基本三角学之二
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0:01 - 0:03让我们来做大量的习题,只是想确保我们
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0:03 - 0:07把基本三角函数掌握得很好
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0:07 - 0:11让我们来构思一些直角三角形
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0:11 - 0:14让我们来构思些直角三角形,而且我想把它解释得十分清楚明白
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0:15 - 0:18目前为止,它们只适用于直角三角形,所以如果你正在找
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0:18 - 0:23一些不是在直角三角形里的角的三角函数
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0:23 - 0:26我们看到 必须要构建直角三角形
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0:26 - 0:28但现在我们只集中注意力在直角三角形
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0:28 - 0:31因此我们说,我有一个三角形,而且假设这里的长度是7
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0:34 - 0:38也假设,这条边的长度,是4
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0:39 - 0:43让我们找出这里的斜边将会是多少
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0:43 - 0:46因此我们知道 让我们把斜边叫做“h”
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0:46 - 0:52我们知道h的平方将等于 7的平方+4的平方
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0:52 - 0:55这从勾股定理中来
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0:55 - 0:57斜边的平方等于
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0:57 - 1:02其他两条边的平方的总和
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1:02 - 1:05h的平方 = 7的平方 + 4的平方
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1:05 - 1:10这就等于49+16
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1:10 - 1:1249+16
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1:12 - 1:1949+10=59,加上6等于65
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1:19 - 1:21所以这是√65
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1:21 - 1:26让我写下:√65 这是黄色不同的阴影--
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1:26 - 1:29因此我们有一个数的平方是等于65
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1:29 - 1:34我做得对吗?49+10=59,加上另外的6等于65
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1:34 - 1:38或者我们能说h等于,如果我们把两边的开方
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1:38 - 1:39开方
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1:39 - 1:4365的平方根,而且我们真的不能把它化简了
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1:43 - 1:45这是13
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1:45 - 1:47这跟13乘以5一样,他们都不能完全平方
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1:50 - 1:52它们都是素数 所以你不能再化简它们
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1:52 - 1:55这就等于65的平方根
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1:55 - 2:02现在让我们找,让我们这个角的的三角函数
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2:02 - 2:05假设这个角叫做Θ
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2:05 - 2:07所以每当你做它
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2:07 - 2:09你总是想要把它写下来--至少对我来说,写下来它起作用
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2:09 - 2:12soh cah toa
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2:12 - 2:13soh
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2:13 - 2:16soh cah toa。我有些模糊的记忆
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2:16 - 2:19从我的三角学老师
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2:19 - 2:21也许我已经在几本书里读过它了,我不知道 — — 你知道,关于
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2:21 - 2:24一些类型的印度公主命名为"soh cah toa" 或什么的
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2:24 - 2:26但它是一个非常有用的助记符
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2:26 - 2:28这样我们可以应用"soh cah toa"
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2:28 - 2:31假设我们要找余弦值
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2:31 - 2:34我们想要找角的余弦值
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2:34 - 2:38我们想找角的余弦值,你说:"soh cah toa !"
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2:38 - 2:41所以"cah". "Cah"告诉我们如何处理余弦值
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2:41 - 2:43"cah"这部分告诉我们
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2:43 - 2:46余弦值是 邻边比斜边
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2:46 - 2:51余弦值等于邻边
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2:51 - 2:56现在,让我们看一遍 Θ ; 哪条是邻边?
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2:56 - 2:58我们都知道,斜边
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2:58 - 3:01我们知道,斜边是这条
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3:01 - 3:05所以它不能是那条。其他仅有的一条相邻的边
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3:05 - 3:07不是斜边,是4
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3:07 - 3:10所以邻边在这里,这条是
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3:10 - 3:14这恰好是靠近角的旁边,这是构成这个三角形的一条边之一
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3:16 - 3:17这是4
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3:17 - 3:21斜边我们已经知道了是 √65
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3:21 - 3:25因此是4除以√65
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3:25 - 3:29有时候人们会希望你把分母有理化,意思是
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3:29 - 3:33他们不喜欢分母是一个无理数,就象√65一样
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3:35 - 3:39如果他们-如果你想重写使它分母里没有无理数
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3:39 - 3:42你可以乘以分子和分母
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3:42 - 3:43用√65
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3:43 - 3:45这显然不会更改数字,因为我们乘以它东西到其本身
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3:48 - 3:49所以我们把用1乘以这个数字
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3:49 - 3:53这不会改变数,而且至少它可以去除分母中的无理数
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3:53 - 3:54所以分子变成
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3:54 - 3:584x √65
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3:58 - 4:03而且分母,√65 乘以 √65,等于65
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4:03 - 4:07我们没有去掉无理数,它依然在那里,只是在分子那里
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4:07 - 4:10现在让我们来做其他三角函数
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4:10 - 4:12或者其他重要的三角函数。将来我们将要学很多这些
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4:14 - 4:15但它们都是从这些中延伸出来的
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4:15 - 4:20因此让我们想Θ的符号是什么。再一次,用到 soh cah toa
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4:20 - 4:25soh 告诉怎么做正弦值。正弦值是对边比斜边
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4:25 - 4:29正弦值等于对边比斜边
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4:29 - 4:31正弦值是对边比斜边
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4:31 - 4:34因此,哪条是这个角的对边呢?
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4:34 - 4:38我们从它走向对面,它面对什么,它面对着7
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4:38 - 4:41所以,对边是7
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4:41 - 4:44正好在这,这是对边
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4:44 - 4:48然后在斜边,它是对边比斜边
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4:48 - 4:51斜边是√65
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4:51 - 4:5365的平方根
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4:53 - 4:55再一次如果我们想使它有理化
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4:55 - 5:00我们可以乘以√65分之√65
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5:00 - 5:04然后分子,我们会得到7√65
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5:04 - 5:08在分母我们得到65
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5:08 - 5:10现在让我们来做正切值
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5:10 - 5:13让我们来做正切值
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5:13 - 5:15因此,如果我问你正切值
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5:15 - 5:17θ的正切值
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5:17 - 5:21再一次回到soh cah
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5:21 - 5:23toa, toa这一部分告诉我们怎样做正切值
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5:23 - 5:25它告诉我们
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5:25 - 5:27它告诉我们
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5:27 - 5:30正切值等于对边
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5:30 - 5:33比
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5:33 - 5:36对边比邻边
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5:36 - 5:39所以对这个角来说 我们已经找出了对边
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5:39 - 5:41是7,它对着7
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5:41 - 5:43这条对边是7
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5:43 - 5:46所以,是7
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5:46 - 5:48嗯,4是邻边
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5:48 - 5:51这个4是邻边,所以邻边是4
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5:51 - 5:54因此是7比4
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5:54 - 5:56我们完成了
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5:56 - 5:59我们找出了所有三角形内θ的所有比率。让我们做另一题
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6:00 - 6:03让我们做另一题。我将把它具体化,因为现在我们已经说过
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6:03 - 6:06x的正切值,θ的正切值。让我把题目弄得复杂点
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6:06 - 6:08假设
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6:08 - 6:11假设,让我画另一个直角三角形
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6:11 - 6:14这是另一个直角三角形
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6:14 - 6:18我们正解决的一切题目
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6:18 - 6:21假设,斜边的长度是4
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6:21 - 6:26假设这条边的长度将会是2
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6:26 - 6:32假设这条边的长度将会是2√3
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6:32 - 6:33我们能证明这个结果
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6:33 - 6:36如果你把这条边平方 所以你会有,让我把它写下来
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6:36 - 6:392乘以3的平方根之积的平方
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6:39 - 6:42加上2的平方等于
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6:42 - 6:46这是2 这将是4x3
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6:46 - 6:504x3+4
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6:50 - 6:53这将会=12+4 = 16
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6:53 - 6:5816确实是4的平方,因此这真的等于4的平方
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6:58 - 7:02它等于4的平方,它满足勾股定理
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7:02 - 7:06如果你记得你在30,60,90三角形中,
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7:06 - 7:08你可能会学习到几何
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7:08 - 7:11你可能会认出这个是一个30,60,90度三角形
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7:11 - 7:13这个是直角
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7:13 - 7:16我应该把它画出来,表示出这是一个直角三角形
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7:16 - 7:20这里的这个是30度的角
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7:20 - 7:23然后这个角
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7:23 - 7:26是60度角
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7:26 - 7:28它们是30 60 90 因为
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7:28 - 7:3230度角所对的边=斜边的一半
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7:32 - 7:3760度角的对边比另一条边的值是√3
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7:37 - 7:38不是比斜边
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7:38 - 7:40因此我们不准备,这个的目的不是复习30 60 90三角形
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7:43 - 7:47让我们真正地找三角形不同角的比值
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7:47 - 7:51因此如果我问你
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7:51 - 7:55什么是30度角的正弦值
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7:55 - 7:58记得30度是三角形的其中一个角,但它可以满足
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7:58 - 8:02当你有一个30度角而且你正在解决直角三角形的问题
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8:02 - 8:05我们将来会有广泛的定义,但如果你说30度的正弦值
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8:05 - 8:09这里的这个角是30度,因此我能用这个直角
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8:09 - 8:12因此我们只需要记得 soh cah toa
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8:12 - 8:17重写它 soh cah toa
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8:17 - 8:23正弦值soh告诉我们怎样做正弦值。正弦值是对边比斜边
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8:23 - 8:2630度的正弦值是对边
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8:26 - 8:31对边是2比斜边
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8:31 - 8:32斜边是4
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8:32 - 8:36这是4分之二,也就等于二分之一
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8:36 - 8:4130度的正弦值,你会看见这总是等于
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8:41 - 8:44现在,什么是
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8:44 - 8:47什么是余弦值
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8:47 - 8:50再一次回到 soh cah toa
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8:50 - 8:53cah告诉我们怎样做余弦值
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8:53 - 8:56余弦值是邻边比斜边
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8:56 - 8:59因此,对于30度角来说,它的邻边是这条
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8:59 - 9:02邻边是正好与它相邻
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9:02 - 9:05不是斜边 是邻边比斜边
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9:05 - 9:09因此是2x√3
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9:09 - 9:14邻边除以斜边 除以4
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9:14 - 9:17或者如果我们简化它,我们用分子和分母同时除以2
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9:17 - 9:21是√3/2
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9:21 - 9:23最后我们做正切值
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9:23 - 9:2830度角的
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9:28 - 9:30我们回到soh cah toa
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9:30 - 9:32soh cah toa
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9:32 - 9:35toa 告诉我们怎样做正切值,是对边比邻边
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9:35 - 9:39你找到30度角,因为我们关注30度角的正切值
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9:39 - 9:4230度角的正切值,对边是2
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9:42 - 9:46对边是2,邻边是2√3,
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9:46 - 9:48它正好与它的邻边相邻
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9:48 - 9:49邻边的意思是旁边
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9:49 - 9:52因此2√3
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9:52 - 9:54这就等于抵消两个2
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9:54 - 9:57得出1/√3
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9:57 - 10:01或者我们可以同时用√3乘以分子和分母
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10:01 - 10:05因此,我们有√3/√3
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10:05 - 10:09因此这分子将会等于√3
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10:09 - 10:12然后分母等于3
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10:12 - 10:16因此我们已经使 √3/3
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10:16 - 10:17十分公平
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10:17 - 10:21现在让我们用相同的三角形 算出60度的三角形比率
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10:21 - 10:22因为我们已经画好了
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10:22 - 10:28因此什么是什么是60度角的正弦值?
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10:28 - 10:30我想你现在已经掌握诀窍了
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10:30 - 10:34正弦值是 对边比邻边,soh从soh cah toa中来
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10:34 - 10:37从60度角看那哪条是对边
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10:37 - 10:39就是对着2√3
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10:39 - 10:43因此对边是 2√3
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10:43 - 10:45而且从60度角,邻边是 对不起
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10:45 - 10:48应该是对边比斜边,不想把你弄糊涂
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10:48 - 10:51因此它是对边比斜边
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10:51 - 10:54是2√3 / 4,4是斜边
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10:54 - 11:00因此它等于,简化就是√3/2
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11:00 - 11:0660度的余弦值是多少
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11:06 - 11:10因此记住soh cah toa. 余弦值是邻边比斜边
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11:10 - 11:14邻边是与60度角相邻的两条边
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11:14 - 11:18因此它是2比斜边4
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11:18 - 11:21因此这等于1/2
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11:21 - 11:24最后 什么是正切值?
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11:24 - 11:28什么是60度的正切值?
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11:28 - 11:32好的,正切值,soh cah toa 正切值是对边比邻边
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11:32 - 11:3560度的对边是
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11:35 - 11:362√3
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11:36 - 11:382√3
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11:38 - 11:40然后邻边是
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11:40 - 11:43邻边是2
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11:43 - 11:4560度的邻边是2
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11:45 - 11:49因此它的对边比邻边 2√3/2
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11:49 - 11:53等于√3
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11:53 - 11:55然后我只是想--看看它们之间的关系
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11:55 - 11:5830度的正弦值等于60度的余弦值
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11:58 - 12:0130度的余弦值等于60度的正弦值。
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12:01 - 12:04然后这些东西都和对方相反,我想如果你想想这个三角形
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12:06 - 12:07它将会言之有理地解释原因
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12:07 - 12:08我们将会继续延伸这个,和给你更多的练习在接下来的一些视频中
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