1
00:00:00,800 --> 00:00:03,017
Хайде да направим още много примери,

2
00:00:03,017 --> 00:00:07,036
за да сме сигурни, че добре разбираме тригонометричната функция.

3
00:00:07,036 --> 00:00:11,447
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника.

4
00:00:11,447 --> 00:00:13,668
Нека си построим няколко правоъгълни триъгълника,

5
00:00:13,668 --> 00:00:15,186
като искам добре да поясня...

6
00:00:15,186 --> 00:00:18,042
Начинът, по който дотук дефинирах това, работи единствено при правоъгълни триъгълници.

7
00:00:18,042 --> 00:00:23,475
Ако се опитваш да намериш тригонометричните функции на ъгли, които не са част от правоъгълни триъгълници,

8
00:00:23,475 --> 00:00:25,704
ще видиш, че ще трябва да построим правоъгълни триъгълници,

9
00:00:25,704 --> 00:00:27,867
но засега нека се фокусираме единствено върху правоъгълните триъгълници.

10
00:00:27,867 --> 00:00:31,344
Да кажем, че имам един триъгълник,

11
00:00:31,344 --> 00:00:33,897
при който дължината тук долу е 7,

12
00:00:33,897 --> 00:00:37,757
а дължината на тази страна тук горе

13
00:00:37,757 --> 00:00:39,452
е, да кажем, 4.

14
00:00:39,452 --> 00:00:42,516
Нека намерим каква ще е хипотенузата ни.

15
00:00:42,516 --> 00:00:45,720
Наричаме хипотенузата h – знаем,

16
00:00:45,720 --> 00:00:52,200
че h на квадрат ще е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат,

17
00:00:52,200 --> 00:00:55,194
като знаем това от теоремата на Питагор,

18
00:00:55,194 --> 00:00:57,469
която гласи, че хипотенузата на квадрат е равна на

19
00:00:57,469 --> 00:01:01,974
корен квадратен от всяка от сумите на квадратите на другите две страни.

20
00:01:01,974 --> 00:01:04,533
h на квадрат е равно на 7 на квадрат плюс 4 на квадрат.

21
00:01:04,533 --> 00:01:09,776
Това е равно на 49 плюс 16,

22
00:01:09,776 --> 00:01:11,800
49 плюс 16,

23
00:01:11,800 --> 00:01:18,553
49 плюс 10 е 59, плюс 6 е 65.

24
00:01:18,553 --> 00:01:21,107
Това е 65. Това е h на квадрат,

25
00:01:21,107 --> 00:01:25,705
нека запиша: h на квадрат – това е различен нюанс на жълто –

26
00:01:25,705 --> 00:01:28,818
h на квадрат е равно на 65.

27
00:01:28,818 --> 00:01:33,533
Правилно ли е? 49 плюс 10 е 59, плюс още 6 е 65

28
00:01:33,533 --> 00:01:37,600
или можем да кажем, че h е равно на – ако вземем корен квадратен от двете страни –

29
00:01:37,600 --> 00:01:39,200
корен квадратен

30
00:01:39,200 --> 00:01:42,933
от 65. И изобщо не можем да опростим това.

31
00:01:42,933 --> 00:01:44,699
Това е 13.

32
00:01:44,699 --> 00:01:47,463
Това е същото като 13 по 5,

33
00:01:47,463 --> 00:01:50,388
като и двете от тези не са точни квадрати и

34
00:01:50,388 --> 00:01:51,804
са прости числа, така че повече не можем да опростим това.

35
00:01:51,804 --> 00:01:55,467
Това е равно на корен квадратен от 65.

36
00:01:55,467 --> 00:02:02,114
Нека намерим тригонометричните функции за този ъгъл ето тук.

37
00:02:02,114 --> 00:02:05,457
Нека наречем този ъгъл тита.

38
00:02:05,457 --> 00:02:06,533
Когато правиш това,

39
00:02:06,533 --> 00:02:09,467
винаги записвай – поне за мен е по-добре да си записвам –

40
00:02:09,467 --> 00:02:11,714
"сох ках тоа" ("soh cah toa").

41
00:02:11,714 --> 00:02:13,120
сох (soh)...

42
00:02:13,120 --> 00:02:16,464
...сох ках тоа (soh cah toa). Смътно си спомням

43
00:02:16,464 --> 00:02:18,786
учителя си по тригонометрия.

44
00:02:18,786 --> 00:02:21,293
Може би съм го чел в някоя книга. Нещо за някаква

45
00:02:21,293 --> 00:02:23,867
индианска принцеса наречена Сох Ках Тоа (soh cah toa) или нещо такова,

46
00:02:23,867 --> 00:02:26,123
но е много полезна мнемоника,

47
00:02:26,123 --> 00:02:27,564
така че можем да приложим "сох ках тоа" (soh cah toa).

48
00:02:27,564 --> 00:02:31,046
Да кажем, че искаме да намерим косинуса.

49
00:02:31,046 --> 00:02:34,436
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл.

50
00:02:34,436 --> 00:02:37,965
Искаме да намерим косинуса на нашия ъгъл и си казваш: "Сох ках тоа!"

51
00:02:37,965 --> 00:02:40,800
Трябва ни "ках". "Ках" ни казва какво да правим с косинуса,

52
00:02:40,800 --> 00:02:43,027
частта "ках" ни казва

53
00:02:43,027 --> 00:02:46,371
че косинусът е прилежащият върху хипотенузата.

54
00:02:46,371 --> 00:02:51,433
Косинусът е равен на прилежащия катет върху хипотенузата.

55
00:02:51,433 --> 00:02:55,798
Нека погледнем тита; коя страна е прилежаща?

56
00:02:55,798 --> 00:02:57,702
Знаем, че хипотенузата

57
00:02:57,702 --> 00:03:00,767
е тази страна ето тук.

58
00:03:00,767 --> 00:03:04,761
Така че не може да е тя. Единствената друга страна, която е прилежаща към това и не

59
00:03:04,761 --> 00:03:07,133
е хипотенузата, това е тази, която е 4.

60
00:03:07,133 --> 00:03:10,473
Прилежащата страна тук, ето тази страна,

61
00:03:10,473 --> 00:03:14,374
буквално е точно до ъгъла,

62
00:03:14,374 --> 00:03:15,754
тя е една от страните, която оформя ъгъла.

63
00:03:15,754 --> 00:03:17,133
Това е 4 върху хипотенузата.

64
00:03:17,133 --> 00:03:21,108
Вече знаем, че хипотенузата е корен квадратен от 65.

65
00:03:21,108 --> 00:03:25,380
Тоест, това е 4 върху корен квадратен от 65.

66
00:03:25,380 --> 00:03:29,142
Понякога хората ще искат от теб да рационализираш знаменателя, което означава,

67
00:03:29,142 --> 00:03:32,625
че не искат да има ирационално число в знаменателя

68
00:03:32,625 --> 00:03:35,227
като например корен квадратен от 65,

69
00:03:35,227 --> 00:03:39,359
и ако искаш да преобразуваш това без ирационално число в знаменателя,

70
00:03:39,359 --> 00:03:41,634
можеш да умножиш числителя и знаменателя

71
00:03:41,634 --> 00:03:43,306
по корен квадратен от 65.

72
00:03:43,306 --> 00:03:45,094
Това очевидно няма да промени числото,

73
00:03:45,094 --> 00:03:48,122
понеже го умножаваме по нещо върху себе си,

74
00:03:48,122 --> 00:03:49,111
тоест, умножаваме числото по едно.

75
00:03:49,111 --> 00:03:52,780
Това няма да промени числото, но поне ни избавя от ирационалното число в знаменателя.

76
00:03:52,780 --> 00:03:54,127
Числителят става

77
00:03:54,127 --> 00:03:57,800
4 по корен квадратен от 65,

78
00:03:57,800 --> 00:04:03,461
а знаменателят, корен квадратен от 65 по корен квадратен от 65, това просто ще е 65.

79
00:04:03,461 --> 00:04:07,130
Не се отървахме от ирационалното число, то все още е тук, но сега е в числителя.

80
00:04:07,130 --> 00:04:09,777
Нека направим другите тригонометрични функции

81
00:04:09,777 --> 00:04:12,401
или поне другите най-важни тригонометрични функции.

82
00:04:12,401 --> 00:04:14,399
В бъдеще ще научим, че всъщност има още множество от тях,

83
00:04:14,399 --> 00:04:15,443
но те произлизат от тези.

84
00:04:15,443 --> 00:04:19,733
Нека помислим какъв е знакът на тита. Отново, погледни "сох ках тоа".

85
00:04:19,733 --> 00:04:25,474
"Сох" ти казва какво да направиш със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.

86
00:04:25,474 --> 00:04:29,200
Синусът е равен на противоположната страна върху хипотенузата.

87
00:04:29,200 --> 00:04:31,372
Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата?

88
00:04:31,372 --> 00:04:34,390
Коя страна е противоположна за този ъгъл?

89
00:04:34,390 --> 00:04:38,430
Просто погледни в противоположна посока, той е противоположен на седмицата,

90
00:04:38,430 --> 00:04:41,200
така че противоположната страна е 7.

91
00:04:41,200 --> 00:04:44,468
Това тук е противоположната страна

92
00:04:44,468 --> 00:04:47,800
и това е хипотенузата; противоположната страна върху хипотенузата.

93
00:04:47,800 --> 00:04:51,109
Хипотенузата е корен квадратен от 65.

94
00:04:51,109 --> 00:04:52,966
Корен квадратен от 65.

95
00:04:52,966 --> 00:04:55,133
Отново, ако искаме да рационализираме това,

96
00:04:55,133 --> 00:04:59,933
можем да умножим по корен квадратен от 65 върху корен квадратен от 65,

97
00:04:59,933 --> 00:05:04,298
като в числителя ще получим 7 пъти корен квадратен от 65,

98
00:05:04,298 --> 00:05:07,966
а в знаменателя просто отново ще получим 65.

99
00:05:07,966 --> 00:05:10,474
Нека направим тангенса!

100
00:05:10,474 --> 00:05:12,796
Нека изчислим тангенса.

101
00:05:12,796 --> 00:05:14,793
Ако искам да откриеш

102
00:05:14,793 --> 00:05:17,394
тангенса на тита,

103
00:05:17,394 --> 00:05:20,784
отново погледни към "сох ках тоа".

104
00:05:20,784 --> 00:05:23,106
Частта "тоа" ти казва какво да направиш с тангенса,

105
00:05:23,106 --> 00:05:24,800
казва ни...

106
00:05:24,800 --> 00:05:27,053
казва ни, че тангенсът

107
00:05:27,053 --> 00:05:29,867
е равен на отсрещната страна върху прилежащата,

108
00:05:29,867 --> 00:05:33,137
равен е на противоположната страна

109
00:05:33,137 --> 00:05:35,867
върху прилежащата.

110
00:05:35,867 --> 00:05:38,709
Коя е отсрещната за този ъгъл? Вече открихме това.

111
00:05:38,709 --> 00:05:41,124
Тя е 7. Ъгълът се отваря към седмицата.

112
00:05:41,124 --> 00:05:42,533
Противоположен е на седмицата.

113
00:05:42,533 --> 00:05:46,372
Тоест, това е 7 върху страната, която е прилежаща.

114
00:05:46,372 --> 00:05:48,200
Прилежащата страна е тази, която е 4.

115
00:05:48,200 --> 00:05:51,295
Тази, която е 4, е прилежаща. Тоест, прилежащата страна е 4,

116
00:05:51,295 --> 00:05:54,330
така че това е 7 върху 4

117
00:05:54,330 --> 00:05:56,133
и сме готови.

118
00:05:56,133 --> 00:05:59,375
Открихме всички тригонометрични съотношения за тита. Нека направим друг пример.

119
00:05:59,375 --> 00:06:00,416
Нека направим още един пример.

120
00:06:00,416 --> 00:06:02,719
Ще го направя малко по-точен, понеже сега просто казваме:

121
00:06:02,719 --> 00:06:06,434
"какъв е тангенсът на х, тангенсът на тита?" Нека бъдем малко по-точни.

122
00:06:06,434 --> 00:06:08,431
Да кажем...

123
00:06:08,431 --> 00:06:10,799
Нека нарисувам друг правоъгълен триъгълник,

124
00:06:10,799 --> 00:06:13,772
ето го тук.

125
00:06:13,772 --> 00:06:17,533
Всичко, с което си имаме работа, ще са правоъгълни триъгълници.

126
00:06:17,533 --> 00:06:21,109
Да кажем, че хипотенузата е с дължина от 4.

127
00:06:21,109 --> 00:06:26,357
Да кажем, че тази страна тук има дължина от 2

128
00:06:26,357 --> 00:06:31,790
и да кажем, че тази дължина тук ще е 2 по корен квадратен от 3.

129
00:06:31,790 --> 00:06:33,462
Можем да се уверим, че това върши работа.

130
00:06:33,462 --> 00:06:36,467
Ако имаш тази страна на квадрат – нека запиша това №

131
00:06:36,467 --> 00:06:38,803
(2 по корен квадратен от три) на квадрат

132
00:06:38,803 --> 00:06:42,471
плюс 2 на квадрат, на колко е равно това?

133
00:06:42,471 --> 00:06:46,467
Това е 2. Ще имаш 4 по 2.

134
00:06:46,467 --> 00:06:49,763
4 по 3 плюс 4,

135
00:06:49,763 --> 00:06:53,478
а това ще е равно на 12 плюс 4, което е равно на 16,

136
00:06:53,478 --> 00:06:57,800
а 16 всъщност е 4 на квадрат. Това е равно на

137
00:06:57,800 --> 00:07:01,790
4 на квадрат, така че изпълнява Питагоровата теорема

138
00:07:01,790 --> 00:07:06,133
и, ако помниш нещо от 30-60-90 триъгълниците,

139
00:07:06,133 --> 00:07:07,781
което може би изучава по геометрия,

140
00:07:07,781 --> 00:07:11,450
може да разпознаеш, че това е триъгълник 30-60-90.

141
00:07:11,450 --> 00:07:13,133
Тази страна тук е правият ни ъгъл –

142
00:07:13,133 --> 00:07:15,867
трябваше отначало да го начертая така, че да покажа, че това е правоъгълен триъгълник –

143
00:07:15,867 --> 00:07:20,366
този ъгъл тук е нашият 30-градусов ъгъл,

144
00:07:20,366 --> 00:07:23,385
а този ъгъл тук горе е

145
00:07:23,385 --> 00:07:26,125
60-градусов ъгъл

146
00:07:26,125 --> 00:07:27,797
и това е 30-60-90, понеже

147
00:07:27,797 --> 00:07:31,791
противоположната на 30 градуса страна е половината от хипотенузата,

148
00:07:31,791 --> 00:07:36,800
а страната, противоположна на 60-те градуса, е квадратът на 3 по другата страна,

149
00:07:36,800 --> 00:07:38,432
която не е хипотенузата.

150
00:07:38,432 --> 00:07:40,159
Като казахме това, няма да...

151
00:07:40,159 --> 00:07:43,415
това не е преговор на триъгълниците 30-60-90, въпреки че току-що направих именно това.

152
00:07:43,415 --> 00:07:46,933
Нека намерим тригонометричните съотношения за различните ъгли.

153
00:07:46,933 --> 00:07:51,295
Да кажем, че някой те попита

154
00:07:51,295 --> 00:07:54,639
какъв е синусът на 30 градуса.

155
00:07:54,639 --> 00:07:58,447
Помни, 30 градуса е един от ъглите в този триъгълник, но това е приложимо

156
00:07:58,447 --> 00:08:01,698
винаги, когато имаш 30-градусов ъгъл и работиш с правоъгълен триъгълник.

157
00:08:01,698 --> 00:08:05,135
Ще имаме по-разширени определения в бъдеще, но ако просто кажеш синус на 30 градуса,

158
00:08:05,135 --> 00:08:09,035
този ъгъл тук е 30 градуса, така че може да се използва този правоъгълен триъгълник

159
00:08:09,035 --> 00:08:12,133
и просто трябва да си спомним "сох ках тоа".

160
00:08:12,133 --> 00:08:17,116
Презаписваме го. Сох, ках, тоа.

161
00:08:17,116 --> 00:08:22,782
Сох ни казва какво да правим със синуса. Синусът е отсрещната страна върху хипотенузата.

162
00:08:22,782 --> 00:08:26,358
Синусът на 30 градуса е противоположната страна,

163
00:08:26,358 --> 00:08:30,723
това е тази, която е 2, върху хипотенузата.

164
00:08:30,723 --> 00:08:32,395
Тук хипотенузата е 4.

165
00:08:32,395 --> 00:08:35,646
Това е 2/4, което е същото като 1/2.

166
00:08:35,646 --> 00:08:40,800
Синус на 30 градуса, както ще видиш, винаги ще е равен на 1/2.

167
00:08:40,800 --> 00:08:44,144
Какъв е косинусът?

168
00:08:44,144 --> 00:08:46,867
Какъв е косинусът на 30 градуса?

169
00:08:46,867 --> 00:08:50,135
Отново, връщаме се към "сох, ках, тоа".

170
00:08:50,135 --> 00:08:52,643
"Ках" ни казва какво да правим с косинуса.

171
00:08:52,643 --> 00:08:56,033
Косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата.

172
00:08:56,033 --> 00:08:59,051
Прилежащата към 30 градуса

173
00:08:59,051 --> 00:09:01,791
е тази тук, точно до ъгъла.

174
00:09:01,791 --> 00:09:05,467
Тя не е хипотенузата. Това е прилежащата страна върху хипотенузата.

175
00:09:05,467 --> 00:09:09,129
Тоест, 2 корен квадратен от 3

176
00:09:09,129 --> 00:09:13,633
върху хипотенузата...върху 4.

177
00:09:13,633 --> 00:09:16,977
Ако опростим това, делим числителя и знаменателя на 2

178
00:09:16,977 --> 00:09:20,646
и получаваме корен квадратен от 3 върху 2.

179
00:09:20,646 --> 00:09:22,782
Последно, нека намерим тангенса.

180
00:09:22,782 --> 00:09:27,800
Тангенсът на 30 градуса,

181
00:09:27,800 --> 00:09:30,305
връщаме се към "сох ках тоа".

182
00:09:30,305 --> 00:09:31,699
Сох ках тоа.

183
00:09:31,699 --> 00:09:34,800
"Тоа" ни казва какво да правим с тангенса. Той е отсрещната страна върху прилежащата.

184
00:09:34,800 --> 00:09:38,804
Отиваш до 30-градусовия ъгъл, понеже той ни интересува, тангенсът на 30 градуса.

185
00:09:38,804 --> 00:09:42,101
Отсрещната (противоположната) е 2,

186
00:09:42,101 --> 00:09:46,200
а прилежащата е 2 корен квадратен от 2.

187
00:09:46,200 --> 00:09:48,045
Тя е точно до него. Тя е прилежаща.

188
00:09:48,045 --> 00:09:49,439
Прилежаща означава, че е до него.

189
00:09:49,439 --> 00:09:52,039
2 корен квадратен от 3,

190
00:09:52,039 --> 00:09:54,454
тоест, това е равно на...двойките се изключват взаимно –

191
00:09:54,454 --> 00:09:56,776
1 върху корен квадратен от 3.

192
00:09:56,776 --> 00:10:00,723
Можем да умножим числителя и знаменателя по корен квадратен от 3.

193
00:10:00,723 --> 00:10:05,367
Имаме корен квадратен от 3 върху корен квадратен от 3

194
00:10:05,367 --> 00:10:08,804
и това ще е равно на – числителят ще е равен на корен квадратен от 3,

195
00:10:08,804 --> 00:10:12,473
а знаменателят ще е равен просто на 3.

196
00:10:12,473 --> 00:10:15,800
Така рационализирахме корен квадратен от 3 върху 3.

197
00:10:15,800 --> 00:10:17,442
Добре.

198
00:10:17,442 --> 00:10:20,693
Нека използваме същия триъгълник, за да намерим тригонометричните съотношения за 60-те градуса,

199
00:10:20,693 --> 00:10:22,457
след като вече го начертахме.

200
00:10:22,457 --> 00:10:28,328
Какъв е синусът на 60 градуса?

201
00:10:28,328 --> 00:10:30,166
Надявам се, че вече започваш да разбираш.

202
00:10:30,166 --> 00:10:34,253
Синусът е отсрещната върху хипотенузата – "сох" от "сох ках тоа".

203
00:10:34,253 --> 00:10:36,668
Коя страна е отсрещна на 60-градусовия ъгъл?

204
00:10:36,668 --> 00:10:39,315
Той гледа към 2 корен квадратен от 3,

205
00:10:39,315 --> 00:10:42,566
тоест, отсрещната страна е 2 корен квадратен от 3

206
00:10:42,566 --> 00:10:45,306
и от 60-градусовия ъгъл...

207
00:10:45,306 --> 00:10:47,999
това е отсрещната страна върху хипотенузата.

208
00:10:47,999 --> 00:10:50,507
Противоположната страна върху хипотенузата,

209
00:10:50,507 --> 00:10:54,315
тоест, 2 корен квадратен от 3 върху 4. Хипотенузата е 4.

210
00:10:54,315 --> 00:10:59,981
Това е равно на – това се опростява до корен квадратен от 3 върху 2.

211
00:10:59,981 --> 00:11:05,507
Какъв е косинусът на 60 градуса?

212
00:11:05,507 --> 00:11:10,244
Помни "сох, ках, тоа". Косинусът е прилежащата върху хипотенузата.

213
00:11:10,244 --> 00:11:13,667
Прилежащата е точно до 60-градусовия ъгъл.

214
00:11:13,667 --> 00:11:17,907
Той е 2 върху хипотенузата, която е 4.

215
00:11:17,907 --> 00:11:20,972
Това е равно на 1/2.

216
00:11:20,972 --> 00:11:24,176
Последно, какъв е тангенсът?

217
00:11:24,176 --> 00:11:27,984
Какъв е тангенсът на 60 градуса?

218
00:11:27,984 --> 00:11:32,349
"Сох, ках, тоа." Тангенсът е отсрещната върху прилежащата.

219
00:11:32,349 --> 00:11:34,671
Отсрещната (противоположната) на 60 градуса

220
00:11:34,671 --> 00:11:36,400
е 2 корен квадратен от 3.

221
00:11:36,400 --> 00:11:38,000
2 корен квадратен от 3.

222
00:11:38,000 --> 00:11:39,919
Прилежащата на този ъгъл

223
00:11:39,919 --> 00:11:42,733
е 2.

224
00:11:42,733 --> 00:11:44,800
Прилежащата на 60 градуса е 2.

225
00:11:44,800 --> 00:11:48,650
Това е отсрещната страна върху прилежащата, 2 корен квадратен от 3 върху 2,

226
00:11:48,650 --> 00:11:52,644
което просто е равно на корен квадратен от 3.

227
00:11:52,644 --> 00:11:54,641
Просто исках да ти покажа как тези са свързани –

228
00:11:54,641 --> 00:11:57,984
синусът на 30 градуса е същият като косинуса на 60 градуса.

229
00:11:57,984 --> 00:12:01,333
Косинусът на 30 градуса е същият като синуса на 60 градуса,

230
00:12:01,333 --> 00:12:03,966
а тези са обратни едно на друго

231
00:12:03,966 --> 00:12:05,635
и ако малко повече помислиш върху този триъгълник,

232
00:12:05,635 --> 00:12:07,105
ще видиш защо това е логично.

233
00:12:07,105 --> 00:12:08,461
Ще продължаваме да наблягаме на това

234
00:12:08,461 --> 00:12:11,098
и ще се упражняваме още в следващите няколко видеа.