-
Давайте сделаем ещё кучу примеров, для того чтобы удостовериться, что мы полностью и хорошо освоили
-
эту тригонометрическую премудрость.
-
Так что давайте построим самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники.
-
Постройте самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники, и я очень хочу чтобы вам было ясно, способ, которым я это пока определил,
-
будет работать только в прямоугольных треугольниках, если мы хотим найти
-
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, нам следует посмотреть что нам нужно
-
иметь для построения прямоугольных треугольников, но давайте пока сосредоточимся на прямоугольных треугольниках.
-
Допустим, у меня есть треугольник, у которого длина вот этой стороны равна 7.
-
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.
-
Давайте выясним, чему будет равна гипотенуза.Так мы знаем...
-
давайте назовём гипотенузу h.
-
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы знаем это
-
из теоремы Пифагора...
-
что квадрат гипотенузы равен
-
сумме квадратов катетов,
-
двух других его сторон . h² = 7² + 4²,
-
Таким образом это равно сорок девять
-
сорок девять плюс шестнадцать,
-
сорок девять плюс десять будет пятьдесят девять, плюс шесть это
-
шестьдесят пять.То есть h в квадрате -это шестьдесят пять.
-
давайте я запишу… h в квадрате…
-
это другой оттенок жёлтого. Таким образом мы имеем, h в квадрате равно
-
шестьдесят пять. Сделал ли я это правильно? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -
-
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если мы извлечем квадратные корни с
-
квадратный корень
-
квадратный корень из шестидесяти пяти. И мы никак не можем это упростить все.
-
это ведь тринадцать
-
это тоже самое, что тринадцать на пять. Каждое из них не является квадратом целого числа и
-
они оба простые числа, поэтому мы не можем упростить это как-нибудь еще.
-
Таким образом это равно квадратному корню
-
Теперь давайте найдем значения тригонометрических функций, давайте найдем значения тригонометрических функций вот этого верхнего угла. Давайте назовём его θ.
-
Итак, как бы вы это не делали,
-
вам всегда стоит записать… по крайней мере, мне помогает,
-
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.
-
soh ...
-
...soh cah toa. У меня сохранились смутные воспоминания
-
о моем
-
учителе по тригонометрии…А может, я прочитал это в какой-то книге. Я не знаю,знаете вы что-нибудь о
-
какой-то индийской принцессе по имени "Soh cah toa", или нет, но это очень полезная
-
мнемоника, такая что мы сможем пользоваться этой "soh cah toa". Давайте найдем...
-
скажем, мы хотим найти косинус. Мы хотим найти косинус нашего угла.
-
мы хотим найти косинус нашего угла, вы произносите:
"soh cah toa!"
-
"cah" говорит нам о том, как найти косинус.
-
Слог "cah" говорит нам
-
о том, что косинус(cosine) - это отношение прилежащего катета(adjacent) к гипотенузе(hypotenuse).
-
Т.е. косинус равен прилежащему катету,
-
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?
-
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.
-
мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь
-
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая прилежит к этому углу,
-
и не является гипотенузой -
-
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…
-
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.
-
Это 4
-
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. Таким образом это будет 4
-
деленное
-
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно
-
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.
-
И если бы вы хотели записать это без иррационального
-
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель
-
на √65.
-
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,
-
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от
-
иррациональности в знаменателе.
-
Числитель становится равен 4√65,
-
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.
-
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.
-
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.
-
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле
-
очень много, но они все выведены из основных
-
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.Опять же, обратимся к SOH CAH TOA.
-
SOH говорит нам о том, как найти синус.
-
Синус(Sine) - это
-
отношение противолежащего катета(opposite) к гипотенузе(hypotenuse).Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.
-
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?
-
Он находится напротив стороны 7.
-
Так, противолежащий катет равен 7.
-
Это противолежащий катет.
-
И гипотенуза равна √65.
-
И опять же, если бы мы хотели избавиться от
-
это на √65, деленный на √65.
-
на квадратный корень из шестидесяти пяти
-
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.
-
шестьдесят пять раз.
-
Теперь давайте найдём тангенс.
-
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…
-
Так что, если я задать вам касательной
-
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.
-
еще раз вернуться к SOH CAH
-
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.
-
Она говорит нам,
-
Она говорит нам, что тангенс
-
равен противолежащему катету деленному на прилежащий, равен противолежащему.
-
деленному на..
-
противолежащему на прилежащий
-
Так вот для этого угла,
-
что является противолежащим, мы уже выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу
7 -
-
лежит напротив 7.
-
Поэтому это 7 разделить на...
-
Это катет длиной 4 - прилежащий.
-
Прилежащий катет - это 4.
-
Поэтому это семь
-
и мы все сделали!
-
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.
-
Давайте сделаем ещё один пример. Я сделаю немного более конкретный пример. До сих пор мы говорили:
-
Чему равен tan x? Чему равен tan θ? Давайте сделаем это немного более конкретным
-
Скажем... .
-
Скажем..,давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.
-
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...
-
Сейчас мы имеем дело только с
-
Скажем, гипотенуза
-
имеет длину четыре
-
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.
-
Проверим, что это подходит.
-
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я напишу это внизу внизу. Два умноженное на корень квадратный
-
из трех в квадрате
-
плюс два в квадрате равно…
-
вот этому
-
четыре раза по три плюс четыре
-
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.
-
А 16 - это действительно 4².
-
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.
-
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с
углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,
-
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это
-
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.
-
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.
-
Этот угол - это наш угол в 30°.
-
И этот угол наверху - это угол в 60°.
-
шестьдесят градусов угол
-
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что
-
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
-
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на
-
другую сторону, не гипотенузу.
-
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,
-
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.
-
Если бы я у вас спросил,
-
Чему равен sin 30°?
-
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°
-
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол
30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.
-
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…
-
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный
-
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.
-
Давайте я запишу это ещё раз. SOH
-
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
-
Sin 30° - это противолежащий катет…
-
это противолежащий катет, который равен 2,
-
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.
-
Это 2/4, или 1/2.
-
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.
-
Теперь чему равен косинус,
-
то, что косинус
-
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:
-
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это
прилежащий катет, деленный на гипотенузу.
-
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,
-
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.
-
это не гипотенузы
-
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.
-
разделить на гипотенузу,
-
Или если мы упростим это, разделив числитель
и знаменатель на 2,
-
получится √3/2.
-
Наконец, давайте найдем тангенс.
-
Тангенс тридцать градусов
-
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.
-
SOH CAH тоа
-
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.
-
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им.
Противолежащий - это 2.
-
Тангенс 30°..
-
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.
-
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.
-
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.
-
Итак, 2√3.
-
Значит, это равно...
-
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.
-
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..
-
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.
-
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.
-
Мы избавились от корня квадратного из три
-
Хорошо.
-
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы
найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,
-
так как мы его уже нарисовали.
-
Итак
-
... чему равен sin 60°? я думаю, что вы, несомненно, приобретете навык вычисления этого сейчас
-
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. Для угла в 60° какой катет
-
является противолежащим?
-
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.
-
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,
-
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…
-
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.
-
Или 2√3 разделить на 4. 4 - это гипотенуза.
-
И это равно, если сократить, √3/2.
-
Чему равен cos 60°? cos 60°…
-
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
-
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.
-
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.
-
Т. е. это равно 1/2.
-
И, наконец...
-
Чему равен тангенс?
-
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.
-
противолежащий углу в 60°.
-
это 2√3
-
2√3,
-
и прилежащий к этому
-
прилежащий к этому
-
Катет, прилежащий к углу в 60° -это 2.
-
Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.
-
2√3 разделить на 2, что просто равно
-
И я только хотел обратить ваше внимание- посмотрите какие здесь соотношение
-
синус 30° - это то же самое, что и косинус 60°.
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.
-
А вот эти два парня(тангенс 60 и тангенс 30) - взаимно обратны и , я думаю, если вы немного подумаете об этом треугольнике,
-
вам станет ясно почему это так. Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим вам возможность еще попрактиковаться
-
в следующих видеоуроках.
-
Not Synced
CAH
-
Not Synced
TOA
-
Not Synced
Какой катет является прилежащим?
-
Not Synced
Квадратный корень из трех
-
Not Synced
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)
-
Not Synced
Тангенс 30°...
-
Not Synced
Это будет равно равно четыре раза по три
-
Not Synced
деленное на гипотенузу.
-
Not Synced
деленное на четыре
-
Not Synced
деленному на гипотенузу.
-
Not Synced
до половины
-
Not Synced
за гипотенузу в течение четырех
-
Not Synced
за квадратный корень из трех
-
Not Synced
из шестидесяти пяти.
-
Not Synced
или кто-либо ещё спросил бы у вас:
-
Not Synced
имеет длину два
-
Not Synced
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить
-
Not Synced
квадратному корню из трех
-
Not Synced
на квадратный корень из шестидесяти пяти.
-
Not Synced
обеих сторон,
-
Not Synced
плюс шестнадцать,
-
Not Synced
половины
-
Not Synced
прямоугольными треугольниками.
-
Not Synced
скажем, что эта сторона здесь
-
Not Synced
т. е. разделить на 4.
-
Not Synced
тридцать градусов
-
Not Synced
хотя я только что это сделал…
-
Not Synced
чему равен cos 30°?
-
Not Synced
шестидесяти градусов
-
Not Synced
это 2