-
Привет! Допустим, у меня есть треугольник.
-
Вот такой.
-
И всё, что я знаю – это длину сторон треугольника.
-
У этой стороны длина – а, у этой стороны длина – b,
-
а у этой стороны длина – с.
-
И нас просят посчитать площадь треугольника.
-
Мы уже знаем, что площадь треугольника –
-
это ½ умножить на основание и умножить на высоту.
-
Я нарисовал этот треугольник так,
-
что основанием его выступает сторона с.
-
Но высота для нас остаётся все же неизвестной.
-
Высота – это h, которую я только что опустил.
-
И мы не имеем ни малейшего представления,
-
чему равняется эта h.
-
Итак, здесь у нас h.
-
Вопрос: как же нам посчитать
-
площадь этого треугольника?
-
Если вы смотрели предыдущее видео, вы знаете,
-
что мы можем использовать формулу Герона.
-
Но я хочу в этом видео доказать формулу Герона.
-
Давайте попробуем вычислить h,
-
используя теорему Пифагора.
-
А когда мы будем знать h, подставим её
-
в нашу формулу и найдём площадь треугольника.
-
Итак, мы уже знаем, что высота h.
-
Давайте введем ещё одну неизвестную.
-
Этот фокус вы будете ещё не раз
-
наблюдать на уроках геометрии.
-
Пусть это расстояние равно х,
-
тогда сиреневый отрезок будет равен (с-х), так?
-
Вся длина у нас – с, т.к. основание равно с.
-
Если левая часть равна х, тогда правая часть равна с-х.
-
Здесь у нас есть прямые углы.
-
Я знаю это, т.к. я проводил высоту, да?
-
Поэтому я могу использовать теорему Пифагора.
-
Сначала я смогу сделать это для левого треугольника.
-
А потом для правого. Смотрим, что получится.
-
Я пишу: х²+h²=a².
-
Это то, что получается для левого.
-
Что у нас получится для правого?
-
(c-x)²+h²=b².
-
Допустим, что нам известны a, b и c.
-
Тогда у нас есть 2 уравнения с двумя неизвестными.
-
Неизвестными в данном случае выступают х и h.
-
И помните, мы хотим вычислить h,
-
т.к. основание с нам уже известно.
-
Если мы будем знать h,
-
то мы сможем воспользоваться формулой.
-
Итак, как же нам это сделать?
-
Давайте вычислим h², выразив h через х.
-
Чтобы вычислить h² здесь,
-
мы должны вычесть x² из обеих сторон.
-
Мы можем написать, что h²=a²-x².
-
И теперь мы можем использовать полученную
-
информацию и подставить её вот тут вместо h².
-
И это нижнее равенство превратится в:
-
(c-x)²+h², а h² (мы знаем из этого верхнего равенства) -
-
h² будет равным - запишем это другим цветом -
-
a²-x², и всё это равно b².
-
Я просто подставил это значение вместо этого.
-
Давайте раскроем это выражение в скобках.
-
(c-x)² =с²-2сх+х², а дальше у нас идёт минус -
-
а нет! - плюс a²-x² равно b².
-
У нас есть теперь х² и -х², они сокращаются.
-
И давайте прибавим 2сх к обеим частям равенства.
-
Тогда наше равенство превратится в следующее:
-
c²+a² -
-
я прибавил 2сх к обеим сторонам:
-
здесь прибавили 2сх и получили 0,
-
а здесь получили b²+2cx.
-
Всё что я здесь сделал – это сократил х²
-
и добавил 2сх к обеим сторонам равенства.
-
Теперь нам нужно выразить х.
-
Если я смогу выразить х, тогда я смогу выразить h
-
и применить нашу формулу.
-
Для того чтобы найти х, давайте вычтем b²
-
из обеих частей равенства.
-
Получим: c²+a²-b²=2cx.
-
Если мы разделим обе стороны на 2с, то получим:
-
(c²+a²-b²)/2c=x.
-
Вот мы и посчитали, чему равен х.
-
Теперь нам нужно посчитать высоту,
-
площадь треугольника равна ½ на основание и на высоту.
-
Чтобы это сделать, вернёмся к нашему уравнению.
-
И найдём нашу высоту. Я немножко пролистал вниз.
-
Мы знаем, что наша высота в квадрате равна a²-x².
-
Вместо того, чтобы писать х²,
-
давайте подставим уже известное нам.
-
х – это что?
-
Это ((c²+a²-b²)/2c)².
-
Это то же самое, что и просто х².
-
Мы его вычислили.
-
Тогда h будет равна квадратному корню
-
из всей этой громадины.
-
Я поменяю цвет, подождите.
-
Получаем: h=√(a²-((c²+a²-b²)/2c)²).
-
Ой, давайте я сейчас аккуратнее перепишу это.
-
Квадратный корень -
-
- нужно убедиться, что мне будет достаточно места -
-
из а² минус вся эта штукенция в квадрате:
-
((c²+a²-b²)/2c)²
-
Это высота нашего треугольника.
-
Вот этого треугольника,
-
который вы видели в начале видео.
-
Я скопирую и вставлю картинку,
-
чтобы мы помнили, с чем мы имеем дело.
-
Копирую… и вставляю вот сюда.
-
Итак, мы знаем, что высота у нас –
-
эта большая и запутанная формула.
-
Высота, выраженная через а, b и c.
-
Если мы хотим посчитать площадь нашего треугольника -
-
я поменяю цвет на розовый -
-
площадь нашего треугольника будет равна
-
½ основания с на высоту.
-
Наше основание – это с, да?
-
Итак, умножаем с на высоту.
-
А высота – это полученное выражение.
-
И вырежу и скопирую, чтобы второй раз не писать.
-
Копируем - и вставляем.
-
Итак, умножили на высоту.
-
Сейчас так выражена наша площадь.
-
Сейчас вы можете сказать, мол,
-
не сильно это и похоже на формулу Герона.
-
И вы абсолютно правы.
-
Она не похожа на формулу Герона,
-
но в следующем видео я покажу вам,
-
что это как раз и есть формула Герона.
-
Это одна из версий формул Герона,
-
которую просто тяжелее выучить наизусть.
-
Я буду прибегать к алгебре
-
для того, чтобы в основном упростить
-
данное выражение до обычной формулы Герона.
-
Но эта формула тоже будет работать.
-
Если вы можете это запомнить, конечно.
-
Мне кажется, что стандартная формула Герона
-
всё же легче запоминается.
-
Но если вы можете это запомнить, и знаете a, b и с,
-
вы можете воспользоваться и этой формулой
-
и найти площадь треугольника.
-
Давайте проверим и покажем,
-
что эта формула, как минимум, выдаёт те же значения,
-
что и формула Герона.
-
В последнем видео у нас был треугольник
-
со сторонами 9, 11 и 16,
-
и его площадь по формуле Герона равнялась 18√7.
-
Давайте посмотрим, что нам даст эта формула здесь.
-
Площадь треугольника равна ½16√а².
-
Это 81 минус - посмотрим - с² у нас 16², т.е. 256,
-
плюс а², это 81, минус b², т.е. минус 121.
-
Всё это в квадрате. Всё это делить на 2с,
-
т.е. мы делим это на 32.
-
Посмотрим, можем ли мы это немного упростить.
-
81-121=-40. -40+256=216.
-
Получаем 216/32.
-
½ умножить на 16 – это 8. Я поменял цвет.
-
Умножить на квадратный корень из 81-256,
-
256-40=216.
-
216/32, и всё это в квадрате.
-
Здесь надо много считать.
-
Пожалуй, я достану калькулятор.
-
Я просто хочу доказать вам,
-
что у нас должны получится такие же числа.
-
Включаем калькулятор.
-
Сначала посчитаем, чему равно 18√7 - это то,
-
что мы вычислили при помощи формулы Герона.
-
У нас получается 47,62.
-
Посмотрим, что у нас получится здесь. То же самое или нет.
-
У нас: 8*√(81-(216/32)²).
-
И получили то же самое число!
-
Признаюсь, я немного волновался,
-
я уже давно не делал подобных вычислений,
-
так что мог допустить какую-то мелкую ошибку
-
по невнимательности.
-
Но всё получилось, мы получили то же самое число!
-
Наша формула сейчас выдаёт те же значения,
-
что и формула Герона.
-
В следующем видео я докажу вам алгебраически,
-
что это выражение может быть сокращено
-
до формулы Герона. Пока!
