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Basic Trigonometry II
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0:01 - 0:03Facciamo un'altra tonnellata di esempi, giusto per assicurarci di capire
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0:03 - 0:07proprio bene queste funzioni trigonometriche.
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0:07 - 0:11Percio' costruiamoci qualche triangolo rettangolo.
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0:11 - 0:14Costruiamoci qualche triangolo rettangolo e voglio essere molto chiaro: il modo in cui l'ho definito
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0:15 - 0:18finora, funziona solo con i triangoli rettangoli, quindi se provi a trovare
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0:18 - 0:23le funzioni trigonometriche degli angoli che non fanno parte di un triangolo rettangolo, vedremo che avremo bisogno
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0:26 - 0:28di costruire triangoli rettangoli, ma ora concentriamoci sui triangoli rettangoli.
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0:28 - 0:31Allora diciamo che ho un triangolo, dove diciamo che questa lunghezza qui sotto e' 7
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0:34 - 0:38e diciamo che questa lunghezza qui sopra, diciamo che e' 4.
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0:39 - 0:43Calcoliamo quanto sara' l'ipotenusa. Allora sappiamo ---
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0:43 - 0:46chiamiamo l'ipotenusa h.
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0:46 - 0:52Sappiamo che h^2 sara' uguale a 7^2 + 4^2, lo sappiamo
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0:52 - 0:55dal teorema di Pitagora,
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0:55 - 0:57che l'ipotenusa al quadrato e' uguale
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0:57 - 1:02al quadrato di ogni, alla somma del quadrato
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1:02 - 1:05degli altri due lati. 8^2 = 7^2 + 4^2.
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1:05 - 1:10Percio' questo e' 49,
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1:10 - 1:1249 + 16,
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1:12 - 1:1949 + 10 = 59, piu' 6 fa
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1:19 - 1:2165. Fa 65 quindi questo e' h^2.
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1:21 - 1:26Fammelo scrivere: h^2.
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1:26 - 1:29E' una sfumatura diversa di giallo --- quindi abbiamo h^2 uguale
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1:29 - 1:3465. L'ho fatto bene? 49 + 10 = 59, piu' altri 6
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1:34 - 1:38fa 65, o potremmo dire h uguale a, se prendiamo la radice quadrata
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1:38 - 1:39Radice quadrata.
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1:39 - 1:43Radice quadrata di 65. E non possiamo proprio semplificarlo per niente.
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1:43 - 1:45Questo e' 13,
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1:45 - 1:47questo e' come 13 per 5, nessuno dei due e' un quadrato perfetto e
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1:50 - 1:52sono entrambi numeri primi quindi non lo puoi semplificare piu' di cosi'.
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1:52 - 1:55Percio' questo e' uguale alla radice quadrata
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1:55 - 2:02Ora troviamo, troviamo le funzioni trigonometriche per quest'angolo qui sopra. Chiamimo quest'angolo theta.
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2:05 - 2:07Quindi ogni volta che lo fai
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2:07 - 2:09vuoi sempre scrivere --- o almeno per me funziona scriverlo ---
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2:09 - 2:12"SOH CAH TOA".
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2:12 - 2:13SOH.
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2:13 - 2:16SOH CAH TOA. Ho questi vaghi ricordi
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2:16 - 2:19del mio
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2:19 - 2:21insegnante di trigonometria, magari l'ho letto su qualche libro, non lo so --- sai, tipo, un qualche
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2:21 - 2:24tipo di principessa indiana chiamata Soh Cah Toa, o roba cosi', ma e' uno mnemonico molto
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2:26 - 2:28utile, quindi possiamo applicare SOH CAH TOA. Troviamo,
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2:28 - 2:31diciamo che vogliamo trovare il coseno. Vogliamo trovare il coseno del nostro angolo.
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2:34 - 2:38Vogliamo trovare il coseno dell'angolo, dici: SOH CAH TOA!
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2:38 - 2:41Allora, il CAH. CAH ci dice cosa fare col coseno,
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2:41 - 2:43la parte CAH ci dice
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2:43 - 2:46che il coseno e' l'Adiacente fratto l'ipotenusa.
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2:46 - 2:51Coseno = adiacente
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2:51 - 2:56Quindi diamo un'occhiata a theta. Qual e' il lato adiacente?
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2:56 - 2:58Beh sappiamo che l'ipotenusa,
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2:58 - 3:01lo sappiamo che l'ipotenusa e' il lato qui sopra
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3:01 - 3:05quindi non puo' essere quel lato. L'unico altro lato che e' tipo adiacente
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3:05 - 3:07che non e' l'ipotenusa e' questo 4.
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3:07 - 3:10Quindi l'adiacente qui, questo lato e',
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3:10 - 3:14sta letteralmente attaccato all'angolo, e' uno dei lati che tipo forma l'angolo,
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3:16 - 3:17e' 4,
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3:17 - 3:21L'ipotenusa sappiamo gia' che e' la radice quadrata di 65, quindi e' 4
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3:21 - 3:25fratto
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3:25 - 3:29E alle volte vorranno che razionalizzi il denominatore, che significa che non gli piace
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3:29 - 3:33avere un numero irrazionale al denominatore, come la radice quadrata di 65
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3:35 - 3:39e se --- se lo vuoi riscrivere senza un
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3:39 - 3:42numero irrazionale al denominatore, puoi moltiplicare il numeratore e il denominatore
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3:42 - 3:43per la radice quadrata di 65.
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3:43 - 3:45Questo chiaramente non cambia il numero, perche' se lo moltiplichi per qualcosa su se' stesso, percio'
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3:48 - 3:49stiamo moltiplicando il numero per uno. Non cambia il numero, ma almeno ci libera del
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3:53 - 3:54numero irrazionale al denominatore. Quindi il numeratore diventa
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3:54 - 3:584 per la radice quadrata di 65
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3:58 - 4:03e il denominatore, radice quadrata di 65 per radice quadrata di 65, fara' semplicemente 65.
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4:03 - 4:07Non ci siamo liberati del numero irrazionale, sta sempre li', ma ora sta al numeratore.
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4:07 - 4:10Ora facciamo le altre funzioni trigonometriche,
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4:10 - 4:12o quantomeno le altre funzioni trigonometriche fondamentali. Impareremo in futuro che ce n'e' un'altra tonnellata
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4:14 - 4:15ma derivano tutte da queste.
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4:15 - 4:20Quindi pensiamo a quant'e' il seno di theta. Di nuovo andiamo sul SOH CAH TOA.
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4:20 - 4:25Il SOH dice cosa fare col seno.Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
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4:25 - 4:29Seno e' uguale a
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4:29 - 4:31opposto su ipotenusa. Seno e' opposto su ipotenusa.
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4:31 - 4:34Quindi per quest'angolo quale lato e' l'opposto?
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4:34 - 4:38Andiamo semplicemente sull'opposto, su quello su cui si apre, sta all'opposto i 7
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4:38 - 4:41quindi il lato opposto e' 7.
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4:41 - 4:44Questo qui --- questo e' il lato opposto
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4:44 - 4:48e poi
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4:48 - 4:51l'ipotenusa --- e' opposto fratto ipotenusa --- l'ipotenusa e'
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4:53 - 4:55e di nuovo se lo vogliamo razionalizzare, possiamo moltiplicarlo per la radice quadrata di 65
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4:55 - 5:00fratto la radice quadrata di 65.
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5:00 - 5:04Al numeratore, otteniamo 7 radice di 65 e al denominatore otteniamo semplicemente
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5:04 - 5:08di nuovo 65.
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5:08 - 5:10Facciamo la tangente.
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5:10 - 5:13Facciamo la tangente.
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5:13 - 5:15Quindi se ti chiedo la tangente
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5:15 - 5:17di --- la tangente di theta.
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5:17 - 5:21Di nuovo torniamo a SOH CAH
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5:21 - 5:23TOAH. La parte TOAH ci dice cosa fare per la tangente.
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5:23 - 5:25Ci dice,
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5:25 - 5:27ci dice che la tangente
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5:27 - 5:30e' uguale all'opposto fratto l'adiacente. E' uguale a opposto
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5:30 - 5:33fratto,
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5:33 - 5:36opposto fratto adiacente.
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5:36 - 5:39Allora per quest'angolo
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5:39 - 5:41qual'e' l'opposto. L'abbiamo gia' capito, e' 7. Si apre verso il 7, l'opposto
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5:41 - 5:43e' sette.
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5:43 - 5:46Quindi e' 7
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5:46 - 5:48Beh 4 e' adiacente.
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5:48 - 5:51Questo 4 e' adiacente quindi il lato adiacente e' 4.
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5:51 - 5:54Percio' e' 7
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5:54 - 5:56e abbiamo finito.
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5:56 - 5:59Abbiamo capito tutti i rapporti trigonometrici per theta. Facciamone un altro.
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6:00 - 6:03Facciamone un altro. Lo rendero' un po' piu' concreto, perche' per adesso quello che abbiamo detto e': oh,
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6:03 - 6:06tangente di x, tangente di theta. Rendiamolo un po' piu' concreto.
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6:06 - 6:08Diciamo,
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6:08 - 6:11diciamo --- fammi disegnare un altro triangolo rettangolo.
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6:11 - 6:14Questo qui e' un altro triangolo rettangolo.
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6:14 - 6:18Tutto quello con cui stiamo avendo a che fare ---
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6:18 - 6:21Diciamo che l'ipotenusa
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6:21 - 6:26ha lunghezza 4.
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6:26 - 6:32E diciamo che questa lunghezza qui sara' due volte la radice quadrata di 3. Possiamo
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6:32 - 6:33verificare che funziona.
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6:33 - 6:36Se hai questo lato al quadrato, quindi hai --- fammelo scrivere. Due per la radice quadrata di
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6:36 - 6:393 al quadrato
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6:39 - 6:42piu' 2^2 e' uguale a quanto.
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6:42 - 6:46Questo e'
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6:46 - 6:504 * 3 + 4.
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6:50 - 6:53E questo sara' uguale a 12 + 4 fa 16 e 16 e' indubbiamente
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6:53 - 6:584^2 percio' questo e' uguale a 4^2.
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6:58 - 7:02E' uguale a 4^2, soddisfa il teorema di Pitagora.
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7:02 - 7:06E se ti ricordi un po' del lavoro sui triagnoli 30-60-90 che potresti aver
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7:08 - 7:11imparato in geometria magari riconosci che questo
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7:11 - 7:13qui e' un triangolo 30-60-90. Questo e' l'angolo retto e avrei dovuto
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7:13 - 7:16disegnarlo fin dall'inizio per mostrare che questo e' un triangolo rettangolo.
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7:16 - 7:20Quest'angolo qui e' l'angolo di 30 gradi
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7:20 - 7:23e quest'angolo qui sopra, quest'angolo qui sopra e'
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7:23 - 7:26un angolo di 60 gradi.
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7:26 - 7:28Ed e' un 30-60-90 perche'
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7:28 - 7:32il lato opposto al 30 gradi e' meta' dell'ipotenusa
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7:32 - 7:37e il lato opposto ai 60 gradi e' a^2 3 volte l'altro lato
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7:37 - 7:38che non e' l'ipotenusa.
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7:38 - 7:40Quindi questo --- non faremo --- non dovrebbe essere un ripasso dei triangoli 30-60-90,
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7:43 - 7:47In realta' calcoliamo i rapporti trigonometrici per angoli diversi.
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7:47 - 7:51Percio' se ti chiedessi ---
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7:51 - 7:55quant'e' il seno di 30 gradi.
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7:55 - 7:58E ricordati che 30 gradi e' uno degli angoli in questo triangolo, ma si applicherebbe
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7:58 - 8:02ogni volta che hai un angolo di 30 gradi e hai a che fare con un triangolo rettangolo. In futuro avremo
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8:02 - 8:05una definizione piu' generale ma se dici seno di 30 gradi ---
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8:05 - 8:09hey, questo qui non e' oro, e' 30 gradi, quindi posso usare questo triangolo rettangolo
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8:09 - 8:12e dobbiamo solo ricordarci SOH CAH TOA.
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8:12 - 8:17Lo riscrivo. SOH.
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8:17 - 8:23Seno ci dice, SOH ci dice cosa fare col seno. Il seno e' opposto fratto ipotenusa.
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8:23 - 8:26Il seno di trenta gradi e' il lato opposto ---
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8:26 - 8:31e' questo il lato opposto, che e' 2,
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8:31 - 8:32fratto l'ipotenusa. Qui l'ipotenusa e' 4.
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8:32 - 8:36E' 4 mezzi che e' come dire un mezzo.
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8:36 - 8:41Il seno di 30 gradi vedrai che sara' sempre uguale
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8:41 - 8:44Adesso, quant'e'
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8:44 - 8:47Quant'e' il coseno di
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8:47 - 8:50Di nuovo torniamo a SOH CAH TOA.
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8:50 - 8:53Il CAH ci dice cosa fare col coseno. Il Coseno e' l'adiacente fratto l'ipotenusa.
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8:56 - 8:59Quindi se guardiamo l'angolo di 30 gradi, e' l'adiacente, questo qui e'
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8:59 - 9:02l'adiacente. E' quello che gli sta attaccato.
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9:02 - 9:05Non e' l'ipotenusa.
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9:05 - 9:09E' l'adiacente fratto l'ipotenusa quindi e' due
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9:09 - 9:14Adiacente
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9:14 - 9:17O se lo semplifichiamo, poi il numeratore e il denominatore per 2. E' la radice quadrata di 3
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9:17 - 9:21fratto 2.
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9:21 - 9:23Infine facciamo
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9:23 - 9:28Tangente di 30 gradi.
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9:28 - 9:30Torniamo a SOH CAH TOA.
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9:30 - 9:32SOH CAH TOA.
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9:32 - 9:35TOA ci dice cosa fare con la tangente. E' opposto fratto adiacente.
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9:35 - 9:39Vai all'angolo di 30 gradi perche' e' questo che ci interessa, tangente di 30,
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9:39 - 9:42tangente di 30. L'opposto e' 2,
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9:42 - 9:46l'opposto e' 2 e l'adiacente e' 2 radice quadrata di 3, e' quello che gli sta attaccato, e'
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9:46 - 9:48adiacente.
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9:48 - 9:49Adiacente significa attaccato.
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9:49 - 9:52Quindi 2 radice quadrata di 3.
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9:52 - 9:54Percio' e' uguale a ---
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9:54 - 9:57questi 2 si annullano, 1 fratto la radice quadrata di 3.
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9:57 - 10:01O potremmo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice quadrata di 3.
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10:01 - 10:05Quindi abbiamo
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10:05 - 10:09E quindi questo sara' uguale al numeratore radice quadrata di tre e poi il denominatore
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10:12 - 10:16qui sara' solo 3, quindi e' --- abbiamo razionalizzato la radice quadrata di 3.
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10:16 - 10:17Va bene.
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10:17 - 10:21Ora usiamo lo stesso triangolo per capire i rapporti trigonometrici per i 60 gradi
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10:21 - 10:22visto che l'abbiamo gia' disegnato.
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10:22 - 10:28Quindi quant'e'.
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10:28 - 10:30Quant'e' il seno di 30 gradi e penso che si spera che ci stiamo prendendo la mano adesso.
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10:30 - 10:34Il seno e' l'opposto fratto l'adiacente, SOH. Dal SOH CAH TOA. Dall'angolo di 60 gradi qual e' il lato
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10:34 - 10:37opposto.
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10:37 - 10:39Che cosa si apre da li'? Il 2 radice quadrata di 3. Quindi il lato opposto e' 2 radice quadrata di 3
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10:43 - 10:45e dall'angolo di 30 gradi il lato adiac --- oh scusa, e'
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10:45 - 10:48opposto su ipotenusa, non ti voglio confondere.
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10:48 - 10:51Allora e' opposto su ipotenusa.
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10:51 - 10:54Quindi e' 2 radice quadrata di 3 su 4. Quattro e' l'ipotenusa.
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10:54 - 11:00Quindi e' uguale a, si semplifica a radice quadrata di 3 su 2.
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11:00 - 11:06Quant'e' il coseno di 60 gradi. Il coseno di 60 gradi.
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11:06 - 11:10Quindi ricordati SOH CAH TOA. Il coseno e' adiacente su ipotenusa.
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11:10 - 11:14L'adiacente e' i due lati attaccati all'angolo di 60 gradi percio' e' 2
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11:14 - 11:18sull'ipotenusa che e' 4,
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11:18 - 11:21quindi e' uguale a
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11:21 - 11:24E poi infine
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11:24 - 11:28quant'e' la tangente, quant'e' la tangente
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11:28 - 11:32Beh la tangente SOH CAH TOA e' opposto su adiacente.
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11:32 - 11:35Opposto ai 60 gradi
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11:35 - 11:36c'e' 2 radice quadrata di 3.
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11:36 - 11:382 radice quadrata di 3.
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11:38 - 11:40E adiacente a quello,
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11:40 - 11:43adiacente a quello
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11:43 - 11:45L'adiacente ai 60 gradi e' il 2.
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11:45 - 11:49Quindi opposto su adiacente.
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11:49 - 11:532 radice quadrata di 3 su 2 che e' semplicemente uguale
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11:53 - 11:55E voglio solo --- guarda come sono collegati.
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11:55 - 11:58Il seno di 30 e' uguale al coseno di 30 gradi. Il coseno di 30 gradi e' lo stesso del seno di 30 gradi
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12:01 - 12:04e poi questi tizi sono l'uno l'inverso dell'altro. E se pensi un po' a questo triangolo
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12:06 - 12:07comincia ad avere un senso il perche'. Continueremo ad estendere questa cosa e faremo un sacco di pratica nel prossimo
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12:07 - 12:08paio di video.
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Not Synced1/2.
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Not SyncedCAH.
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Not SyncedDiciamo che questo lato qui
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Not SyncedFratto 3.
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Not SyncedTOA.
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Not Synceda un mezzo.
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Not Syncedalla radice quadrata di 3.
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Not Syncedanche se l'ho appena fatto.
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Not Syncedc'e' 2.
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Not Synceddi 60 gradi.
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Not Synceddi 65.
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Not Synceddi entrambe le parti.
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Not Synceddue, ci sara' 4 * 3,
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Not Syncedfratto 4
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Not Syncedfratto ipotenusa.
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Not Syncedfratto l'ipotenusa, fratto 4.
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Not Syncedfratto l'ipotenusa.
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Not Syncedfratto quale lato e' adiacente.
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Not Syncedfratto radice quadrata di 3.
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Not Syncedfratto,
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Not Syncedha lunghezza 2.
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Not Syncedil coseno.
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Not Syncedla radice quadrata di 65
-
Not Syncedla radice quadrata di 65.
-
Not Syncedla tangente.
-
Not Syncedo se qualcuno ti chiedesse --- quant'e',
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Not Syncedpiu' 16,
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Not Syncedquesti saranno triangoli rettangoli.
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Not Syncedradice quadrata di 3
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Not Syncedradice quadrata di 3.
-
Not Syncedtrenta gradi.
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