WEBVTT

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
CAH

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
TOA

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Какой катет является прилежащим?

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Квадратный корень из трех

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Тангенс 30°...

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Это будет равно равно четыре раза по три

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
деленное на гипотенузу.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
деленное на четыре

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
деленному на гипотенузу.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
до половины

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
за гипотенузу в течение четырех

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
за квадратный корень из трех

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
из шестидесяти пяти.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
или кто-либо ещё спросил бы у вас:

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
имеет длину два

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
квадратному корню из трех

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
на квадратный корень из шестидесяти пяти.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
обеих сторон,

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
плюс шестнадцать,

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
половины

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
прямоугольными треугольниками.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
скажем, что эта сторона здесь

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
т. е. разделить на 4.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
тридцать градусов

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
хотя я только что это сделал…

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
чему равен cos 30°?

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
шестидесяти градусов

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
это 2

00:00:00.800 --> 00:00:03.017
Давайте сделаем ещё кучу примеров, для того чтобы удостовериться, что мы полностью и хорошо освоили

00:00:03.017 --> 00:00:07.036
эту тригонометрическую премудрость.

00:00:07.036 --> 00:00:11.447
Так что давайте построим самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники.

00:00:11.447 --> 00:00:13.668
Постройте самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники, и я очень хочу чтобы вам было ясно, способ, которым я это пока определил,

00:00:15.186 --> 00:00:18.042
будет работать только в прямоугольных треугольниках, если мы хотим найти

00:00:18.042 --> 00:00:23.475
тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, нам следует посмотреть что нам нужно

00:00:25.704 --> 00:00:27.867
иметь для построения прямоугольных треугольников, но давайте пока сосредоточимся на прямоугольных треугольниках.

00:00:27.867 --> 00:00:31.344
Допустим, у меня есть треугольник, у которого длина вот этой стороны равна 7.

00:00:33.897 --> 00:00:37.757
И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.

00:00:39.452 --> 00:00:42.516
Давайте выясним, чему будет равна гипотенуза.Так мы знаем...

00:00:42.516 --> 00:00:45.720
давайте назовём гипотенузу h.

00:00:45.720 --> 00:00:52.200
Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы знаем это

00:00:52.200 --> 00:00:55.194
из теоремы Пифагора...

00:00:55.194 --> 00:00:57.469
что квадрат гипотенузы равен

00:00:57.469 --> 00:01:01.974
сумме квадратов катетов,

00:01:01.974 --> 00:01:04.533
двух других его сторон . h² = 7² + 4²,

00:01:04.533 --> 00:01:09.776
Таким образом это равно сорок девять

00:01:09.776 --> 00:01:11.800
сорок девять плюс шестнадцать,

00:01:11.800 --> 00:01:18.553
сорок девять плюс десять будет пятьдесят девять, плюс шесть это

00:01:18.553 --> 00:01:21.107
шестьдесят пять.То есть h в квадрате -это шестьдесят пять.

00:01:21.107 --> 00:01:25.705
давайте я запишу… h в квадрате…

00:01:25.705 --> 00:01:28.818
это другой оттенок жёлтого. Таким образом мы имеем, h в квадрате равно

00:01:28.818 --> 00:01:33.533
шестьдесят пять. Сделал ли я это правильно? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -

00:01:33.533 --> 00:01:37.600
это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если мы извлечем квадратные корни с

00:01:37.600 --> 00:01:39.200
квадратный корень

00:01:39.200 --> 00:01:42.933
квадратный корень из шестидесяти пяти. И мы никак не можем это упростить все.

00:01:42.933 --> 00:01:44.699
это ведь тринадцать

00:01:44.699 --> 00:01:47.463
это тоже самое, что тринадцать на пять. Каждое из них не является квадратом целого числа и

00:01:50.388 --> 00:01:51.804
они оба простые числа, поэтому мы не можем упростить это как-нибудь еще.

00:01:51.804 --> 00:01:55.467
Таким образом это равно квадратному корню

00:01:55.467 --> 00:02:02.114
Теперь давайте найдем значения тригонометрических функций, давайте найдем значения тригонометрических функций вот этого верхнего угла. Давайте назовём его θ.

00:02:05.457 --> 00:02:06.533
Итак, как бы вы это не делали,

00:02:06.533 --> 00:02:09.467
вам всегда стоит записать… по крайней мере, мне помогает,

00:02:09.467 --> 00:02:11.714
если перед глазами записано - SOH CAH TOA.

00:02:11.714 --> 00:02:13.120
soh ...

00:02:13.120 --> 00:02:16.464
...soh cah toa. У меня сохранились смутные воспоминания

00:02:16.464 --> 00:02:18.786
о моем

00:02:18.786 --> 00:02:21.293
учителе по тригонометрии…А может, я прочитал это в какой-то книге. Я не знаю,знаете вы что-нибудь о

00:02:21.293 --> 00:02:23.867
какой-то индийской принцессе по имени "Soh cah toa", или нет, но это очень полезная

00:02:26.123 --> 00:02:27.564
мнемоника, такая что мы сможем пользоваться этой "soh cah toa". Давайте найдем...

00:02:27.564 --> 00:02:31.046
скажем, мы хотим найти косинус. Мы хотим найти косинус нашего угла.

00:02:34.436 --> 00:02:37.965
мы хотим найти косинус нашего угла, вы произносите:
"soh cah toa!"

00:02:37.965 --> 00:02:40.800
"cah" говорит нам о том, как найти косинус.

00:02:40.800 --> 00:02:43.027
Слог "cah" говорит нам

00:02:43.027 --> 00:02:46.371
о том, что косинус(cosine) - это отношение прилежащего катета(adjacent) к гипотенузе(hypotenuse).

00:02:46.371 --> 00:02:51.433
Т.е. косинус равен прилежащему катету,

00:02:51.433 --> 00:02:55.798
Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?

00:02:55.798 --> 00:02:57.702
Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.

00:02:57.702 --> 00:03:00.767
мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь

00:03:00.767 --> 00:03:04.761
Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая прилежит к этому углу,

00:03:04.761 --> 00:03:07.133
и не является гипотенузой -

00:03:07.133 --> 00:03:10.473
это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…

00:03:10.473 --> 00:03:14.374
находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.

00:03:15.754 --> 00:03:17.133
Это 4

00:03:17.133 --> 00:03:21.108
Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. Таким образом это будет 4

00:03:21.108 --> 00:03:25.380
деленное

00:03:25.380 --> 00:03:29.142
Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно

00:03:29.142 --> 00:03:32.625
иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.

00:03:35.227 --> 00:03:39.359
И если бы вы хотели записать это без иррационального

00:03:39.359 --> 00:03:41.634
числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель

00:03:41.634 --> 00:03:43.306
на √65.

00:03:43.306 --> 00:03:45.094
Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,

00:03:48.122 --> 00:03:49.111
т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от

00:03:52.780 --> 00:03:54.127
иррациональности в знаменателе.

00:03:54.127 --> 00:03:57.800
Числитель становится равен 4√65,

00:03:57.800 --> 00:04:03.461
а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.

00:04:03.461 --> 00:04:07.130
Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.

00:04:07.130 --> 00:04:09.777
Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.

00:04:09.777 --> 00:04:12.401
По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле

00:04:14.399 --> 00:04:15.443
очень много, но они все выведены из основных

00:04:15.443 --> 00:04:19.733
функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.Опять же, обратимся к SOH CAH TOA.

00:04:19.733 --> 00:04:25.474
SOH говорит нам о том, как найти синус.

00:04:25.474 --> 00:04:29.200
Синус(Sine) - это

00:04:29.200 --> 00:04:31.372
отношение противолежащего катета(opposite) к гипотенузе(hypotenuse).Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.

00:04:31.372 --> 00:04:34.390
Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?

00:04:34.390 --> 00:04:38.430
Он находится напротив стороны 7.

00:04:38.430 --> 00:04:41.200
Так, противолежащий катет равен 7.

00:04:41.200 --> 00:04:44.468
Это противолежащий катет.

00:04:44.468 --> 00:04:47.800
И гипотенуза равна √65.

00:04:47.800 --> 00:04:51.109
И опять же, если бы мы хотели избавиться от

00:04:52.966 --> 00:04:55.133
это на √65, деленный на √65.

00:04:55.133 --> 00:04:59.933
на квадратный корень из шестидесяти пяти

00:04:59.933 --> 00:05:04.298
В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.

00:05:04.298 --> 00:05:07.966
шестьдесят пять раз.

00:05:07.966 --> 00:05:10.474
Теперь давайте найдём тангенс.

00:05:10.474 --> 00:05:12.796
Если бы я спросил вас о тангенсе θ…

00:05:12.796 --> 00:05:14.793
Так что, если я задать вам касательной

00:05:14.793 --> 00:05:17.394
Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.

00:05:17.394 --> 00:05:20.784
еще раз вернуться к SOH CAH

00:05:20.784 --> 00:05:23.106
Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.

00:05:23.106 --> 00:05:24.800
Она говорит нам,

00:05:24.800 --> 00:05:27.053
Она говорит нам, что тангенс

00:05:27.053 --> 00:05:29.867
равен противолежащему катету деленному на прилежащий, равен противолежащему.

00:05:29.867 --> 00:05:33.137
деленному на..

00:05:33.137 --> 00:05:35.867
противолежащему на прилежащий

00:05:35.867 --> 00:05:38.709
Так вот для этого угла,

00:05:38.709 --> 00:05:41.124
что является противолежащим, мы уже выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу
7 -

00:05:41.124 --> 00:05:42.533
лежит напротив 7.

00:05:42.533 --> 00:05:46.372
Поэтому это 7 разделить на...

00:05:46.372 --> 00:05:48.200
Это катет длиной 4 - прилежащий.

00:05:48.200 --> 00:05:51.295
Прилежащий катет - это 4.

00:05:51.295 --> 00:05:54.330
Поэтому это семь

00:05:54.330 --> 00:05:56.133
и мы все сделали!

00:05:56.133 --> 00:05:59.375
Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.

00:06:00.416 --> 00:06:02.719
Давайте сделаем ещё один пример. Я сделаю немного более конкретный пример. До сих пор мы говорили:

00:06:02.719 --> 00:06:06.434
Чему равен tan x? Чему равен tan θ? Давайте сделаем это немного более конкретным

00:06:06.434 --> 00:06:08.431
Скажем... .

00:06:08.431 --> 00:06:10.799
Скажем..,давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.

00:06:10.799 --> 00:06:13.772
Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...

00:06:13.772 --> 00:06:17.533
Сейчас мы имеем дело только с

00:06:17.533 --> 00:06:21.109
Скажем, гипотенуза

00:06:21.109 --> 00:06:26.357
имеет длину четыре

00:06:26.357 --> 00:06:31.790
И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.

00:06:31.790 --> 00:06:33.462
Проверим, что это подходит.

00:06:33.462 --> 00:06:36.467
Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я напишу это внизу внизу. Два умноженное на корень квадратный

00:06:36.467 --> 00:06:38.803
из трех в квадрате

00:06:38.803 --> 00:06:42.471
плюс два в квадрате равно…

00:06:42.471 --> 00:06:46.467
вот этому

00:06:46.467 --> 00:06:49.763
четыре раза по три плюс четыре

00:06:49.763 --> 00:06:53.478
И это будет равно 12 + 4, что равно 16.

00:06:53.478 --> 00:06:57.800
А 16 - это действительно 4².

00:06:57.800 --> 00:07:01.790
Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.

00:07:01.790 --> 00:07:06.133
И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с
углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,

00:07:07.781 --> 00:07:11.450
прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это

00:07:11.450 --> 00:07:13.133
треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.

00:07:13.133 --> 00:07:15.867
Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.

00:07:15.867 --> 00:07:20.366
Этот угол - это наш угол в 30°.

00:07:20.366 --> 00:07:23.385
И этот угол наверху - это угол в 60°.

00:07:23.385 --> 00:07:26.125
шестьдесят градусов угол

00:07:26.125 --> 00:07:27.797
И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что

00:07:27.797 --> 00:07:31.791
катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

00:07:31.791 --> 00:07:36.800
А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на

00:07:36.800 --> 00:07:38.432
другую сторону, не гипотенузу.

00:07:38.432 --> 00:07:40.159
Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,

00:07:43.415 --> 00:07:46.933
Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.

00:07:46.933 --> 00:07:51.295
Если бы я у вас спросил,

00:07:51.295 --> 00:07:54.639
Чему равен sin 30°?

00:07:54.639 --> 00:07:58.447
И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°

00:07:58.447 --> 00:08:01.698
подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол 
30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.

00:08:01.698 --> 00:08:05.135
В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…

00:08:05.135 --> 00:08:09.035
Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный

00:08:09.035 --> 00:08:12.133
треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.

00:08:12.133 --> 00:08:17.116
Давайте я запишу это ещё раз. SOH

00:08:17.116 --> 00:08:22.782
SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

00:08:22.782 --> 00:08:26.358
Sin 30° - это противолежащий катет…

00:08:26.358 --> 00:08:30.723
это противолежащий катет, который равен 2,

00:08:30.723 --> 00:08:32.395
деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.

00:08:32.395 --> 00:08:35.646
Это 2/4, или 1/2.

00:08:35.646 --> 00:08:40.800
Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.

00:08:40.800 --> 00:08:44.144
Теперь чему равен косинус,

00:08:44.144 --> 00:08:46.867
то, что косинус

00:08:46.867 --> 00:08:50.135
Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:

00:08:50.135 --> 00:08:52.643
CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это
прилежащий катет, деленный на гипотенузу.

00:08:56.033 --> 00:08:59.051
Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,

00:08:59.051 --> 00:09:01.791
прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.

00:09:01.791 --> 00:09:05.467
это не гипотенузы

00:09:05.467 --> 00:09:09.129
Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.

00:09:09.129 --> 00:09:13.633
разделить на гипотенузу,

00:09:13.633 --> 00:09:16.977
Или если мы упростим это, разделив числитель
и знаменатель на 2,

00:09:16.977 --> 00:09:20.646
получится √3/2.

00:09:20.646 --> 00:09:22.782
Наконец, давайте найдем тангенс.

00:09:22.782 --> 00:09:27.800
Тангенс тридцать градусов

00:09:27.800 --> 00:09:30.305
Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.

00:09:30.305 --> 00:09:31.699
SOH CAH тоа

00:09:31.699 --> 00:09:34.800
SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.

00:09:34.800 --> 00:09:38.804
Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им. 
Противолежащий - это 2.

00:09:38.804 --> 00:09:42.101
Тангенс 30°..

00:09:42.101 --> 00:09:46.200
Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.

00:09:46.200 --> 00:09:48.045
Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.

00:09:48.045 --> 00:09:49.439
Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.

00:09:49.439 --> 00:09:52.039
Итак, 2√3.

00:09:52.039 --> 00:09:54.454
Значит, это равно...

00:09:54.454 --> 00:09:56.776
Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.

00:09:56.776 --> 00:10:00.723
Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..

00:10:00.723 --> 00:10:05.367
Т.е. умножить на √3, деленный на √3.

00:10:05.367 --> 00:10:08.804
Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.

00:10:12.473 --> 00:10:15.800
Мы избавились от корня квадратного из три

00:10:15.800 --> 00:10:17.442
Хорошо.

00:10:17.442 --> 00:10:20.693
Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы
найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,

00:10:20.693 --> 00:10:22.457
так как мы его уже нарисовали.

00:10:22.457 --> 00:10:28.328
Итак

00:10:28.328 --> 00:10:30.166
... чему равен sin 60°? я думаю, что вы, несомненно, приобретете навык вычисления этого сейчас

00:10:30.166 --> 00:10:34.253
Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. Для угла в 60° какой катет

00:10:34.253 --> 00:10:36.668
является противолежащим?

00:10:36.668 --> 00:10:39.315
Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.

00:10:42.566 --> 00:10:45.306
И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,

00:10:45.306 --> 00:10:47.999
это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…

00:10:47.999 --> 00:10:50.507
Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

00:10:50.507 --> 00:10:54.315
Или 2√3 разделить на 4. 4 - это гипотенуза.

00:10:54.315 --> 00:10:59.981
И это равно, если сократить, √3/2.

00:10:59.981 --> 00:11:05.507
Чему равен cos 60°? cos 60°…

00:11:05.507 --> 00:11:10.244
Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

00:11:10.244 --> 00:11:13.667
Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.

00:11:13.667 --> 00:11:17.907
Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.

00:11:17.907 --> 00:11:20.972
Т. е. это равно 1/2.

00:11:20.972 --> 00:11:24.176
И, наконец...

00:11:24.176 --> 00:11:27.984
Чему равен тангенс?

00:11:27.984 --> 00:11:32.349
Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

00:11:32.349 --> 00:11:34.671
противолежащий углу в 60°.

00:11:34.671 --> 00:11:36.400
это 2√3

00:11:36.400 --> 00:11:38.000
2√3,

00:11:38.000 --> 00:11:39.919
и прилежащий к этому

00:11:39.919 --> 00:11:42.733
прилежащий к этому

00:11:42.733 --> 00:11:44.800
Катет, прилежащий к углу в 60° -это 2.

00:11:44.800 --> 00:11:48.650
Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.

00:11:48.650 --> 00:11:52.644
2√3 разделить на 2, что просто равно

00:11:52.644 --> 00:11:54.641
И я только хотел обратить ваше внимание- посмотрите какие здесь соотношение

00:11:54.641 --> 00:11:57.984
синус 30° - это то же самое, что и косинус 60°.
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.

00:12:01.333 --> 00:12:03.966
А вот эти два парня(тангенс 60 и тангенс 30) - взаимно обратны и , я думаю, если вы немного подумаете об этом треугольнике,

00:12:05.635 --> 00:12:07.105
вам станет ясно почему это так. Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим вам возможность еще попрактиковаться

00:12:07.105 --> 00:12:08.461
в следующих видеоуроках.