-
Niech dany będzie trójkąt.
-
Niech dany będzie trójkąt.
-
To jest mój trójkąt.
-
Znam tylko długości boków tego trójkąta.
-
Ten bok ma długość a, ten b,
-
a ostatni c.
-
Moim zdaniem jest policzenie pola tego trójkąta.
-
Na razie jedyne co mam to wiedza, że pole
-
trójkąta równa się połowie iloczynu
-
długości podstawy oraz wysokości trójkąta.
-
Więc w moim trójkącie podstawą będzie
-
krawędź c. Niestety wysokości nie znamy.
-
Wysokość oznaczymy przez h,
-
ale oczywiście na razie jej nie znamy.
-
Czyli to będzie się nazywać h.
-
Pytaniem jest, jak obliczyć pole
-
tego trójkąta.
-
Jeżeli oglądaliście poprzedni film to wiecie,
-
że do tego celu używa się wzoru Herona.
-
Ale tematem tego filmu ma być dowód tego wzoru.
-
Dlatego spróbujemy po prostu obliczyć h używając
-
twierdzenia Pitagorasa.
-
Kiedy już będziemy znać h, aby obliczyć szukane pole
-
wystarczy podstawić je do znanego wzoru.
-
Już nazwaliśmy wysokość (h).
-
Teraz zdefiniuję inną zmienną.
-
To jest trik,
-
który zauważycie często w geometrii.
-
Przez x będziemy rozumieć ten różowy odcinek.
-
Wtedy fioletowy odcinek będzie mieć długość c minus x.
-
Te dwa odcinki sumują się do podstawy (c).
-
Dlatego, jeżeli ta część to x, to ta musi być c minus x.
-
Ponieważ mamy dwa kąty proste
-
(wysokość zawsze opada pod kątem prostym)
-
to mogę ułożyć dwa równania korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
-
Pierwsze równanie (dla lewego trójkąta) będzie wyglądało tak:
-
x kwadrat plus h kwadrat równe a kwadrat
-
To otrzymałem dla lewego trójkąta.
-
Dla trójkąta po prawej stronie otrzymuję:
-
c - x kwadrat plus h kwadrat równe b kwadrat
-
Ponieważ a, b i c są danymi to otrzymuję dwa równania
-
z dwiema niewiadomymi.
-
Nieznanymi wartościami są x oraz h.
-
Pamiętajcie: to h próbujemy obliczyć,
-
wartość c juz znamy.
-
Jeśli będziemy znać h, to wystarczy nam standardowy wzór na pole trójkąta.
-
Jak to możemy zrobić?
-
Podstawmy pod h, aby obliczyć x.
-
Kiedy to mówię to mam na myśli, że chcemy wyznaczyć h kwadrat z tego równania.
-
Aby wyznaczyć h kwadrat
-
odejmujemy od obu stron x kwadrat.
-
Możemy napisać, że x kwadrat -- przepraszam, możemy napisać,
-
że h kwadrat równa się a kwadrat minus x kwadrat.
-
Teraz możemy wykorzystać tę informację
-
i podstawić tutaj wartość h kwadrat.
-
Wtedy dolne równanie będzie wyglądać tak:
-
c minus x kwadrat plus h kwadrat.
-
Wartość h kwadrat mamy z pierwszego równania.
-
Podstawiamy wartość h kwadrat (kolor różowy):
-
a kwadrat minus x kwadrat jest równe b kwadrat.
-
Ja tylko podstawiłem wartość tego tutaj,
-
a wartość tamtego tam.
-
Teraz wykonamy to potęgowanie.
-
c minus x kwadrat to jest:
-
c kwadrat minus 2cx plus x kwadrat
-
Dalej mamy minus -- przepraszam, mamy
-
plus a kwadrat minus x kwadrat równe b kwadrat.
-
Mamy x kwadrat tutaj oraz minus x kwadrat tam,
-
Mamy x kwadrat tutaj oraz minus x kwadrat tam,
-
więc możemy je pominąć.
-
Teraz dodamy do dwóch stron równania 2cx.
-
Teraz dodamy do dwóch stron równania 2cx.
-
Teraz lewa strona naszego równania będzie wyglądać tak:
-
c kwadrat plus a kwadrat.
-
Dodałem 2cx do obu stron równania.
-
Jeżeli dodamy się 2cx do tego to otrzymamy 0.
-
To jest równe b kwadrat plus 2cx.
-
Ja tutaj tylko zredukowałem x kwadrat oraz
-
dodałem do obu stron równania 2cx.
-
Moim celem jest znalezienie x.
-
Jeśli będę miał x to łatwo znajdę h,
-
a wtedy będę mógł użyć tego wzoru.
-
Aby znaleźć x odejmijmy b kwadrat
-
od obu stron równania.
-
Dostaniemy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat
-
równe 2cx.
-
Teraz wystarczy podzielić obie strony równania przez 2c, otrzymamy:
-
c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat dzielona przez 2c równe x.
-
Właśnie wyznaczyliśmy x.
-
Naszym celem jest znalezienie wysokości, aby policzyć pole ze wzoru:
-
połowa iloczynu podstawy i wysokości.
-
Dlatego musimy wrócić do tego równania
-
i wyznaczyć z niego wysokość.
-
Pozwólcie, że przesunę trochę naszą tablicę.
-
Wiemy, że wysokość do kwadratu jest równa
-
a kwadrat - x kwadrat.
-
Zamiast napisać x podstawię jego wartość.
-
Dlatego minus x kwadrat (x to ta wielkość, którą napiszę w nawiasie).
-
Więc mamy c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat
-
dzielone przez 2c, wszystko jeszcze raz do kwadratu.
-
To jest to samo co x kwadrat.
-
Właśnie pozbyliśmy sie z naszego równania x.
-
Więc h będzie równe pierwiastkowi kwadratowemu z
-
tego wszystkiego tutaj -- zmienię kolor --
-
a kwadrat minus c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat,
-
to wszystko do kwadratu.
-
Uporządkujmy tutaj trochę, ponieważ
-
nie chcę aby ...
-
Tym razem zadbam o to aby pod pierwiastkiem było wystarczająco dużo miejsca.
-
Wracamy: a kwadrat minus to wszystko podniesione do kwadratu --
-
c kwadrat plus a kwadrat minus b kwadrat dzielone przez 2c.
-
To jest wysokość naszego trójkąta.
-
Trójkąt od którego zaczęliśmy jest tutaj na górze.
-
Teraz to skopiuję, abyśmy zapamiętali
-
z czym będziemy teraz pracować.
-
Skopiuję to, a potem wkleję tutaj.
-
Wkleiłem to na dole.
-
Teraz wiemy jaka jest wysokość -- to ten
-
duży, skomplikowany wzór.
-
Wysokość w zależności od a, b i c jest tutaj.
-
Chcemy policzyć nasze pole, pole naszego
-
trójkąta -- zaznaczę to na różowo.
-
Pole trójkąta wyniesie połowę iloczynu długości podstawy
-
(podstawą będzie cały odcinek c) oraz wysokości,
-
która wyraża się tym wzorem.
-
Pozwólcie, że po prostu to skopiuję zamiast przepisywać.
-
kopiuję
-
razy wysokość
-
To teraz jest naszym wzorem na pole.
-
Teraz pewnie powiecie, że to wcale nie wygląda
-
jak wzór Herona i macie rację.
-
To nie wygląda jak wzór Herona,
-
ale w następnym filmie pokaże wam, że to jest
-
to samo co wzór Herona.
-
To jest trudniejsza do zapamiętania wersja wzoru Herona.
-
Uproszczenie tego do wzoru Herona będzie wymagać
-
dużo algebry.
-
Ale to zadziała.
-
Jeżeli jesteście w stanie to zapamiętać, to nie będziecie
-
mieć problemu z zapamiętaniem wzoru Herona.
-
Ale jeżeli to zapamiętacie i będziecie znać tylko a, b oraz c
-
to po zastosowaniu tego wzoru otrzymacie
-
pole trójkąta.
-
Użyjmy tego wzoru aby zobaczyć, że w konkretnym przykładzie
-
otrzymamy to samo co po zastosowaniu wzoru Herona.
-
W poprzednim filmiku rozważaliśmy trójkąt o bokach długości
-
9, 11, i 16, a po zastosowaniu wzoru Herona otrzymaliśmy
-
18 pierwiastków kwadratowych z 7.
-
Zobaczmy co otrzymamy po zastosowanie tego wzoru.
-
Dostajemy pole równe połowie iloczynu 16
-
oraz pierwiastka z
-
a kwadrat czyli 81 minus c (16) kwadrat, co da 256
-
plus a kwadrat czyli 81 minus
-
b kwadrat (121).
-
Całe to wyrażenie do kwadratu.
-
A wszystko dzielimy przez 2 razy c (32).
-
Spróbujmy to trochę uprościć.
-
81 minus 121 da nam minus 40
-
Czyli 216 przez 32.
-
Czyli pole jest równe 16 na dwa to 8
-
Zmieńmy kolor.
-
Połowa 16 to 8, razy pierwiastek z
-
81 minus 121 co daje minus 40.
-
256 minus 40 to 216.
-
216 przez 32 do kwadratu.
-
Teraz jest sporo rachunków,
-
więc użyję kalkulatora.
-
Ja tylko staram się wam pokazać, że te dwie wartości
-
są sobie równe.
-
Kiedy włączymy kalkulator,
-
zaczniemy od policzenia ile to jest
-
18 pierwiastków z 7.
-
18 razy pierwiastek z 7 -- to jest co
-
otrzymaliśmy stosując wzór Herona.
-
Wynik to 47,62.
-
Sprawdźmy, czy to jest 47,62.
-
Otrzymaliśmy 8 pierwiastków z 81 minus 216
-
dzielone przez 32 do kwadratu, zamykamy pierwiastek.
-
Otrzymaliśmy dokładnie tą samą wartość.
-
Trochę się niepokoiłem -- nie przygotowałem wcześniej tych rachunków,
-
więc się obawiałem, że zrobię jakiś głupi błąd.
-
Ale się udało, to ta sama wartość.
-
Czyli nasz wzór dał nam to samo pole,
-
co wzór Herona.
-
W następnym filmie udowodnię wam,
-
że ten wzór może być algebraicznie sprowadzony
-
do wzoru Herona.
