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Bem vindos de volta
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Nessa apresentação, quero mostrar
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como usamos uma primitiva de uma
função para descobrir
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a área sob uma curva.
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Na verdade vou focar mais
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na noção intuitiva.
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Vamos usar então um exemplo da física
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Vou usar distância e velocidade.
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Essa pode ser uma boa revisão, ou mesmo
uma aplicação de derivadas
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Digamos que eu descreva a posição
de algo se movendo
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Vamos chamar de "s".
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Vamos dizer que s é igual a
16 vezes t ao quadrado
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Certo? Então, s é distância
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Vou escrever isso no canto
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Não sei por que é convencional usar S
como a variável para distância.
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Você pode pensar, por que não usar "d"?
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É porque a letra d é usada para
diferenciais, eu acho.
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Então "s" representa distância,
e "t" representa tempo.
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Então, essa é uma fórmula que nos diz a
posição, ou seja,
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o quão longe alguma coisa chegou após,
bom, "x" segundos, certo?
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Depois de quatro segundos, teríamos
ido, por exemplo,
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essa distância em pés, e aqui em segundos
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Depois de quatro segundos, estaríamos
256 pés à frente
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Isso é o que diz aqui.
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Vou desenhar isso no gráfico também.
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Desenhar o gráfico...
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Essa linha ficou horrível.
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Vou usar a ferramenta de linha,
talvez seja melhor
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Está um pouco melhor.
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Na verdade, vou fazer novamente,
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por que só quero os valores
positivos
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Por que você não pode voltar no tempo.
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Para o propósito dessa aula,
você não pode voltar no tempo.
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Então isso vai servir.
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Essa curva, essencialmente, vai ser
uma parábola
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Vai se parecer com isso:
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Então, na verdade,
só olhando aqui
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O objeto a cada segundo está indo
um pouco mais longe
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Então, está acelerando.
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E se nós quiséssemos saber
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qual a velocidade desse objeto
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Vamos ver, esse é d, esse é t
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E aqui está, não sei se ficou claro,
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mas temos uma meia parábola.
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Então essa é a função da distância.
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Qual seria a velocidade?
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A velocidade, o que é velocidade?
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É a distância dividida pelo tempo
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E como a velocidade sempre está mudando
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queremos saber a velocidade instantânea.
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E esse na verdade é um dos primeiros casos
nos quais as derivadas foram tão úteis.
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Queremos saber a variação
instantânea
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de acordo com o tempo
nessa fórmula
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Por que essa é a fórmula da distância.
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Então se soubermos a taxa instantânea
de variação da distância
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em relação ao tempo, teremos
a velocidade, certo?
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Então, ds/dt é igual a?
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Qual é a derivada aqui?
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É 32t, certo?
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E essa é a velocidade.
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Vou voltar e escrever isso
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v é igual a velocidade
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Não sei por que troquei a cor
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mas vou manter o amarelo.
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Vamos ao gráfico da função.
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Vai ser um gráfico simples de se desenhar.
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Ficou reto.
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Então desenhamos o eixo x.
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Estou indo bem.
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Ok.
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Vou desenhar aqui de vermelho,
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vai ser uma linha reta
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32t é uma linha com inclinação 32.
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É uma linha íngreme.
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Não vou desenhar tão íngreme, por que
irei usar para uma ilustração.
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Aqui está a velocidade.
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Essa é a velocidade.
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Este gráfico é daqui, e essa
é a distância
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No caso de você ainda não saber,
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talvez eu faça uma apresentação toda
sobre usar cálculo na física
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ou derivadas na física.
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Mas se você tem a fórmula da distância,
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sua derivada é a velocidade.
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E eu acho que se você olhar
ao contrário
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se você tem a velocidade, sua
primitiva é a distância.
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Embora você não saiba onde,
de qual posição
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o objeto partiu.
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Nesse caso, o objeto partiu da
posição zero,
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mas poderia ser em qualquer
posição
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Você poderia ir daqui para cima.
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Mas vamos dizer que partimos do zero.
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Então, a derivada da distância é a
velocidade,
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e a primitiva da velocidade é
a distância.
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Lembre-se isso.
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Bom, vamos olhar aqui.
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Vamos supor que só tivéssemos
esse gráfico.
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E como dissemos, esse é o gráfico da
velocidade de algum objeto.
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E queremos saber qual é a distância após
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t segundos
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Então esse é o eixo t, esse é o
eixo da velocidade
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Vamos supor que só tivéssemos esse,
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e que não soubéssemos que a primitiva
da função velocidade é a função distância.
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Como poderíamos saber
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qual seria a distância num certo momento?
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Vamos pensar nisso.
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Se temos uma constante
(esse vermelho cor de sangue,
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vou trocar por uma cor mais agradável)
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Se tivermos, em qualquer pequeno
período de tempo, velocidade constante
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a distância é só velocidade
vezes tempo.
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Vamos dizer que em um pequeno
fragmento de tempo aqui
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Vou desenhar grande, mas digamos que esse
fragmento é bem pequeno.
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E vamos chamar esse fragmento de tempo
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de delta t, ou dt.
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Estou usando dt é como uma
variação no tempo
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que é inacreditavelmente pequena
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É quase instantânea, mas não chega a ser.
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Ou você pode ver como instantânea.
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Então aqui é quanto tempo se passa.
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Você pode ver isso como uma
pequena variação no tempo.
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Então se temos uma pequena
variação de tempo,
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e se nessa variação temos uma velocidade
praticamente constante,
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vamos dizer que a velocidade praticamente
constante é essa.
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Certo, essa é a velocidade, então digamos
que durante essa pequena mudança
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no tempo, temos essa velocidade
praticamente constante
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que está no gráfico
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Deixe-me mostrar aqui.
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Temos essa velocidade quase constante.
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Então a distância que o objeto percorreu
nesse pequeno tempo
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seria esse pequeno tempo vezes
a velocidade
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Seria qualquer valor nessa linha vermelha,
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vezes o valor dessa distância
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Então, qual o outro jeito?
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Visualmente eu já fiz isso antes
do tempo,
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mas o que há aqui?
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Se eu pegar essa variação do tempo,
representada pela
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base desse retângulo, e multiplicar
pela velocidade
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que é a altura desse retângulo,
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o que eu descobri?
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Descobri a área desse retângulo
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Certo, a velocidade nesse momento,
vezes a variação do tempo
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nesse momento, é nada mais que
a área desse retângulo fino.
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Fino e alto
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É quase infinitamente fino, mas
estamos considerando
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para nosso propósito que ele tem
uma certa quantidade de largura.
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Então ali descobrimos a área
dessa coluna
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Bom, se quiséssemos descobrir
a distância percorrida depois de
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bom, não sei, vamos ver,
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t, vamos dizer, "t zero"
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É só um t em particular.
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depois de "t zero" segundos
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Então, tudo que temos que fazer,
é marcarmos vários dts.
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Marcamos um dt aqui...
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descobrimos a área dessa coluna,
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calculamos a área desta coluna...
e desta...
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Por que a área de
cada coluna
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representa a distância que
o objeto percorre
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durante aquele dt
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Então se você quisesse saber o
quão longe você foi após
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"t zero" segundos, uma boa aproximação
pode ser calculada através
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da soma de todas essas áreas.
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E conforme diminuirmos a distância
entre os dts,
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maior será o número
de retângulos
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então a aproximação ficará muito próxima,
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bom, de duas coisas.
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Ficaria próximo, como você pode
imaginar, da área
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sob essa curva, ou nesse caso, essa linha.
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Mas nos leva também muito próximo
do valor exato
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da distância que foi percorrida
depois de "t zero" segundos.
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Acho que já estou chegando ao
limite de dez minutos,
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então vou pausar aqui e continuar
na próxima apresentação.
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Legendado por [Renan Rodrigo]
