-
Poďme sa naučiť niečo o maticách. Takže, čo je, alebo na čo myslím, keď poviem slovo matica?
-
No, slovo matice je iba množným číslom slova matica.
-
Toto slovo asi poznáte skôr z Hollywoodu ako z matematiky. (Matrix - film)
-
Takže, čo je to matica? No, je to vlastne celkom jednoduchá vec.
-
Je to proste tabuľka čísiel. To je všetko.
-
Nakreslíme si maticu.
-
Táto modrá farba vyzerá ako zubná pasta, použijem inú.
-
Toto je napríklad matica. Povedzme, že, čo ja viem, vyberiem nejaké náhodné číslice;
-
päť, jedna, dva, tri, nula, mínus päť. Toto je matica.
-
Je to proste tabuľka čísiel, často ju pomenúvame nejakou premennou,
-
takže použijete veľké písmenko. Môžeme použiť veľké "A".
-
V niektorých knihách ho píšu tučne, takže tučné "A" môže byť matica.
-
A teraz ako ju zapisujeme. Takže, túto maticu nazývame,
-
podľa dohody, maticou typu "2x3".
-
A niekto dokonca píše "2x3" pod tučné písmeno, ktoré predstavuje maticu.
-
Čo je dva? A čo znamená tri?
-
No, dva je počet riadkov. Máme tu prvý riadok, druhý riadok. Toto je riadok a toto je riadok.
-
Máme tu tri stĺpce: jeden, dva, tri.
-
Preto o tejto matici hovoríme, že je typu 2x3.
-
Povedzme, že B, napíšem ho tučne,
-
ak je B matica typu 5x2, znamená to, že B bude mať,
-
moment, iba tam napíšem čísla: nula, mínus päť, desať.
-
Že má päť riadkov a dva stĺpce.
-
Tu budeme mať ďalší stĺpec. Povedzme: mínus desať, tri,
-
iba tam píšem náhodné čísla. Sedem, dva, pí.
-
Toto je matica typu 5x2.
-
Takže myslím, že už rozumiete tomu, že matica je proste tabuľka čísiel.
-
Môžete ju vyjadriť ako premennú pomocou
-
tučného veľkého písmena. Niekedy sem napíšete 2x3.
-
A dokonca môžete ukázať na konkrétny člen matice.
-
V tomto príklade, v tom hore, kde máme maticu A.
-
Keby chcel niekto poukázať, povedzme, na tento člen matice.
-
Kde je? Je to druhý riadok, je v druhom riadku.
-
A je v druhom stĺpci. Správne?
-
Toto je stĺpec jedna, toto je stĺpec dva. Rada jedna, rada dva.
-
Takže je v druhom rade a druhom stĺpci.
-
Takže môžeme napísať, že A, za to dáme
-
dva, dva, "A_2,2" sa rovná nule.
-
Alebo môžeme napísať, niekedy sa píše malé a,
-
"a2,2" sa rovná 0.
-
No čo je A? Oboje je to isté.
-
Robím to iba preto, aby som vám ukázal značenie,
-
toto je len ustálené značenie.
-
Takže koľko je "a1,3"?
-
To znamená, že sme v prvom riadku a v treťom stĺpci.
-
Prvý riadok: jedna, dva, tri. Je to táto hodnota, priamo tu.
-
Takže sa to rovná dvojke.
-
Toto je iba značenie, zápis toho, čo je matica;
-
je to tabuľka čísiel, ktorú môžeme značiť takto.
-
Týmto spôsobom môžeme vyjadriť jej prvky.
-
Možno sa pýtate
-
"Sal, toto je síce pekné, tabuľka čísiel,
-
super slová a super značenie. Ale k čomu je to dobré?"
-
A to je to zaujímavé.
-
Matica je iba vyjadrením dát. Je to spôsob, ako zapísať dáta.
-
To je ono. Tabuľka čísiel.
-
Ale môže byť použitá k vyjadreniu celej rady vecí.
-
Čo robíte v algebre,
-
najskôr ju používate k vyjadreniu lineárnych rovníc.
-
Ale neskôr sa naučíme, urobím o tom celú sériu videí,
-
aplikáciu matíc na celú kopu rôznych vecí.
-
Môže predstavovať; je to veľmi silný nástroj
-
a keď robíte počítačovú grafiku, matice... členy vyjadrujú pixle na obrazovke,
-
môžu predstavovať body v sústave súradníc,
-
môžu predstavovať... Všetko možné!
-
Existuje tuna vecí, ktorú môžu predstavovať.
-
Ale je dôležité si uvedomiť,
-
že matica nie je prírodná, prirodzená vec.
-
Nieje ako veľa matematických konceptov, ktoré sme sa učili.
-
Je to spôsob, ako vyjadriť matematické koncepty.
-
Spôsob ako vyjadriť hodnoty. Ale musíte definovať,
-
čo je to za hodnoty, čo predstavujú.
-
Ale vráťme sa trošku naspäť
-
k tomu, čo vážne matica predstavuje.
-
A, och, moja manželka je tu. Hľadá našu kartotéku.
-
Ale späť k tomu, čo som robil.
-
Späť k tomu, čo je to matica,
-
čo v skutočnosti predstavuje. Musíme sa naučiť pravidlá.
-
Pretože, ehm, prinajmenšom zo začiatku,
-
je to to najťažšie. Ako sčítať matice?
-
Ako ich vynásobiť? Čo je to inverzná matica?
-
Ako zistíme determinant matice?
-
Viem, že tieto slová môžu znieť neznámo, strašidelne.
-
Hlavne pokiaľ z nich ešte nieste zmätený už z hodín algebry.
-
Takže sa všetky tie veci najprv naučíme.
-
Všetko sú to naozaj pravidlá vymyslené ľuďmi.
-
A potom, neskôr, urobíme celú radu videí o tom, ako ich pochopiť,
-
čo v skutočnosti predstavujú. Poďme na to.
-
Takže povedzme, že chcem sčítať tieto dve matice.
-
Povedzme, že prvá z nich, zmením farbu. Povedzme,
-
urobím iba nejaké malé, aby som neplytval miestom.
-
Takže máme maticu: tri, mínus jeden, neviem,
-
dva, nula. Nazveme si ju A, veľké A.
-
Povedzme, že matica B, proste si vymýšľam čísla.
-
Matica B je: mínus sedem, dva, tri, päť.
-
Takže sa pýtam: Koľko je A,
-
urobím ju tučne, ako je to v učebniciach, koľko je A plus B?
-
Takže sčítam tieto dve matice. A ešte raz, toto sú ľuďmi vymyslené pravidlá.
-
Niekto definoval, ako sčítať matice.
-
Mohli to definovať nejako inak. Ale oni povedali:
-
budeme sčitovať matice tak,
-
ako vám to za chvíľku ukážem, je to užitočné pre celú radu vecí.
-
Takže keď sčítame dve matice, v podstate sčítame
-
odpovedajúce prvky. Ako to funguje?
-
Sčítame prvok, ktorý je v prvom riadku a prvom stĺpci
-
s prvkom, ktorý je v prvom riadku, prvom stĺpci. Dobre, máme tu
-
tri plus mínus sedem. Takže tri plus mínus sedem.
-
To bude prvok 1,1. Teraz prvok v riadku jeden, stĺpci dva
-
bude mínus jedna plus dva.
-
Dáme okolo nich zátvorky, aby sme rozoznali,
-
že to sú oddelené prvky. A určite uhádnete, ako budeme pokračovať.
-
Tento prvok bude dva plus tri. Tento posledný prvok bude nula plus päť.
-
To sa rovná čomu? Tri plus mínus sedem, to je mínus štyri.
-
Mínus jedna plus dva je jedna. Dva plus tri je päť.
-
A nula plus päť sa rovná päť. Takže tu to máme, takto niekto definoval súčet dvoch matíc.
-
A podľa tejto definície, určite vidíte, že to bude to isté
-
ako B plus A. Správne? A pamätajte, tu sa už musíme zamyslieť,
-
pretože už nesčítavam iba čísla. Viete, že jedna plus dva je to isté ako dva plus jedna.
-
Alebo akékoľvek dve čísla, nezáleží na tom, v akom poradí ich sčítavame.
-
Ale u matice to nie je ihneď samozrejmé. Ale keď to definujeme takto,
-
nezáleží na tom či sčítame A plus B alebo B plus A, správne?
-
Keby sme urobili B plus A, toto by bolo mínus sedem plus tri.
-
Toto by bolo dva plus mínus jedna. Výsledkom budú rovnaké čísla.
-
To je sčítavanie matíc.
-
A určite si viete predstaviť, že odčítanie matíc je v podstate to isté.
-
Urobíme... Viete čo, ukážeme si to. Koľko by bolo A mínus B?
-
Vidíte, toto je veľké B, je to matica,
-
preto to robím tučným. Je to to isté ako
-
A plus (mínus jedna krát B). Čo je B? B je
-
mínus sedem, dva, tri, päť. A teraz to vynásobíme mínus jedničkou,
-
keď násobíte maticu,
-
vynásobíte tím číslom každý jej prvok.
-
Takže toto sa rovná A, matica A, plus matica, každý prvok
-
vynásobíme mínus jedničkou. Takže sedem,
-
mínus dva, mínus tri, päť (Poznámka prekladateľa: mínus päť).
-
A teraz urobíme to isté čo tu hore. Vieme, čo je A.
-
Toto sa bude rovnať, pozrime sa na to, A je tu hore.
-
Takže tri plus sedem je desať, mínus jedna a mínus dva sa rovná mínus tri,
-
dva plus mínus tri bude mínus jedna a nula plus päť je päť (Poznámka prekladateľa: nula plus (mínus päť) je mínus päť).
-
A nemusíme na to ísť cez všetky tieto kroky.
-
Mohli by sme proste iba odčítať tieto prvky od týchto
-
a dostaneme tú samú hodnotu.
-
Urobil som to, aby som vám ukázal násobenie matice
-
reálnym číslom, nejaké reálne číslo krát matica
-
je proste vynásobenie každého členu tej matice tím číslom.
-
Podľa tejto definície sčítanie matíc, čo vieme?
-
No, vieme, že obe matice musia mať rovnakú veľkosť,
-
kvôli tomu ako sčítavame. Takže napríklad,
-
môžeme sčítať tieto dve matice. Môžeme sčítať, neviem,
-
jedna, dva, tri, štyri, päť, šesť, sedem, osem, deväť v tejto matici
-
s, neviem, mínus desať, mínus sto, mínus tisíc,
-
vymýšľam si čísla, jedna, nula, nula, jedna, nula, jedna.
-
Tieto dve matice môžeme sčítať, správne?
-
Majú rovnaký počet riadkov a rovnaký počet stĺpcov.
-
Takže, napríklad, keby som ich sčítal. Prvý prvok by bol jedna plus mínus desať,
-
teda mínus deväť. Dva plus mínus sto je mínus deväťdesiat osem.
-
Myslím, že to chápete. Máme presne deväť prvkov v troch radách a troch stĺpcoch.
-
Ale nemôžeme sčítať tieto dve matice.
-
Urobím ich inou farbou, aby som ukázal, čo sa líši.
-
Nemôžeme sčítať, túto modrú, nemôžeme sčítať túto maticu:
-
mínus tri, dva s maticou, neviem, deväť, sedem.
-
A prečo ich nemôžeme sčítať?
-
No, nemajú odpovedajúce prvky, ktoré by sme mohli sčítať.
-
Táto má jednu radu krát dva stĺpce, teda je typu 1x2,
-
a táto je 2x1. Takže nemajú rovnaké rozmery,
-
nemôžeme ich sčítať ani odčítať.
-
A iba ako poznámku, keď matica,... keď je jeden z jej rozmerov jedna.
-
Takže napríklad, tu máme jednu radu a viac stĺpcov.
-
Tomuto vlastne hovoríme lineárny vektor.
-
Vektor je v podstate jednorozmerná matica,
-
keď jeden z rozmerov je jedna. Takže toto je riadkový vektor
-
a podobne, toto je stĺpcový vektor. To je iba nejaká terminológia naviac,
-
ktorú by ste mali poznať. Až budete mať lineárnu algebru a calculus,
-
váš profesor môže tieto termíny používať a je dobré ich už poznať.
-
Teraz, už máme cez jedenásť minúť, takže budem pokračovať v ďalšom videu. Uvidíme sa.
