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Découvrons les matrices. Donc, que veux-je dire quand je dis matrices ?
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En fait, matrices est juste le pluriel de matrice.
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Qui est probablement un mot (NDT: Matrix) que vous connaissez plus par Hollywood que par les mathématiques.
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Donc, qu'est-ce qu'une matrice ? En fait c'est un concept tout simple.
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Ce n'est qu'un tableau de nombres. C'est tout ce qu'est une matrice.
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Donc, laissez-moi vous tracer une matrice.
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Je n'aime pas ce bleu dentifrice, donc je vais prendre une autre couleur.
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Voici un exemple de matrice. Si je dis, je ne sais pas, je vais choisir des nombres au hasard;
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cinq, un, deux, trois, moins cinq. Voici une matrice.
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Et c'est juste un tableau de nombres, souvent si vous voulez une variable pour nommer la matrice, vous
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prendrez une lettre majuscule. Donc on pourrait prendre un «A» majuscule.
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Parfois dans les livres les caractères gras sont utilisés. Ça pourrait donc être un «A» en gras, ça serait une matrice.
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Et simplement un peu de notation. On appellerait cela
matrice. Ou nous appellerions
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cette matrice, par convention, cette matrice s'appellerait une matrice deux par trois.
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Et parfois on écrit «2x3» sous la lettre grasse utilisé pour représenter la matrice.
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Qu'est-ce que deux ? Et qu'est-ce que trois ?
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Bon, deux est le nombre de lignes. Nous avons une rangée, deux rangées. Ceci est une rangée, ceci est une rangée.
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Nous avons trois colonnes; une, deux, trois.
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C'est pourquoi on l'appelle matrice deux par trois.
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Quand vous dites, vous savez, si je dis, si je dis que B, je vais mettre la lettre plus grasse.
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Si B est une matrice cinq par deux, ceci signifie que B aurait, je peux, laissez-moi en faire une.
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Je vais simplement y mettre des nombres; zéro, moins cinq, dix.
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Donc, elle a cinq lignes, elle a deux colonnes.
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Ajoutons une autre colonne ici. Donc, voyons voir: moins dix, trois,
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Je ne fais que mettre des nombres au hasard. Sept, deux, pi.
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C'est une matrice cinq par deux.
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Donc, je crois que vous avez maintenant une sorte de convention qu'une matrice n'est qu'un
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tableau de nombres. Vous pouvez la représenter comme une variable
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vous la représentez comme une lettre capitale grasse. Parfois on écrit deux par trois.
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Et on peut désigner les éléments de la matrice.
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Dans cet exemple, l'exemple du haut, où nous avons la matrice A.
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Si quelqu'un voulait désigner, disons, à cet élément de la matrice.
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Donc, de quoi s'agit-il ? C'est la deuxième ligne. C'est dans la ligne deux.
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Et, c'est dans la colonne deux. Juste ?
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C'est la colonne un, c'est la colonne deux. Colonne un, colonne deux.
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Donc, c'est dans la deuxième ligne, deuxième colonne.
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Donc, parfois les gens écrirons ce «A», puis ils écrirons, vous savez,
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deux virgule deux est égal à zéro.
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Ou ils pourraient écrire, parfois ils écrierons un petit «a».
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deux virgule deux est égal à zéro.
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Alors, quel est «a» ? Ces deux choses sont les mêmes.
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Je ne fais cela que pour vous montrer la notation,
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parce qu'il ne s'agit vraiment que de notation.
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Donc, qu'est-ce que un virgule trois ?
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Bien, ça signifie que nous sommes dans la première ligne et la troisième colonne.
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Première ligne; un, deux, trois. C'est cette valeur ici.
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Donc, ceci égal deux.
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Donc, ce n'est que de la notation de ce qu'est une matrice ;
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c'est un tableau de nombres, elle peut être représentée de cette manière
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Nous pouvons aussi représenter ses différents éléments de cette manière.
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Vous pourriez donc demander
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«Sal, c'est super, un tableau de nombre avec
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des mots et une notation sophistiqués. Mais à quoi ça sert ?»
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Et c'est l'élément intéressant.
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Une matrice n'est que la représentation de données. Ce n'est qu'une manière de représenter des données.
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C'est tout ce que c'est. C'est un tableau de nombres.
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Mais, elle peut être utilisée pour représenter en ensemble de phénomènes.
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Et si vous faites ceci dans votre cours d'Algèbre 1 ou d'Algèbre 2
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vous l'utilisez probablement pour représenter des équations linéaires.
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Mais, nous apprendrons, plus tard, que, et je vais faire un ensemble de vidéos
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sur l'application des matrices à une foule de choses différentes.
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Mais, ça peut représenter, c'est très puissant et si vous faites
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des dessins sur ordinateur, ces matrices... Les éléments peuvent représenter des pixels sur votre écran,
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ils peuvent représenter des points dans un espace cartésien,
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ils peuvent représenter... Qui sait !
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Ils y a des tonnes de choses qu'elles peuvent représenter.
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Mais la chose importante à réaliser c'est qu'une matrice
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n'est pas un phénomène naturel.
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Ce n'est pas comme beaucoup de concepts mathématiques que l'on a vu.
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C'est une manière de représenter un concept mathématique
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Ou, une manière de représenter des valeurs. Mais vous devez en quelque sorte
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définir ce qu'elle représente.
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Mais, mettons ceci un peu au second plan
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en termes de ce que ça représente vraiment.
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Et le, Oh, ma femme est là. Elle cherche notre classeur.
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Mais peu importe, de retour à ce que je faisais.
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Donc, donc, mettons ce qu'une matrice représente effectivement au second plan.
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Apprenons les conventions.
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Parce que je pense, heu, au moins au début, que c'est
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la partie la plus difficile. Comment additionner de matrices ?
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Comment multiplier des matrices ? Comment inverser des matrices ?
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Comment trouver le déterminant d'une matrice ?
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Je sais que ces mots peuvent ne pas vous sembler familiers. À moins
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que vous n'ayez déjà été troublé dans votre cours d'algèbre.
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Donc, je vais vous montrer toutes ces choses en premier.
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Qui sont en fait des conventions humaines.
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Et puis, plus tard, je vous ferai une foule de vidéo sur leurs fondements
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et ce qu'elles représentent. Donc, commençons.
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Disons que je voulais additionner ces deux matrices.
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Disons que la première -- laissez-moi changer de couleur. Disons,
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je vais en faire une relativement petite, simplement pour ne pas gaspiller d'espace.
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Vous avez une matrice; trois, moins un, je ne sais pas,
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deux, zéro. Je ne sais pas appelons-la «A». «A» majuscule.
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Et disons la matrice «B», j'invente des nombres.
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La matrice «B» est égale à moins sept, deux, trois, cinq.
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Donc, ma question est : qu'est-ce que «A» ?
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Je la met en gras comme dans les manuels, plus
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la matrice «B» ? J'additionne deux matrices. Et, encore une fois
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ce ne sont que des conventions. Quelqu'un a défini comment les matrices s'additionnent.
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On aurait pu le définir d'une autre manière. Mais, on a dit :
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"Nous allons additionner les matrice de la manière
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que je vais le faire parce que c'est utile pour une série de phénomènes."
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Donc, quand vous additionnez deux matrices, essentiellement, vous additionnez simplement
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les éléments correspondants. Donc, comment ça fonctionne ?
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Eh bien, vous additionnez l'élément de la ligne un colonne un avec
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l'élément de la ligne un colonne un. Parfait, donc c'est
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trois plus moins sept. Donc, c'est trois plus moins sept.
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Ceci sera l'élément un virgule un. Ensuite, l'élément de la ligne un, colonne deux
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sera moins un plus deux.
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Mettez des parenthèses autour pour savoir que ce sont
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des éléments distinct. Et, vous pouvez deviner comment ça continue.
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Cet élément sera deux plus trois. Cet élément, ce dernier élément sera zéro plus cinq.
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Donc, ceci égale quoi ? Trois plus moins sept, c'est moins quatre.
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Moins un plus deux, c'est un. Deux plus trois c'est cinq. Et,
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zéro plus cinq c'est cinq. Donc, nous y voilà, c'est comme ça que les humains ont défini l'addition de matrices.
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Et, par la même définition, vous pouvez imaginer que ce sera la même chose
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que «B» plus «A». Juste ? Et rappelez-vous, c'est quelque chose auquel on doit réfléchir
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car nous n'additionnons plus des nombres. Vous savez qu'un plus deux est la même chose que
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deux plus un. Ou n'importe quel nombre normal, ça ne dérange pas dans quel ordre
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vous les additionnez. Mais les matrices ne sont pas aussi évidentes. Mais quand vous les définissez de cette manière
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ça ne dérange pas si on fait «A» plus «B» ou «B» plus «A». Ça va ?
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Si nous faisons «B» plus «A», ça ferait juste que moins sept plus trois.
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Ça ne serait que deux plus moins un. Mais ça reviendrait à la même valeur.
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C'est l'addition de matrices.
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Et, comme vous pouvez l'imaginer, la soustraction est en fait la même chose.
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Nous ferions... En fait, laissez-moi vous montrer un exemple. Que serait A moins B ?
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Bien, vous pouvez voir que ceci est un «B» majuscule, c'est une matrice.
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C'est pourquoi je la fait très grasse. Mais c'est la même chose que;
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«A» plus moins 1, fois «B». Qu'est-ce que «B» ? Bien, «B» est;
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moins sept, deux, trois, cinq, Et quand on multiplie
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un scalaire, quand on multiplie un nombre par une matrice,
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on multiplie simplement ce nombre par chacun des éléments.
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Donc, ceci donne «A», matrice «A», plus la matrice, on ne fait que multiplier
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le moins un par chaque élément. Donc sept,
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moins deux, moins trois, cinq. Et ensuite on
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fait comme on a fait là-haut. Nous savons ce qu'est «A». Donc,
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ceci serait égal à, voyons-voir, «A» est là-haut. Trois plus
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sept donne dix, moins un plus moins deux donne moins trois,
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deux plus moins trois donne moins un et zéro plus cinq donne cinq.
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Et vous n'aviez pas à refaire cet exercice-là.
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Vous auriez pu, simplement, soustraire ces éléments de ces éléments
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et vous auriez obtenu les mêmes valeurs.
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J'ai fait ceci parce que je voulais vous montrer que multiplier
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un scalaire par, ou juste une valeur ou un nombre, par une matrice
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est simplement la multiplication de ce nombre par les éléments de la matrice.
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Et puis... Que savons-nous de par cette définition de l'addition matricielle ?
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Bien, nous savons que les deux matrices sont de même taille,
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par cette définition de la manière des les additionner. Par exemple,
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vous pourriez ajouter ces deux matrices. Vous pourriez ajouter, je ne sais pas,
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un, deux, trois, quatre, cinq, six sept, huit, neuf à cette matrice;
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à, je ne sais pas, moins dix, moins cent, moins mille.
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J'invente des nombres. Un, zéro, zéro, un, zéro, un.
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On peut additionner ces matrices. Exact ?
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Parce qu'elles ont le même nombre d'éléments et le même nombre de colonnes.
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Par exemple, si vous les additionniez. Le premier élément ici serait un plus moins dix,
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donc, ce serait moins neuf. Deux plus moins cent, moins quatre-vingts-dix-neuf.
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Je crois que vous saisissez. On aurait exactement neuf éléments et on aurait trois lignes et trois colonnes.
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Mais, vous ne pourriez additionner ces matrices. Vous ne pourriez additionner...
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Laissez-moi le faire en utilisant une autre couleur, simplement pour montrer que c'est différent,
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Vous ne pourriez pas additionner, cette bleue, vous ne pourriez additionner cette matrice;
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moins trois, deux à la matrice; Je ne sais pas, neuf, sept.
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Et pourquoi ne pourriez-vous pas les additionner ?
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Bien, elles n'ont pas d'éléments correspondants à additionner.
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Ceci est une matrice une ligne, une colonne, celle-ci est une un par deux
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et celle-ci est une deux par un. Donc, elles n'ont pas les mêmes dimensions
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donc on ne peut pas les additionner ou les soustraire.
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Et, juste une parenthèse, quand une matrice a... quand un de ses
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dimensions est un. Donc, par exemple, ici vous avez une ligne
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et plusieurs colonnes. Ceci est appelé un vecteur ligne.
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Un vecteur est essentiellement une matrice à une dimension,
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où une des dimensions est un. Donc, c'est un vecteur ligne et similairement,
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c'est une vecteur colonne. C'est simplement un peu plus de terminologie
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que vous devriez connaître. Si vous suivez un cours d'algèbre linéaire et de calcul différentiel et intégral
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votre professeur pourrait utiliser ces termes et c'est bon qu'il vous soient
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familiers. Peu importe, j'étire à onze minutes, donc je vais continuer dans la prochaine vidéo. À bientôt.
