-
Välkomna tillbaka.
-
Jag vill i denna presentation visa er
-
hur vi kan använda integrering för att beräkna
-
arean under en graf.
-
Jag ska faktiskt fokusera lite mer
-
på intuitionen.
-
Låt oss använda ett exempel från fysiken.
-
Jag ska använda avstånd och hastighet.
-
Faktiskt kan detta vara en bra genomgång av derivering,
-
eller en tillämpning av derivering.
-
Låt oss anta att jag beskriver positionen
-
av något i rörelse
-
Låt oss kalla det för s.
-
Vi låter s vara lika med, t.ex. 16 t i kvadrat.
-
Ok?
-
Så s är avståndet.
-
Jag skriver det i hörnet här.
-
Jag vet inte varför konventionen är att använda s
-
som variabeln för avstånd.
-
Man skulle ju kunna tro att, eller i och för sig, jag vet det faktiskt, varför använder man inte d?
-
Jag antar att det är för att d används för differentialer.
-
Alltså betecknar s avstånd, och t betecknar tiden.
-
Detta är en formel som berättar positionen för oss, alltså
-
hur långt något har färdats, efter x antal,
-
låt oss säga ,sekunder, ok?
-
Så efter t.ex., 4 sekunder, skulle vi ha gått, vi säger
-
att avståndet är i feet (gammal längdenhet) och detta är i sekunder.
-
Efter 4 sekunder, skulle vi ha färdats 256 feet.
-
Det är allt formeln säger.
-
Jag ska rita en graf också.
-
Rita en graf.
-
Det vart en förfärligt ful linje.
-
Jag ska använda linje-verktyget, kanske är jag mer lyckosam.
-
Det blev något bättre.
-
Jag tar bort den också, eftersom jag endast vill teckna
-
grafen för positiva värden för t.
-
För du kan ju inte färdas tillbaka i tiden.
-
Vad gäller denna föreläsning, så kan du inte
-
färdas tillbaka i tiden.
-
Vi får nöja oss med denna.
-
Så denna kurva är i grund och botten en parabel, eller hur?
-
Den ser ut ungefär så här.
-
Du kan bara genom att titta på den
-
få en bra uppfattning om den.
-
Objektet rör sig lite till för varje sekund
-
som går.
-
Alltså accelererar den.
-
Så om vi vill försöka finna ut hastigheten
-
för denna objekt?
-
Det här är, låt mig se, det här är d, och det här är t.
-
Och detta är, jag vet inte om det är tydligt, men detta är
-
som en halv parabel.
-
Detta är avståndsfunktionen.
-
Vad blir hastigheten?
-
Hastigheten är ju bara, vad är hastigheten?
-
Det är lika med avstånd delad på tid, eller hur?
-
Och eftersom detta avstånd hela tiden ändras,
-
vill vi finna ut den momentana (ögonblickliga) hastigheten.
-
Och det är faktiskt en av de första tillämpningarna som
-
gjorde derivatan så användbart.
-
Vi vill finna förändringen i formeln, den momentana förändringen
-
med avseende på tiden, eller hur?
-
Därför att detta är formeln för avstånd.
-
Alltså om vi känner till den momentana förändringstakten för avståndet
-
med avseende på tiden, så känner vi till hastigheten.
-
Så var är ds/dt lika med?
-
Så vad blir derivatan här?
-
Det blir 32t, eller hur?
-
Och detta är hastigheten.
-
Kanske att jag ska ändra tillbaka till (annan färg), låt mig skriva ner det,
-
v är lika med hastighet (velocity).
-
Jag vet inte varför jag bytte färg, men jag ska fortsätta
-
använda gult.
-
Låt oss teckna grafen till funktionen.
-
Den blir faktiskt ganska enkel att rita.
-
Den är ganska rät.
-
Och så ritar vi x-axeln.
-
Jag gör ganska bra ifrån mig.
-
OK.
-
Detta, jag ska rita det i rött, detta ska bli
-
en linje, eller hur?
-
32t, det är en linje med lutning 32.
-
Det är faktiskt en ganska brant linje.
-
Jag ska inte rita den så brant eftersom jag ska använda
-
den för en illustration.
-
Detta är alltså hastigheten.
-
Detta är hastigheten.
-
Detta är grafen, och detta är avståndet, eller hur?
-
Ifall att du inte redan har lärt dig det, och kanske att jag gör en
-
hel presentation om hur man använder matematisk analys inom fysik, och
-
användning av derivata inom fysik.
-
Men om du har ekvationen för avståndet, blir dess derivata
-
lika med hastigheten.
-
Och jag antar att ifall du ser den från andra hållet, om du
-
har hastigheten, blir dess integral lika med avståndet.
-
Fastän du inte känner till var, vid vilken position,
-
föremålet startade.
-
I detta fall, började föremålet vid positionen 0,
-
men den skulle ha kunnat starta vid vilket konstant värde som helst, eller hur?
-
Du hade kunnat starta här och sedan svängt uppåt.
-
Hursomhelst, låt oss anta att vi startade vid 0.
-
Så derivatan av avstånd är hastighet, och integralen
-
av hastighet är avstånd.
-
Håll det i åtanke.
-
Låt oss se på detta.
-
Vi antar att vi endast har fått denna graf.
-
Och vi säger att detta är grafen för
-
hastigheten för något föremål.
-
Och vi vill veta vad avståndet är
-
efter t sekunder, eller hur?
-
Så detta är t-axeln, och detta är hastighets-axeln.
-
Låt oss anta att vi endast har fått denna information, och att vi inte
-
känner till att integralen av hastigheten är
-
avståndsfunktionen.
-
Hur tar vi reda på, hur tar vi reda på vad
-
avståndet är vid varje given tid?
-
Låt oss betänka det.
-
Om vi har en konstant, denna röda färg är ganska blodig.
-
Jag ska byta till något trevligare.
-
Om vi har, för varje liten tidsintervall, eller om
-
vi har en konstant hastighet, när man har en konstant hastighet,
-
avstånd är lika med hastighet gånger tid.
-
Låt oss anta att vi har en väldigt liten
-
tidsintervall här, ok?
-
Jag ritar den stor, men egentligen är denna tidsintervall
-
väldigt liten.
-
Vi kallar denna lilla tidsintervall for
-
delta t, eller dt.
-
Sättet som jag har använt dt, är som en förändring i tiden
-
som är otroligt liten, eller hur?
-
Så den är nästan ögonblicklig, men bara nästan.
-
Du kan förresten se den som ögonblicklig.
-
Detta är alltså hur mycket tid som har gått.
-
Du kan föreställa dig detta som en väldig liten förändring i tiden.
-
Så om vi har en väldig liten förändring i tiden, och under denna
-
lilla tid, är hastigheten mer eller mindre konstant,
-
vi säger att detta är den mer eller mindre konstanta hastigheten.
-
Så, detta är hastigheten, och om vi har denna jättesmå
-
förändringen i tid, så har vi denna ungefärlig konstanta hastighet
-
som är på denna graf.
-
Jag tecknar den här.
-
Vi har en ungefärlig konstant hastighet.
-
Så avståndet som föremålet färdas under den lilla tiden
-
blir den lilla tiden gånger hastigheten.
-
Det blir den röda linjens värde gånger
-
bredden på avståndet.
-
Så hur kan vi säga det annorlunda?
-
Visuellt så gjorde jag detta tidigare än planerat, men
-
vad är det som händer här?
-
Om jag tar förändringen i tiden, vilket är
-
basen i denna rektangel, och multiplicerar det med hastigheten
-
vilket faktiskt är höjden av denna rektangel,
-
vad har jag kommit fram till då?
-
Då har jag beräknat arean av rektangeln?
-
Ok, så den momentana hastigheten gånger förändringen i tiden
-
vid denna ögonblick, är inget annat än
-
arean av denna jättesmå rektangel.
-
Smal och lång.
-
Den är nästan försvinnande smal, men vi antar för
-
våra syften att den har en liten teoretisk bredd.
-
Så vi har beräknat den här rektangelns area.
-
Så, om vi vill ta reda på avståndet som du
-
färdas efter, låt oss säga
-
t sekunder, låt oss säga s0 (nedsänkt 0), ok?
-
Detta är bara en specifik t.
-
Efter t0 (nedsänkt 0), ok?
-
Ok då, allt vi måste göra är att, vi måste bara
-
beräkna, vi skulle bara sätta ihop en bunt av dt:n, eller hur?
-
Vi tar en till härifrån, vi beräknar arean av
-
denna rektangel, vi beräknar denna rektangels area, och
-
så dennas.
-
Var och en av dessa rektanglars areor
-
representerar avståndet som föremålet har färdats
-
över den dt.
-
Så om du vill beräkna hur långt du har färdats efter t0
-
sekunder, skulle du i grund och botten få, eller en approximation skulle
-
ge dig, summan av alla dessa areor.
-
Och allteftersom du får fler och fler, allteftersom du gör dina dt mindre
-
och mindre, smalare, smalare, smalare.
-
Och du får fler och fler och fler och fler av dessa
-
rektanglar, då närmar sig din approximation
-
två saker.
-
Den kommer ganska nära, som du kan föreställa dig, arean
-
under denna graf, eller i detta tillfälle denna linje.
-
Men du får också tillnärmelsevis den exakta
-
avståndet som du har färdats efter t0 sekunder.
-
Jag tror att jag håller på att passera 10-minuters gränsen, så jag
-
ska bara pausa här, och fortsätta detta
-
i nästa presentation.
