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삼각형이 하나 있다고 합시다
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여기 제 삼각형이 있네요
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우리는 이 삼각형의 각 변의 길이밖에 모릅니다
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이쪽 변의 길이는 a, 이쪽은 b,
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그리고 이쪽은 c입니다
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이제 이 삼각형의 넓이를 구해봅시다
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이 문제를 풀기 위해 우리에게 주어진 것은
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삼각형의 넓이는 밑변의 1/2에다가
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높이를 곱한 것이라는 정보밖에 없군요
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제가 그린 이 삼각형의 밑변은
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길이가 c가 되겠지만, 높이는 알 수 없습니다
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높이는 이렇게 h로 표현할 수 있겠지만
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이 h의 값은 알 수가 없습니다
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이걸 h라고 하면 되겠군요
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여기서 질문은 어떻게 이 삼각형의
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넓이를 구하냐가 되겠죠
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바로 전 영상을 봤다면 여기서는
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헤론의 공식을 사용한다는 걸 배웠을 거예요
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그러나 여기서는 헤론의 공식을 증명하려고 합니다
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그러니 지금은 h의 값을 피타고라스의 정리만을
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이용해서 구해보도록 해요
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거기서 우리가 h의 값을 알게 되면,
이 공식을 적용시켜서
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이 삼각형의 넓이를 구할 수 있게 될 겁니다
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우린 이미 높이를 h라고 하기로 했죠
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여기서 다른 변수를 정해볼게요
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이건 기하학에서 자주 보게 될
요령 같은 거예요.
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이걸 x라고 하고, 이 x가 자주색일 때
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이 파란색은 c - x가 되겠네요
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이 전체 길이는 c입니다
즉, 이 밑변의 길이도 c이죠
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그러니 이 부분이 x이면,
이 부분은 c - x 입니다
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여기 이것이 높이이기 때문에
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우리는 이 둘이 직각이라는 것을 알 수 있고
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이를 토대로
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두 개의 피타고라스 방정식을
세울 수 있습니다
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먼저, 이 왼쪽 삼각형에 대해 계산하면
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x의 제곱 더하기 h의 제곱은
a의 제곱과 같다는 걸 알 수 있겠네요
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이게 왼쪽 삼각형에서 얻은 값입니다
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그리고 이 오른쪽 삼각형에서는
(c-x)의 제곱
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더하기 h의 제곱은 b의 제곱과
같다는 걸 알 수 있습니다
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a, b, c 를 모두 안다면
풀어야 할 두개의 방정식과
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두개의 미지수가 있네요
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미지수는 x와 h입니다
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그리고 기억하세요, 우리는
이미 c를 알고 있기 때문에
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구해야 하는 것은 h에요
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h를 알면, 넓이 공식을 적용할 수 있어요
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그럼 어떻게 할 수 있을까요?
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음, x를 구하기 위해
h에 무언가를 대입하기로 해요
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여기서 뜻하는 건 h의 제곱을
구하자는 거예요
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h의 제곱을 구하기 위해서는 먼저
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양변에서 x의 제곱을 뺍니다
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x의 제곱은,
죄송해요, h의 제곱은
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a의 제곱에서 x의 제곱을 뺀 값과 같습니다
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그러면 이 식을 사용해서
이쪽에 있는
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h의 제곱에 대입시킬 수 있어요
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그럼 이 밑변 방정식은
(c-x)의 제곱 더하기
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h의 제곱이 됩니다
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h의 제곱의 값은
이 왼쪽 삼각형에서의 방정식에서 구했습니다
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h의 제곱은,
그러니까 더하기, 이 색으로 할게요--
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a의 제곱 빼기 x의 제곱은 b의 제곱과 같습니다
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그냥 이 식의 값을 여기에,
저 식의 값을
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저기에 대입했습니다
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이제 이 식을 확장시켜 봅시다
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(c - x)의 제곱은 전개하면 c의 제곱 빼기
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2cx 더하기 x의 제곱이고
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그러면 빼기,
죄송해요, 그러면 더하기
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a의 제곱 빼기 x의 제곱은 b의 제곱이고요
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저기 x의 제곱하고 마이너스 x 제곱이 있으니
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서로 소거됩니다
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이제 이 방정식의 양변에
2cx를 더합시다
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그러면 이제 우리 방정식의 좌변은
c의 제곱 더하기
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a의 제곱이 되는군요
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2cx를 양변에 더할 거예요
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그럼 여기에 2cx를 더하면 0이 되죠,
b의 제곱 더하기 2cx라는
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답을 얻게 됩니다
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제가 여기서 한 건 x의 제곱을
소거시킨 후
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방정식의 양 변에
2cx를 더한 겁니다
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여기서 우리의 목표는
x를 구하는 것입니다
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x를 구하면,
그 값으로 h를 구한 뒤
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아까 그 공식을 적용할 수 있습니다
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자, x를 구합시다.
양변에서
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b의 제곱을 빼는 거에요
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그러면 c의 제곱 더하기
a의 제곱 빼기 b의 제곱은
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2cx와 같다는 것을 알 수 있겠군요
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그리고 나서 양변을 2c로 나누면,
(c의 제곱 + a의 제곱 - b의 제곱) / 2c는
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x와 같다는 것을 알 수 있습니다
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우린 지금 x를 구한 겁니다
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이제 우리의 목표는
높이를 구하는 것입니다
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밑변의 1/2에 높이를 곱하기 위해서죠
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그렇게 하기 위해서는, 이 방정식으로 돌아가서
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높이를 구하면 되겠죠
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화면을 약간 내려볼게요
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우리는 높이의 제곱이
a의 제곱에서 x의 제곱을
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뺀 거와 같다는 걸
알고 있죠
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그냥 x의 제곱을 쓰는 대신
대입을 해봅시다
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그럼 마이너스 x의 제곱,
x는 여기 있는 이겁니다
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(c의 제곱 + a의 제곱 - b의 제곱) / 2c
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를 제곱한 것이 됩니다
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이게 x의 제곱이랑 같은 것입니다
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방금 전에 그걸 구했죠
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그러면 h는 여기 있는
모든 것들의 제곱근과 같죠 --
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색을 좀 바꿔볼게요
a의 제곱에서
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((c의 제곱 +a의 제곱 -b의 제곱)/2c)의 제곱을 뺀 것
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이 모든 것의 제곱이죠
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이것보다는 더 깔끔하게 만들어 볼게요
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지저분한건 싫으니까요
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이정도면 충분히 넓겠죠.
a의 제곱에서
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(c의 제곱 + a의 제곱 - b의 제곱/2c)의
제곱을 뺀 값의 제곱근
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이것이 이 삼각형의
높이입니다
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여기 위쪽에 우리가 그렸던
바로 이 삼각형이죠
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우리가 뭐에 대해
계산하고 있는지 기억하기 위해
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여기에 복사해서 옮겨볼게요
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복사한 뒤, 이쪽에 붙일게요
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여기에 붙여넣었습니다
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이제 우린 높이가 뭔지 알게 되었어요
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크고 난해한 식이죠
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a, b, c에 대한 높이는
여기 이것이죠
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그러니까 넓이를 구하려면
우리 삼각형의 넓이를
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분홍색으로 표시할게요
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우리 삼각형의 넓이는
밑변의 1/2배
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이 때 밑변은 이 전체길이인 c이고,
곱하기 c 곱하기
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높이입니다, 높이는
여기 있는 식이죠
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다시 쓰는 대신
복사와 붙여넣기를 할게요
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그러니까 복사하고 붙여넣기
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자, 1/2 곱하기 c 곱하기 높이
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이제 이것이
삼각형의 넓이를 구하는 식입니다
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아마 지금 생각하고 있을 거예요,
저거 헤론의 공식이랑
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별로 닮지 않았는데, 하고요.
맞는 말이에요
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헤론의 공식과 꽤 다르게 생겼어요
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하지만 다음 영상에서 제가
이것은 근본적으로
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헤론의 공식이 맞다는 걸
보여줄 거예요
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이건 더 기억하기 어려운
헤론의 공식이라고 보면 돼요
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이걸 간단화시켜서
헤론의 공식으로 만들기 위해
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대수학을 많이 적용할 거죠
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하지만 이것도 됩니다
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이걸 기억할 수 있다면 말이죠
헤론의 공식이 훨씬
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기억하기 쉽다고 생각하지만요
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하지만 이걸 외우고,
a, b, c의 값을 알고 있다면
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여기 이 공식을 바로 적용시켜서
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삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다
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아니면 지금
이 식이 헤론의 공식이랑
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같은 공식이라는 것을 알기 위해
바로 대입해봅시다
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바로 전 영상에서는
변의 길이가 9, 11, 16인
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삼각형이 있었고,
헤론의 공식을 사용해서 구한 넓이는
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7의 제곱근의 18배와 같았습니다
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이 공식을 적용하면 어떻게 되는가 보죠
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식에 대입하면 넓이는
1/2 곱하기 16 곱하기
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루트에 a의 제곱,
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이 때 a의 제곱은 81, 그리고 c의 제곱은 256입니다
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256 더하기 a의 제곱인 81,
여기에 b의 제곱인
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121을 뺍니다
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이들 모두를 제곱합니다
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분모에는 2c가 있으니깐 32로 나눠야겠네요
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이걸 좀 간단하게
만들어봅시다
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81 빼기 121은 마이너스 40입니다
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그러면 32분의 216이 되는군요
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그러니까 넓이는 16의 반인 8,
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색을 바꿔볼게요
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16의 반은 8이고, 여기에 곱하기를
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81 빼기 121은 마이너스 40이고
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256 빼기 40은 216이니깐
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81에서 32분의 216을 제곱한 값을 뺀 것의
루트를 곱해야겠네요
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자, 이건 계산할 게 너무 많으니
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계산기를 꺼내볼게요
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제가 지금 이 계산을 하는 이유는
이 두 방법이
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같은 답을 낸다는 걸 보여주기 위해서에요
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그러니까 계산기를 켜면 --
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가장 먼저,
18 곱하기 7의 제곱근이
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뭔지를 구해봅시다
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18 곱하기 7의 제곱근
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이게 헤론의 공식을 써서 나온 거죠
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47.62가 나왔습니다
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이것도 47.62가 나오는지 봅시다
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8 곱하기 81 빼기 (32분의 216의 제곱)의 제곱근
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그리고 근호를 닫습니다
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그러면 정확히 똑같은
숫자가 나오죠
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조금 걱정됐어요 --
사실 계산을 미리 하지 않아서
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성의없는 실수를 했을 수도
있었으니까요
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어쨌든 여기 있네요
정확히 똑같은 수를 얻습니다
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방금전의 우리의 공식은
헤론의 공식과 완전히
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같은 값을 냈습니다.
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하지만 다음 영상에서는
이 공식을 실제로 대수적인 방법을 통해
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헤론의 공식으로 변형할 수 있다는 것을
보여드리겠습니다
