual a 1024.
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Isto significa que, entre todas as formas
de escrever os V e F,
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só uma das 1024 formas corresponderá
perfeitamente à resposta.
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Portanto, a probabilidade de atingirmos
uma pontuação perfeita, quando ao acaso,
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é apenas de 1 em 1024,
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ou seja, cerca de 0,1%.
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Obviamente, responder ao acaso
não é boa ideia.
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Qual seria o resultado mais comum,
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se nós e os nossos amigos
respondêssemos sempre ao acaso
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a todas as perguntas, num questionário
de 10 perguntas Verdade/Falso?
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Nem toda a gente obteria sempre
5 certas em 10 respostas.
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Mas a pontuação média,
a longo prazo, seria 5.
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Numa situação como esta,
há dois resultados possíveis:
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uma resposta está certa ou errada.
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A probabilidade de ter
uma resposta certa, por palpite,
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é sempre a mesma: metade.
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Para encontrar o número médio
de respostas certas, por palpite,
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multiplicamos o número de perguntas
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pela probabilidade de obter
uma resposta certa.
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Neste caso, é 10 vezes 1/2,
ou seja 5.
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É preferível estudar
para os questionários,
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visto que não compensa responder ao acaso.
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Mas a certa altura, podemos ter que fazer
um teste de respostas múltiplas,
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e muita gente responderá
a algumas perguntas, por palpite.
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Se houver 20 perguntas
e cinco respostas possíveis
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para cada pergunta, qual é a probabilidade
de acertar em todas as 20
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respondendo ao acaso?
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Que pontuação podemos esperar?
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Vamos usar o que atrás foi dito.
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Primeiro, como a probabilidade de acertar
numa resposta, por palpite, é de 1/5,
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podemos esperar obter 1/5
de respostas certas às 20 perguntas.
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Bolas, são apenas quatro perguntas!
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Acham que a probabilidade de responder
certo às 20 respostas, é pequena?
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Vamos lá ver até que ponto é pequena.
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Lembram-se do Princípio Fundamental
da Contagem, que referimos atrás?
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Com cinco resultados possíveis,
para cada pergunta,
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temos que multiplicar 5 vezes 5,
vezes 5, vezes 5, vezes...
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Bem, vamos usar o 5 como fator 20 vezes
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e elevar 5 à potência 20.
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O resultado é 95 biliões,
365 milhares de milhões,
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431 milhões, 648 mil e 625.
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Uau! é uma enormidade!
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Portanto, a probabilidade de obter
todos os resultados certos, por palpite,
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é de cerca de 1 em 95 biliões.
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