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Introduction to matrices

  • 0:01 - 0:07
    现在让我们来学习一下矩阵。我们先要了解，到底一般意义上的矩阵是什么？
  • 0:07 - 0:10
    所谓一般意义上的矩阵，就是任意矩阵的统称。
  • 0:10 - 0:16
    其实矩阵这个词，你听到得更多的地方可能是好莱坞电影而不是数学。
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    到底什么是矩阵呢？其实很简单。
  • 0:21 - 0:24
    矩阵就是一个由数字组成的表。这就是矩阵的定义。
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    让我画一个矩阵
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    我不喜欢这个牙膏一样的蓝色，让我选个别的颜色好了。
  • 0:30 - 0:38
    这就是一个矩阵的例子。我随意选几个数填进去。
  • 0:38 - 0:46
    5，1，2，3，0，-5。这就组成了一个矩阵
  • 0:46 - 0:52
    所以我说矩阵就是一个数字组成的表。如果要用一个符号代表矩阵
  • 0:52 - 0:55
    我们通常用一个大写字母表示。比如说，A
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    有些书喜欢将这个字母加粗。像这样，一个加粗的A表示一个矩阵
  • 1:00 - 1:04
    习惯上，他们会叫这个矩阵
  • 1:04 - 1:10
    或者我们也会叫这个矩阵：2乘3矩阵
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    有的人喜欢在字母下面注明2x3
  • 1:16 - 1:18
    那到底2代表什么，3又代表什么呢？
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    2代表的是行数。我们有一行，两行。这是一行，这是另一行。
  • 1:23 - 1:26
    我们有3列：1，2，3
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    所以我们叫这个矩阵A做2乘3矩阵。
  • 1:28 - 1:34
    再比如说有矩阵B，让我把字母加粗。
  • 1:34 - 1:43
    我们说B是一个5乘2矩阵，那就是说，
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    让我填几个数字：1，2，0，-5，10
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    那么它就有5行了，然后它有两列
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    我把第2列填上数字：-10，3
  • 1:56 - 2:04
    我的数都是随意填的，7，2，π
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    这就组成了一个5乘2矩阵
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    我想你现在已经明白了矩阵是一个数字表了
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    你也可以用符号的形式表示矩阵
  • 2:15 - 2:19
    你用一个粗体的大写字母表示矩阵，你也可以在这里注明2x3
  • 2:19 - 2:23
    如果你想引用矩阵的一个元素
  • 2:23 - 2:26
    比如在上面这个例子里，也就是矩阵A
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    如果某人想引用，矩阵的这个元素
  • 2:33 - 2:37
    怎么办？这是第2行，这个元素在第2行里
  • 2:37 - 2:39
    它也在第2列里
  • 2:39 - 2:42
    这是第1列，第2列。第1行，第2行
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    很明显它的位置是在第2行，第2列
  • 2:45 - 2:52
    通常人们会写A，方括号
  • 2:52 - 2:58
    2，逗号，2，等于0
  • 2:58 - 3:02
    有的人也会写小写a
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    然后在下标写2，逗号，2，等于0
  • 3:07 - 3:12
    a是什么？a和A其实是一样的。
  • 3:12 - 3:14
    我只是列出不同的表示方法而已
  • 3:14 - 3:16
    说白了其实就是个符号。
  • 3:16 - 3:22
    那么，a，1，逗号，3，表示的是哪个元素呢？
  • 3:22 - 3:25
    这个位置在第1行，第3列
  • 3:25 - 3:28
    第1行；1，2，3，就是这个位置的元素
  • 3:28 - 3:29
    这个元素等于2
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    这就是一个矩阵的表示方法
  • 3:32 - 3:34
    矩阵是一个数字表，这样表示
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    我们也可以用不同的方法表示
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    你也许会问
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    一个数字表，有个有趣的名字和有趣的表示方法
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    有什么用呢？
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    这个问题很有趣。
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    矩阵是一种数据的表示形式。就是记录数据的一个方法而已。
  • 3:52 - 3:54
    仅此而已。它的本质就是一个数字表。
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    但是，我们可以用它表示一组现象
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    如果你在上代数1和代数2的课
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    你也许已经用矩阵表示过线性方程组了
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    以后我们就会学到，我会用一系列的视频
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    来解释矩阵在很多不同问题上的应用
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    比如，在计算机图形方面，矩阵是一个强大的工具
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    矩阵的元素可以用来代表屏幕上的像素
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    可以代表坐标空间里的点
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    还可以表示……天知道！
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    数不清的东西都可以用矩阵表示
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    重要的是，我们要了解矩阵并不是
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    一个自然现象。
  • 4:30 - 4:35
    它跟许多我们知道的数学概念不一样。
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    它是表示数学概念的一个方式
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    或者说，表述值的一个方式。
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    你要自己定义它表示的是什么
  • 4:43 - 4:45
    让我们把矩阵表示的具体内容这个问题
  • 4:45 - 4:48
    暂时搁置一下
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    然后……哦，我太太进来了，她在找我们的文件柜
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    回到我们的话题
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    让我们暂时搁置矩阵表示的具体内容
  • 4:57 - 4:59
    来学一些传统的东西
  • 4:59 - 5:02
    我认为，至少在一开始的时候，这个部分很难。
  • 5:02 - 5:04
    矩阵怎么相加？
  • 5:04 - 5:06
    矩阵怎么相乘？怎么求逆矩阵？
  • 5:06 - 5:09
    怎么解行列式？
  • 5:09 - 5:11
    这些名称你很可能还不熟悉
  • 5:11 - 5:14
    除非你已经在以前的代数课里搞懂了
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    现在，我就来教给你们这些东西
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    它们都是人为规定的。
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    在以后，我会有一系列视频讲述这些规定的意义
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    和它们的本质。
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    假设我想将这个两个矩阵加起来
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    第一个矩阵，让我换一下颜色
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    我会写相对小的矩阵，节约空间
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    有一个矩阵，3，-1，
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    2，0，让我们叫这个矩阵A
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    再有矩阵B，我会随意填上一些数
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    矩阵B有：-7，2，3，5
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    现在的问题是，矩阵A
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    就像在课本里，我把字母加粗
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    加上矩阵B等于什么？我把两个矩阵相加，
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    这是人为规定的。人们规定的矩阵如何相加。
  • 6:26 - 6:28
    他们本来可以定义另外一种相加的方式，但是，他们说
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    我们想让矩阵以我将要描述的方式相加
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    因为这对一类问题很有用
  • 6:32 - 6:35
    当你把两个矩阵相加的时候，你实际上是要
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    把两个矩阵想对应的元素相加。这是怎么实现的呢？
  • 6:40 - 6:43
    你把第一个矩阵里第1行第1列的元素
  • 6:43 - 6:46
    和第二个矩阵里第1行第1列的元素相加
  • 6:46 - 6:50
    在这个例子里，就是3+(-7)
  • 6:50 - 6:55
    这就得到了和矩阵位置(1,1)上的元素。同理，第1行第2列的元素
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    将等于-1+2
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    我把它们用括号括起来
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    表示这是不同的元素。如此类推
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    这个元素是2+3。这个最后的元素是0+5
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    最终结果是什么？3+（-7），等于-4
  • 7:27 - 7:32
    -1+2，等于1。2+3，等于5
  • 7:32 - 7:40
    0+5，等于5。这样我们就得到了最终结果，我们定义的矩阵加法的结果。
  • 7:40 - 7:43
    根据这个定义，你可以类推
  • 7:43 - 7:49
    B+A也是一样的。接下来我们要考虑，
  • 7:49 - 7:53
    现在不是在做数字的加法。我们知道，1加2和2加1结果是一样的。
  • 7:53 - 7:57
    或者说，任意两个数，相加的顺序不会影响结果。
  • 7:57 - 8:00
    但对于矩阵，这不是那么明显。我现在要告诉你的是，根据我们定义的矩阵加法
  • 8:00 - 8:04
    A加B和B加A结果也是一样的。
  • 8:04 - 8:07
    如果我们做B加A，这里变成(-7)+3
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    这里变成2+(-1)。得到的结果是一样的。
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    这就是矩阵加法。
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    仔细想一下就会知道，矩阵减法，也是一样的。
  • 8:15 - 8:22
    我们……我还是举个例子好了。A减B等于什么？
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    这是个大写B，因为它代表一个矩阵
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    所以我把它加粗了。这等价于
  • 8:35 - 8:43
    矩阵A加上，-1乘以矩阵B。矩阵B等于
  • 8:43 - 8:48
    -7，2，3，5。当矩阵乘以一个标量
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    简单的说，矩阵乘以一个数
  • 8:50 - 8:53
    结果等于矩阵里的每个元素乘以这个数
  • 8:53 - 8:58
    因此，这等于A，矩阵A，加上矩阵
  • 8:58 - 9:02
    这里我们把每个元素都乘以(-1)，得到
  • 9:02 - 9:08
    7，-2，-3，5。然后我们
  • 9:08 - 9:12
    重复上面的步骤。
  • 9:12 - 9:16
    这等于，A在这里，所以
  • 9:16 - 9:21
    3+7等于10，(-1)+(-2)等于(-3)，
  • 9:21 - 9:29
    2+(-3)等于(-1)，最后0+5等于5
  • 9:29 - 9:32
    你也可以不按照这样的步骤做
  • 9:32 - 9:34
    你可以直接用这些元素减去对应的这些元素
  • 9:34 - 9:35
    得到的结果是一样的。
  • 9:35 - 9:38
    我上面这样做是为了说明
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    标量，或者说数值，乘以一个矩阵
  • 9:41 - 9:47
    等于矩阵里的元素逐个乘以这个数
  • 9:47 - 9:51
    接下来，根据矩阵加法的定义，我们还能知道什么？
  • 9:51 - 9:54
    根据定义的相加方式
  • 9:54 - 9:59
    我们知道相加的两个矩阵必须有相同的尺寸。例如
  • 9:59 - 10:01
    你可以把这两个矩阵相加。你可以加元素
  • 10:01 - 10:08
    1，2，3，4，5，6，7，8，9，到第一个矩阵
  • 10:08 - 10:14
    元素-10，-100，-1000
  • 10:14 - 10:20
    注意这些数字都是我随意填的，1，0，0，1，0，1
  • 10:20 - 10:22
    到第二个矩阵
  • 10:22 - 10:25
    因为这两个矩阵有相同的行数和列数
  • 10:25 - 10:30
    如果你要把他们加在一起，第1行元素就是1+(-10)
  • 10:30 - 10:34
    等于-9。2+(-100)，等于-98
  • 10:34 - 10:40
    我想你已经明白了。你算出3行3列共9个元素。
  • 10:40 - 10:45
    但是，你不能把这样两个矩阵加在一起，比如
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    让我们换个颜色，和前面区别开来
  • 10:49 - 10:52
    你不能加这个蓝色的矩阵
  • 10:52 - 11:03
    -3，2，到这个矩阵，9，7
  • 11:03 - 11:05
    为什么它们不能相加呢？
  • 11:05 - 11:08
    原因是，它们没有对应的元素可加
  • 11:08 - 11:12
    这个矩阵是1行2列，也就是是1×2
  • 11:12 - 11:16
    而这个是2×1，他们的维数不匹配
  • 11:16 - 11:19
    因此，我们也不能对这两个矩阵做加法或减法
  • 11:19 - 11:22
    补充一点，当一个矩阵有一个维度是1
  • 11:22 - 11:27
    比如说，只有1行和许多列
  • 11:27 - 11:30
    这个矩阵也叫做行向量
  • 11:30 - 11:32
    一个向量本质上是一个一维矩阵
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    因为其中一个维度是1。所以这个矩阵是个行向量
  • 11:36 - 11:39
    而这边这个矩阵是个列向量。向量是你要记住的一个常用术语。
  • 11:39 - 11:41
    如果你要学线性代数和微积分
  • 11:41 - 11:44
    你的教授会经常使用这些术语，所以你最好先熟悉一下。
  • 11:44 - 11:49
    不知不觉，我已经说了11分钟了，下章再见。
Title:
Introduction to matrices
Description:

What a matrix is. How to add and subtract them.
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Video Language:
English
Duration:
11:51

Chinese, Simplified subtitles

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