-
Хайде да направим още много примери,
-
за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция.
-
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника.
-
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника,
-
като искам добре да поясня...
-
Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници.
-
Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници,
-
ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници,
-
но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници.
-
Да кажем, че имам един триъгълник,
-
при който дължината тук долу е 7,
-
а дължината на тази страна тук горе
-
е, да кажем, 4.
-
Нека намерим каква ще е хипотенузата ни.
-
Наричаме хипотенузата h – знаем,
-
че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат,
-
като знаем това от теоремата на Питагор,
-
която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на
-
корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни.
-
h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат.
-
Това е равно на 49 плюс 16,
-
49 плюс 16,
-
49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65.
-
Това е 65. Това е h на квадрат,
-
нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто –
-
h на квадрат е равно на 65.
-
Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65
-
или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни –
-
корен квадратен
-
от 65. И изобщо не можем да опростим това.
-
Това е 13.
-
Това е същото като 13 по 5,
-
като и двете от тези не са точни квадрати и
-
са прости числа, така че повече не можем да опростим това.
-
Това е равно на корен квадратен от 65.
-
Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук.
-
Нека наречем този ъгъл тита.
-
Когато правиш това,
-
винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам –
-
"сох ках тоа" ("soh cah toa").
-
сох (soh)...
-
...сох ках тоа (soh cah toa). Смътно си спомням
-
учителя си по тригонометрия.
-
Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква
-
индианска принцеса наречена Сох Ках Тоа (soh cah toa) или нещо такова,
-
но е много полезна мнемоника,
-
така че можем да приложим "сох ках тоа" (soh cah toa).
-
Да кажем, че искаме да намерим косинуса.
-
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл.
-
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Сох ках тоа!"
-
Трябва ни "ках". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса,
-
частта "ках" ни казва
-
че косинусът е прилежащият върху хипотенузата.
-
Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.
-
Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща?
-
Знаем, че хипотенузата
-
е тази страна ето тук.
-
Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не
-
е хипотенузата, това е тази, която е 4.
-
Прилежащата страна тук, ето тази страна,
-
буквално е точно до ъгъла,
-
тя е една от страните, която оформя ъгъла.
-
Това е 4 върху хипотенузата.
-
Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65.
-
Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65.
-
Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава,
-
че не искат да има ирационално число в знаменателя
-
като например корен квадратен от 65,
-
и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя,
-
можеш да умножиш числителя и знаменателя
-
по корен квадратен от 65.
-
Това очевидно няма да промени числото,
-
понеже го умножаваме по нещо върху себе си,
-
тоест, умножаваме числото по едно.
-
Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя.
-
Числителят става
-
4 по корен квадратен от 65,
-
а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65.
-
Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя.
-
Нека направим другите тригонометрични функции
-
или поне другите най-важни тригонометрични функции.
-
В бъдеще ще научим, че всъщност има още множество от тях,
-
но те произлизат от тези.
-
Нека помислим какъв е знакът на тита. Отново, погледни "сох ках тоа".
-
"Сох" ти казва какво да направиш със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.
-
Синусът е равен на противоположната страна върху хипотенузата.
-
Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата?
-
Коя страна е противоположна за този ъгъл?
-
Просто погледни в противоположна посока, той е противоположен на седмицата,
-
така че противоположната страна е 7.
-
Това тук е противоположната страна
-
и това е хипотенузата; противоположната страна върху хипотенузата.
-
Хипотенузата е корен квадратен от 65.
-
Корен квадратен от 65.
-
Отново, ако искаме да рационализираме това,
-
можем да умножим по корен квадратен от 65 върху корен квадратен от 65,
-
като в числителя ще получим 7 пъти корен квадратен от 65,
-
а в знаменателя просто отново ще получим 65.
-
Нека направим тангенса!
-
Нека изчислим тангенса.
-
Ако искам да откриеш
-
тангенса на тита,
-
отново погледни към "сох ках тоа".
-
Частта "тоа" ти казва какво да направиш с тангенса,
-
казва ни...
-
казва ни, че тангенсът
-
е равен на отсрещната страна върху прилежащата,
-
равен е на противоположната страна
-
върху прилежащата.
-
Коя е отсрещната за този ъгъл? Вече открихме това.
-
Тя е 7. Ъгълът се отваря към седмицата.
-
Противоположен е на седмицата.
-
Тоест, това е 7 върху страната, която е прилежаща.
-
Прилежащата страна е тази, която е 4.
-
Тази, която е 4, е прилежаща. Тоест, прилежащата страна е 4,
-
така че това е 7 върху 4
-
и сме готови.
-
Открихме всички тригонометрични съотношения за тита. Нека направим друг пример.
-
Нека направим още един пример.
-
Ще го направя малко по-точен, понеже сега просто казваме:
-
"какъв е тангенсът на х, тангенсът на тита?" Нека бъдем малко по-точни.
-
Да кажем...
-
Нека нарисувам друг правоъгълен триъгълник,
-
ето го тук.
-
Всичко, с което си имаме работа, ще са правоъгълни триъгълници.
-
Да кажем, че хипотенузата е с дължина от 4.
-
Да кажем, че тази страна тук има дължина от 2
-
и да кажем, че тази дължина тук ще е 2 по корен квадратен от 3.
-
Можем да се уверим, че това върши работа.
-
Ако имаш тази страна на квадрат – нека запиша това №
-
(2 по корен квадратен от три) на квадрат
-
плюс 2 на квадрат, на колко е равно това?
-
Това е 2. Ще имаш 4 по 2.
-
4 по 3 плюс 4,
-
а това ще е равно на 12 плюс 4, което е равно на 16,
-
а 16 всъщност е 4 на квадрат. Това е равно на
-
4 на квадрат, така че изпълнява Питагоровата теорема
-
и, ако помниш нещо от 30-60-90 триъгълниците,
-
което може би изучава по геометрия,
-
може да разпознаеш, че това е триъгълник 30-60-90.
-
Тази страна тук е правият ни ъгъл –
-
трябваше отначало да го начертая така, че да покажа, че това е правоъгълен триъгълник –
-
този ъгъл тук е нашият 30-градусов ъгъл,
-
а този ъгъл тук горе е
-
60-градусов ъгъл
-
и това е 30-60-90, понеже
-
противоположната на 30 градуса страна е половината от хипотенузата,
-
а страната, противоположна на 60-те градуса, е квадратът на 3 по другата страна,
-
която не е хипотенузата.
-
Като казахме това, няма да...
-
това не е преговор на триъгълниците 30-60-90, въпреки че току-що направих именно това.
-
Нека намерим тригонометричните съотношения за различните ъгли.
-
Да кажем, че някой те попита
-
какъв е синусът на 30 градуса.
-
Помни, 30 градуса е един от ъглите в този триъгълник, но това е приложимо
-
винаги, когато имаш 30-градусов ъгъл и работиш с правоъгълен триъгълник.
-
Ще имаме по-разширени определения в бъдеще, но ако просто кажеш синус на 30 градуса,
-
този ъгъл тук е 30 градуса, така че може да се използва този правоъгълен триъгълник
-
и просто трябва да си спомним "сох ках тоа".
-
Презаписваме го. Сох, ках, тоа.
-
Сох ни казва какво да правим със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.
-
Синусът на 30 градуса е противоположната страна,
-
това е тази, която е 2, върху хипотенузата.
-
Тук хипотенузата е 4.
-
Това е 2/4, което е същото като 1/2.
-
Синус на 30 градуса, както ще видиш, винаги ще е равен на 1/2.
-
Какъв е косинусът?
-
Какъв е косинусът на 30 градуса?
-
Отново, връщаме се към "сох, ках, тоа".
-
"Ках" ни казва какво да правим с косинуса.
-
Косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата.
-
Прилежащата към 30 градуса
-
е тази тук, точно до ъгъла.
-
Тя не е хипотенузата. Това е прилежащата страна върху хипотенузата.
-
Тоест, 2 корен квадратен от 3
-
върху хипотенузата...върху 4.
-
Ако опростим това, делим числителя и знаменателя на 2
-
и получаваме корен квадратен от 3 върху 2.
-
Последно, нека намерим тангенса.
-
Тангенсът на 30 градуса,
-
връщаме се към "сох ках тоа".
-
Сох ках тоа.
-
"Тоа" ни казва какво да правим с тангенса. Той е отсрещната страна върху прилежащата.
-
Отиваш до 30-градусовия ъгъл, понеже той ни интересува, тангенсът на 30 градуса.
-
Отсрещната (противоположната) е 2,
-
а прилежащата е 2 корен квадратен от 2.
-
Тя е точно до него. Тя е прилежаща.
-
Прилежаща означава, че е до него.
-
2 корен квадратен от 3,
-
тоест, това е равно на...двойките се изключват взаимно –
-
1 върху корен квадратен от 3.
-
Можем да умножим числителя и знаменателя по корен квадратен от 3.
-
Имаме корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3
-
и това ще е равно на – числителят ще е равен на корен квадратен от 3,
-
а знаменателят ще е равен просто на 3.
-
Така рационализирахме корен квадратен от 3 върху 3.
-
Добре.
-
Нека използваме същия триъгълник, за да намерим тригонометричните съотношения за 60-те градуса,
-
след като вече го начертахме.
-
Какъв е синусът на 60 градуса?
-
Надявам се, че вече започваш да разбираш.
-
Синусът е отсрещната върху хипотенузата – "сох" от "сох ках тоа".
-
Коя страна е отсрещна на 60-градусовия ъгъл?
-
Той гледа към 2 корен квадратен от 3,
-
тоест, отсрещната страна е 2 корен квадратен от 3
-
и от 60-градусовия ъгъл...
-
това е отсрещната страна върху хипотенузата.
-
Противоположната страна върху хипотенузата,
-
тоест, 2 корен квадратен от 3 върху 4. Хипотенузата е 4.
-
Това е равно на – това се опростява до корен квадратен от 3 върху 2.
-
Какъв е косинусът на 60 градуса?
-
Помни "сох, ках, тоа". Косинусът е прилежащата върху хипотенузата.
-
Прилежащата е точно до 60-градусовия ъгъл.
-
Той е 2 върху хипотенузата, която е 4.
-
Това е равно на 1/2.
-
Последно, какъв е тангенсът?
-
Какъв е тангенсът на 60 градуса?
-
"Сох, ках, тоа." Тангенсът е отсрещната върху прилежащата.
-
Отсрещната (противоположната) на 60 градуса
-
е 2 корен квадратен от 3.
-
2 корен квадратен от 3.
-
Прилежащата на този ъгъл
-
е 2.
-
Прилежащата на 60 градуса е 2.
-
Това е отсрещната страна върху прилежащата, 2 корен квадратен от 3 върху 2,
-
което просто е равно на корен квадратен от 3.
-
Просто исках да ти покажа как тези са свързани –
-
синусът на 30 градуса е същият като косинуса на 60 градуса.
-
Косинусът на 30 градуса е същият като синуса на 60 градуса,
-
а тези са обратни едно на друго
-
и ако малко повече помислиш върху този триъгълник,
-
ще видиш защо това е логично.
-
Ще продължаваме да наблягаме на това
-
и ще се упражняваме още в следващите няколко видеа.