-
Řekněme, že mám trojúhelník.
-
Tady tohle je můj trojúhelník.
-
A znám pouze délky stran trojúhelníku.
-
Tato strana je délky 'a',
tato je délky 'b'
-
a tato strana je délky 'c'.
-
Mým úkolem je zjistit obsah trojúhelníku.
-
Doposud jsem byl vybaven jen tím,
-
že obsah trojúhelníku je roven
polovině základny trojúhelníku
-
krát vyška toho trojúhelníku.
-
Tím jak jsem nakreslil ten trojúhelník,
-
základnou by byla strana 'c',
ale výšku neznáme.
-
Výška by byla tohle 'h',
-
ale my nevíme, jaké je 'h'.
-
Tohle by bylo 'h'.
-
Otázkou je, jak zjistíme
obsah tohoto trojúhelníku?
-
Pokud jste viděli minulé video,
víte, že pomocí Heronova vzorce.
-
Ale smyslem je pokusit se
dokázat Heronův vzorec.
-
Pokusme se zjistit 'h'
pomocí Pythagorovy věty.
-
A poté, jakmile budeme znát 'h',
můžeme použít tento vzorec
-
a zjistit obsah tohoto trojúhelníku.
-
Tohle jsme si už označili jako 'h'.
-
Definujme si novou proměnnou.
-
Tohle je trik, který v geometrii
uvidíte poměrně často.
-
Definujme tohle jako 'x'
a pokud je 'x' fialově,
-
pak touto modro-fialovou
bude 'c minus x', že?
-
Celá délka je 'c',
celá základna je 'c'.
-
Takže pokud je tohle 'x',
pak tohle je 'c minus x'.
-
A co teď mohu udělat,
protože tohle jsou oba pravé úhly,
-
a to vím, protože tohle je výška,
-
mohu napsat dvě rovnice
z Pythagorovy věty.
-
Nejdříve můžu udělat to nalevo
a mohu napsat,
-
'x' na druhou plus 'h' na druhou
je rovno 'a' na druhou.
-
Toto dostanu z trojúhelníku nalevo.
-
Pak z trojúhelníku napravo dostanu,
-
'c minus x' na druhou plus 'h' na druhou
je rovno 'b' na druhou.
-
Předpokládám, že znám 'a', 'b' a 'c',
takže mám dvě rovnice o dvou neznámých.
-
Neznámé jsou 'x' a 'h'.
-
Pamatujte,
'h' se snažíme zjistit,
-
protože už známe 'c'.
-
Až budeme znát 'h',
použijeme vzorec na obsah.
-
Takže jak na to?
-
Dosaďme za 'h',
abychom zjistili 'x'.
-
A tím myslím,
abychom zde vyjádřili 'h' na druhou.
-
Pokud si vyjádříme 'h' na druhou,
-
odečteme 'x' na druhou
od obou stran,
-
můžeme napsat, že 'x' na druhou…
-
Omlouvám se, 'h' na druhou je rovno
'a' na druhou minus 'x' na druhou.
-
Pak ten výraz vezmeme
a dosadíme sem za 'h' na druhou.
-
Takže tato dolní rovnice bude
'c minus x' na druhou plus 'h' na druhou.
-
'h' na druhou víme z této rovnice nalevo…
-
… 'h' na druhou bude rovno…
-
… takže plus…
-
… udělám to touto barvou…
-
… 'a' na druhou minus 'x' na druhou
je rovno 'b' na druhou.
-
Jen jsem dosadil hodnotu tohoto sem.
-
Hodnotu tohoto tam.
-
Zbavme se závorky.
-
('c minus x') na druhou, to je
-
'c' na druhou minus 2 krát 'cx'
plus 'x' na druhou.
-
Pak tu máme minus…
Omlouvám se, máme plus 'a' na druhou
-
minus 'x' na druhou
je rovno 'b' na druhou.
-
Máme 'x' na druhou a minus 'x' na druhou,
takže to se odečte,
-
Přičtěme 2 krát 'cx'
k oběma stranám rovnice.
-
Naše rovnice bude
-
'c' na druhou plus 'a' na druhou…
-
Přičítám 2 krát 'cx' k oběma stranám.
-
Takže, když to tady přičtete,
dostanete nulu.
-
… je rovno 'b' na druhou plus 2 krát 'cx'.
-
Jen jsem vyrušil 'x' na druhou
a přičetl 2 krát 'cx' k oběma stranám.
-
Cílem je zjistit 'x'.
-
Jakmile zjistím 'x',
-
můžu zjistit 'h' a použít tento vzorec.
-
Abychom zjistili 'x',
odečtěme 'b' na druhou od obou stran.
-
Dostaneme 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou je rovno 2 krát 'cx'.
-
A vydělíme-li obě strany (2 krát 'c'),
dostaneme
-
('c' na druhou plus 'a' na druhou minus
'b' na druhou) lomeno 2 'c' je rovno 'x'.
-
Právě jsme vyjádřili 'x'.
-
Teď chceme zjistit výšku,
-
abychom použili vzorec
polovina krát základna krát výška.
-
Abychom to udělali,
vrátíme se k této rovnici
-
a vyjádříme si výšku.
-
Jen se posunu trochu dolů.
-
Víme, že výška na druhou je rovna
'a' na druhou minus 'x' na druhou.
-
Místo psaní 'x' na druhou dosaďme si.
-
Takže je to minus 'x' na druhou.
'x' je tento výraz zde.
-
Takže 'c' na druhou plus 'a' na druhou
minus 'b' na druhou, to celé lomeno 2 'c',
-
na druhou.
-
To je stejné jako 'x' na druhou.
-
Právě jsme si to vyjádřili.
-
Takže 'h' bude rovno
odmocnině celého tohoto výrazu.
-
Změním barvu.
-
'a' na druhou minus ('c' na druhou plus
'a' na druhou minus 'b' na druhou)…
-
… to celé na druhou.
-
Udělám to trochu úhledněji,
-
protože nechci, aby…
-
Odmocnina z…
-
… ujistím se, že mám dost místa…
-
… 'a' na druhou minus celé toto na druhou.
-
'c' na druhou plus 'a' na druhou minus 'b'
na druhou, to celé lomeno 2 'c'.
-
To je výška našeho trojúhelníku.
-
Trojúhelníku, se kterým
jsme začali tady nahoře.
-
Zkopíruji to a vložím,
abychom si pamatovali, s čím pracujeme.
-
Zkopíruji a vložím sem dolů.
-
Vložil jsem to sem dolů.
-
Známe výšku,
je to tento komplikovaný výraz.
-
Výška vyjádřena pomocí 'a', 'b' a 'c'
je celé toto zde.
-
Takže pokud bychom chtěli zjistit obsah,
obsah našeho trojúhelníku.
-
Udělám to růžově.
-
Obsah našeho trojúhelníku
bude polovina krát základna,
-
základna je celá délka 'c'.
-
… krát 'c' krát naše výška,
-
což je tento výraz zde.
-
Zkopíruji to a vložím místo abych…
-
Zkopíruji a vložím.
-
Takže krát výška.
-
Takže tohle je teď náš výraz pro obsah.
-
Teď okamžítě říkáte: „Vždyť to vůbec
nevypadá jako Heronův vzorec.“
-
A máte pravdu.
-
Nevypadá to jako Heronův vzorec,
ale co vám ukážu v příštím videu,
-
tak že to v podstatě je Heronův vzorec.
-
Tohle je na zapamatování
obtížnější verze Heronova vzorce.
-
Použiji hodně algebry ke zjednodušení
na Heronův vzorec.
-
Ale funguje to.
-
Zapamatujete-li si to.
-
Myslím, že Heron je mnohem
snazší na pamatování.
-
Ale pokud si to zapamatujete
a budete znát jen 'a', 'b' a 'c',
-
použijete tento vzorec
a získáte obsah trojúhelníku.
-
Vlastně, použijme ten vzorec,
abychom ukázali,
-
že to alespoň dá stejné číslo
jako Heronův vzorec.
-
V minulém videu jsme měli trojúhelník
se stranami 9, 11 a 16
-
a jeho obsah byl, s použitím Herona,
18 krát odmocnina ze 7.
-
Podívejme se, co dostaneme,
použijeme-li tento vzorec.
-
Dostaneme, že obsah je roven
polovina krát 16
-
krát odmocnina z…
-
'a' na druhou, to je 81, minus…
-
Podívejme, 'c' na druhou, to je 256…
-
256 plus 'a' na druhou,
to je 81, takže plus 81
-
minus 'b' na druhou, takže minus 121.
-
Všechno tohle je na druhou.
-
To celé je lomeno 2 krát 'c',
takže celé lomeno 32.
-
Podívejme se, zda to dokážeme
trochu zjednodušit.
-
81 minus 121, to je -40.
-
Takže to bude 216 lomeno 32.
-
Takže obsah je roven
polovina krát 16 je 8.
-
Změním barvy.
-
Polovina krát 16 je 8
-
krát odmocnina z 81 minus…
-
… 256…
-
81 minus 121, to je -40.
-
256 minus 40 je 216.
-
216 lomeno 32, to celé na druhou.
-
Tohle je až moc matematiky,
takže si vytáhnu kalkulačku.
-
Vlastně se jen snažím ukázat,
že tyto dvě čísla by měla být stejná.
-
Takže pokud zapneme kalkulačku.
-
Nejdříve, 18 krát odmocnina ze 7.
-
18 krát odmocnina ze 7,
to jsme dostali s použitím Herona.
-
Dostali jsme 47,62.
-
Uvidíme, jestli je i tohle 47,62.
-
Máme 8 krát odmocnina z
(81 minus [(216 lomeno 32) na druhou]).
-
A dostali jsme úplně stejné číslo.
-
Nepočítal jsem to dopředu,
mohl jsem udělat chybu z nepozornosti.
-
Ale tady to máte, stejné číslo.
-
Takže náš vzorec nám dal
úplně stejnou hodnotu jako Heronův vzorec.
-
Ale v příštím videu vám dokážu,
-
že tohle se dá algebraicky upravit
na Heronův vzorec.
