-
Vítejte zpět.
-
V této prezentaci vám chci ukázat,
jak můžeme použít primitivní funkci,
-
abychom vyřešili plochu pod křivkou.
-
Vlastně se hodlám zaměřit více na intuici.
-
Pojďme použít příklad z fyziky.
-
Použiji dráhu a rychlost.
-
A mohla by to být dobrá recenze
pro derivace nebo aplikace derivací.
-
Řekněme, že popíši pozici něčeho,
co se pohybuje.
-
Řekněme, že je to ‚s‛.
-
Řekněme, že toto ‚s‛ je rovno,
dejme tomu, 16 t na druhou.
-
Takže ‚s‛ je dráha.
-
Napíši to do rohu.
-
Ani nevím, proč je úmluva
používat ‚s‛ jako proměnou dráhy.
-
Jeden by si myslel...proč nepoužili ‚d‛?
-
Protože ‚d‛ je písmeno
používané pro diferenciál.
-
Takže ‚s‛ je dráha a pak ‚t‛ je čas.
-
Toto je vzorec, který nám říká, jak daleko
něco šlo po dobu ‚x‛...řekněme sekund.
-
Po 4 sekundách jsme mohli dojít...řekněme,
že dráha je ve stopách a toto v sekundách.
-
Po 4 sekundách jsme mohli ujít 256 stop.
-
To je vše, co toto řekne.
-
Nakreslím graf tohoto.
-
To je hrozná přímka.
-
S použitím nástroje to bude lepší.
-
Trochu lepší.
-
Toto také zruším,
protože chci udělat kladné ‚t‛.
-
Protože se nemůžete vrátit v čase.
-
Pro účely této lekce
se nemůžete vrátit v čase.
-
Toto musíme udělat.
-
Tato křivka je vlastně parabola, že?
-
Vypadá podobně jako ona.
-
Pokud se na to podíváte...stačí mrknout.
-
Objekt, každou sekundu, co se pohybujete,
se více vzdaluje.
-
Vlastně zrychluje.
-
A co když chceme vyřešit,
jaká je rychlost tohoto objektu?
-
Toto je...podívete...
toto je ‚d‛ a toto ‚t‛.
-
A toto je, nevím, zda je to jasné,
ale je to druh 1/2 paraboly.
-
Toto je funkce dráhy.
-
Jaká by byla rychlost?
-
Rychlost je vlastně...co je rychlost?
-
Je to dráha dělená časem.
-
A jestliže se rychlost pokaždé mění,
chceme vyřešit okamžitou rychlost.
-
A toto je vlastně jedno z prvních použití,
které udělalo derivace užitečnými.
-
Chceme najít změnu, okamžitou změnu
s přihlédnutím k času v tomto vzorci.
-
Protože je to vzorec pro dráhu.
-
Pokud známe okamžitou rychlost
změny dráhy s přihlédnutím k času,
-
tak známe rychlost.
-
Takže ds lomeno dt je rovno...
-
Co je derivace zde?
-
Je to 32 t.
A toto je rychlost.
-
Možná bych měl přepnout zpět...
napíši, že ‚v‛ je rovno rychlosti.
-
Nevím, proč jsem přepnul barvu,
ale budu se držet žluté.
-
Zanesme tuto funkci do grafu.
-
Toto bude docela jednoduchý graf.
-
Je hezky rovný.
-
A pak nakreslíme osu x.
-
Dělám to hezky. Fajn.
-
Toto nakreslím červeně...
...bude to přímka...
-
32 t je přímka se sklonem 32.
-
Je to celkem strmá přímka.
-
Nechci ji kreslit tak strmou,
protože ji použiji jen pro ilustraci.
-
Takže toto je rychlost.
-
Takže toto je rychlost.
-
Toto je tento graf a toto dráha.
-
Pro případ, že jste se to zatím neučili
-
a já možná udělám celou prezentaci s
použitím integrálu a derivací pro fyziku.
-
Ale pokud máte vzorec dráhy,
tak jeho derivace je vzorec rychlosti.
-
Soudím, že pokud se na to podíváte z druhé
strany, tak integrál rychlosti je dráha.
-
Ačkoliv nevíte,
v které pozici objekt začal.
-
V tomto případě objekt začal v pozici 0,
ale mohl by v kterékoli konstantě.
-
Mohli byste začít zde
a pak zahnout nahoru.
-
Předpokládejme, že jsme začali v 0.
-
Takže derivace dráhy je rychlost,
integrál rychlosti je dráha.
-
Mějte to na mysli.
-
Pojďme se podívat na toto.
-
Předpokládejme, že jsme
dostali jen tento graf.
-
A řekli jsme, že je to graf
rychlosti nějakého objektu.
-
A chceme zjistit, jaká je dráha
po, řekněme ‚t‛ sekundách.
-
Toto je osa x a toto je osa rychlosti.
-
Řekněme, že jsme dostali
jenom toto a řekněme,
-
že nevíme, že integrál funkce
rychlosti je funkce dráhy.
-
Jak bychom mohli vyřešit, jaká je
dráha v daném čase?
-
Popřemýšlejme o tom.
-
Pokud máme konstantu
...tato červená je krvavá...
-
Přepnu to do něčeho příjemnějšího...
-
Pokud bysme měli krátkou časovou
periodu nebo konstantní rychlost,
-
dráha by byla jen rychlost krát čas.
-
Řekněme, že zde máme
velmi krátký časový úsek.
-
Nakreslím ho velký, ale řekněme,
že tento časový úsek je velmi malý.
-
Nazvěme to velmi malým časovým úsekem,
nazvěme to ‚delta t‛ nebo vlastně ‛dt‛.
-
Způsob, jak používám ‚dt‛, je jako
změna času, což je neuvěřitelně malé.
-
Je to jako okamžik, ale ne docela.
-
Nebo to můžete vidět jako okamžik.
-
Je to míra plynutí času.
-
Můžete se na to dívat,
jako na velmi malou změnu času.
-
Pokud máme velmi malou změnu času
a nad tím máme hrubou konstantu rychlosti,
-
řekněme, že hrubá
konstanta rychlosti je tato.
-
Dobrá, toto je rychlost, řekněme,
že jsme měli velmi malou změnu času
-
...máme tuto hrubou konstantu
rychlosti v tomto grafu.
-
Vezmu to sem.
-
Máme tuto hrubou konstantu rychlosti.
-
Takže dráha, kterou objekt
urazí za krátký čas,
-
by měla být krátký čas krát rychlost.
-
Měla by to být jakákoliv hodnota této
červené přímky krát šířka této dráhy.
-
Jaká je jiná možnost?
-
Ale co se stane zde?
-
Pokud vezmu tuto změnu času,
což je základna tohoto obdélníku
-
a vynásobím ho rychlostí, což je výška
tohoto obdélníku, co vyřeším?
-
Zjistím plochu tohoto obdélníku, že?
-
Rychlost v tomto okamžiku
krát změna času v tomto okamžiku,
-
není nic jiného, než plocha
tohoto velmi tenkého obdélníku.
-
Tenkého a vysokého.
-
Je téměř nekonečně tenký,
ale pro naše účely předpokládáme,
-
že má pomyslné množství šířky.
-
Vyřešíme plochu tohoto sloupce.
-
Dobrá, pokud chceme vyřešit
vzdálenost, kterou jste urazili,
-
řekněme, že ‚t0‛.
-
Toto je parciální ‚t‛.
-
Po t0 sekundách...
-
Vše co bychom poté měli udělat,
je přidat spoustu časových úseků ‚dt‛.
-
Zde máte další, měli byste
vyřešit jeho plochu...
-
...dále byste měli vyřešit plochu tohoto
sloupce, dále plochu tohoto sloupce atd.
-
Protože každá plocha, každého
sloupce představuje dráhu,
-
kterou objekt urazí za dobu ‚dt‛.
-
Pokud chcete vědět, jak daleko
jste cestovali po dobu t0 sekund,
-
v podstatě by to měla být
přibližně suma všech těchto ploch.
-
A když jste se dostali dále
a udělali jste ‚dt‛ menší a hubenější...
-
A měli jste víc a více těchto obdélníků,
-
tak se vaše aproximace stane
docela blízká dvěma věcem.
-
Stane se docela blízká...jak si
představíte...ploše pod křivkou
-
nebo zde, pod přímkou.
-
Ale také by vám to mělo dát
docela přesnou vzdálenost,
-
kterou jste urazili za dobu t0 sekund.
-
Myslím, že mám málo času,
takže zde udělám přestávku
-
a budu pokračovat v další prezentaci.
