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Bienvenido de nuevo.
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En esta presentación, que en realidad quiere que le muestre cómo
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podemos utilizar la antiderivada de averiguar el
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área bajo la curva.
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En realidad, yo voy a enfocar más un poco más
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en la intuición.
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Así que realmente utiliza un ejemplo de la física.
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Voy a usar la distancia y la velocidad.
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Y en realidad esto podría ser una buena revisión de los derivados,
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o en realidad una aplicación de los derivados.
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Así que vamos a decir que me describió la posición de
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que algo se movía.
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Digamos que la s.
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Digamos que s es igual a, no sé, 16 toneladas al cuadrado.
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¿No?...
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Así que s es la distancia.
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Permítanme escribir esto en la esquina.
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No sé por qué la convención es usar s
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como la variable de la distancia.
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Uno podría pensar, bueno en realidad, lo sé, ¿por qué no usan d?
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Debido a que d es la letra utilizada para el diferencial, supongo.
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Así que s es igual a la distancia, y entonces t es igual al tiempo.
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Así que esto es sólo una fórmula que nos dice la posición, tipo
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cómo de lejos ha ido algo, después de muchas X de, digamos,
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segundos, ¿verdad?
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Así que después de unos, 4 segundos, se habría ido, digamos que
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la distancia en pies, esto es en cuestión de segundos.
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Después de 4 segundos, nos habríamos ido de 256 pies.
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Eso es todo lo que dice.
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Y permítanme gráfico que también.
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Gráfico de la misma.
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Eso es una línea horrible.
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Hay que usar la herramienta de línea, que tenga mejor suerte.
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Está un poco mejor.
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En realidad, déjenme deshacer eso también, porque quiero hacerlo
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para t positiva, de acuerdo?
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Porque realmente no puedes volver hacia atrás en el tiempo.
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Para cumplir con los objetivos de esta clase, no puedes
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volver en el tiempo.
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Así que esto tendrá que servir.
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Así que esta curva esencialmente será sólo una parábola, de acuerdo?
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Parecerá algo así.
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Por lo que, realmente, cuando lo veas,
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podrías medirlo a ojo.
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El objeto, por cada segundo que le des, irá un poquito
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más lejos, verdad?
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Por lo que de hecho está accelerando.
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Así que, qué pasaría si quisiéramos medir a qué velocidad va
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este objeto, si?
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Esto es, veamos, esto es la d, esto la t, verdad?
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Y esto es, no sé si se ve claro, pero esto es
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una especie de 1/2 parábola.
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Así que esto es la función de distancia.
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¿Cuál sería la velocidad?
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Pues la velocidad sería, ¿qué es la velocidad?
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Es la división entre distancia y tiempo, verdad?
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Y como ésta velocidad está siempre cambiando,
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queremos resolver la velocidad instantánea.
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Y este es uno de los usos iniciales de lo que hicieron
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a las derivadas tan útiles.
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Así que queremos encontrar el cambio, el cambio instantáneo
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en respeto al tiempo en esta fórmula, ¿sí?
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Porque esta es la fórmula de distancia.
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Por lo que si sabemos el ratio de cambio de distancia con
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respeto al tiempo, conoceremos la velocidad, ¿sí?
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Así que ds, dt, ¿es igual a...?
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¿Cuál es la derivada?
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Es 32t, ¿verdad?
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Y esta es la velocidad.
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Quizás debería volver hacia atrás, déjame escribir que,
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v es igual a velocidad.
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No sé porque he cambiado de colores, pero me quedaré
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con el amarillo.
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Vamos a poner esta función en gráfica.
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Esta gráfica será bastante sencilla de dibujar.
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Es bastante recta.
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Y luego dibujamos el eje X.
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Lo estoy haciendo bastante bien.
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Ok.
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Así que esto, lo dibujaré en rojo, esto va a ser
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una linea, ¿verdad?
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32t es una linea con pendiente 32.
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Así que es una linea bastante empinada.
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No la dibujaré tan empinada porque voy a utilizarla
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para hacer una ilustración.
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Así que esto es la velocidad.
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Esto es velocidad.
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Esta es aquella gráfica, y esto es la distancia, ¿verdad?
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Así que si aun no lo habías aprendido, quizás haré una
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presentación entera sobre utilizar cálculo para física, y
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utilizar derivadas para física.
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Pero si tienes una fórmula de distancia, su derivada
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es sólo velocidad.
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Y supongo que si lo ves de la otra forma, si
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tienes la velocidad, la antiderivada es la distancia.
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Aunque no sabrás donde, en qué posición
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empezó el objeto.
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En este caso, el objeto empezó en la posición 0,
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pero podría ser, sabes, cualquier constante, ¿verdad?
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Podrías haber empezado aquí y hecho la curva hacia arriba.
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Aun así, vamos a suponer que empezamos con el 0.
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Así que la derivada de la distancia es la velocidad, la antiderivada
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de la velocidad es distancia.
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Mantén eso en mente.
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Vamos a mirar esto.
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Vamos a suponer que sólo nos dieron este gráfico.
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Y dijimos, te acuerdas, que esta es la gráfica de
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la velocidad de algún objeto.
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Y queremos averiguar cuál es la distancia tras, sabes,
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T segundos, ¿verdad?
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Así que este es el eje T, este es el eje velocidad, ¿de acuerdo?
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Digamos que sólo nos dieron esto, y digamos que no
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sabíamos que la antiderivada de la función de velocidad es
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la función de distancia.
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¿Cómo averiguaríamos, cómo averiguaríamos cuál
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sería la distancia en cualquier momento?
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Vamos a pensar.
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Si tenemos una constante, este rojo es bastante sangriento.
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Déjame cambiarlo por uno más agradable.
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Si tenemos, sobre cualquier pequeño período de tiempo, vale, o si
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tenemos una velocidad constante, cuando tienes una constante de velocidad,
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la distancia es simplemente velocidad por tiempo, ¿verdad?
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Así que digamos que teníamos un pequeño
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fragmento de tiempo, ¿ok?
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Lo dibujaré grande, pero digamos que el fragmento de tiempo
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es muy pequeño.
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Y digamos que este pequeño fragmento de tiempo, lo llamaremos
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delta T, o DT.
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La forma que he utilizado DT es como, es como un cambio en el tiempo
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que es súper pequeño, ¿sí?
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Es como casi instantáneo, pero no del todo.
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O puedes verlo realmente como instantáneo.
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Así que esta es la cantidad de tiempo de pasa.
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Puedes ver esto como un pequeño cambio en el tiempo.
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Así que si tenemos un pequeño cambio de tiempo, y sobre
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ese pequeño cambio en el tiempo, tenemos una constante
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de velocidad, diremos más o menos que esto es la constante de velocidad.
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De acuerdo, esta es la velocidad, así que diremos que en este pequeño
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cambio en el tiempo, tenemos esta constante de velocidad aproximada
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que está en el gráfico.
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Ok, deja que lo haga aquí.
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Tenemos esta constante de velocidad aproximada.
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Así que la distancia que recorre este objeto durante este período pequeño de tiempo,
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¿sería este corto tiempo por la velocidad, sí?
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Sería lo que sea el valor de esta línea roja, por
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la anchura de la distancia, ¿sí?
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¿Y hay otra forma?
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Visualmente, lo hice antes de tiempo, pero,
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¿qué está pasando aquí?
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Si tengo este cambio en el tiempo, sí, que es un estilo de
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base de este rectángulo, y lo multiplico por la velocidad
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que sólo es la altura de este rectángulo,
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¿qué habré resuelto?
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He calculado el área de este rectángulo, ¿verdad?
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Bien, la velocidad en este momento, por el cambio
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en el tiempo en este momento, no es nada más que el área
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de este estrecho rectángulo.
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Estrecho y alto, ¿sí?
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Es casi infinítamente estrecho, pero estamos suponiendo, para
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nuestras intenciones, que tiene una anchura mínima.
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Así que hemos resuelto el área de esta columna, ¿verdad?
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Pues si quisiéramos calcular la distancia que
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viajará después de, digamos, no sé, vamos a decir,
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t, diremos t-0, ¿ok?
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Éste es una T particular.
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Después de T menos 0 segundos, ¿no?
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Pues bien, lo único que tenemos que hacer, tendríamos que
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calcular, lo haríamos con un conjunto de dt's, ¿verdad?
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Harías otro aquí, calcularías el área
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de esta columna, calcularías el área de esta columna, el
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área de esta columna, ¿sí?
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Porque cada una de las áreas de estas columnas
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representa la distancia que el objeto recorre
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sobre esa DT, ¿cierto?
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Así que si quisieras saber lo que has recorrido tras T menos
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cero segundos, esencialmente tendrías, o una aproximación sería,
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la suma de todas estas áreas.
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Y como tienes más y más, como has reducido las DT's,
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las has reducido más y más y más.
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Y tienes más y más y más y más de estos
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rectángulos, entonces tu aproximación sería
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considera, pues, dos cosas.
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Te acercarás bastante, como te imagines, al área
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bajo la curva, o en este caso una línea.
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Pero también te acercarías bastante a la cantidad exacta
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de distancia que has recorrido tras T menos 0 segundos.
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Creo que me acerco a los 10 minutos, así que voy a
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pausar aquí y continuaré en
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la próxima presentación.
