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Temos aqui uma imagem de René Descartes.
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Mais uma vez, uma das grandes mentes
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em matemática e filosofia.
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E acho que podem ver uma tendência aqui:
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que o grandes filósofos foram também grandes matemáticos
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e vice-versa.
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E ele era um contemporâneo de Galileu
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Era 32 anos mais novo.
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Embora tenha morrido pouco depois de Galileu.
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Morreu muito mais jovem.
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Galileu viveu até à casa dos 70.
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Descartes morreu logo aos 54 anos de idade.
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E ele é provavelmente mais conhecido na cultura popular,
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por esta frase aqui,
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uma frase muito filosófica:
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"Penso, logo, existo."
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Mas eu queria também mostrar,
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e isto não está assim tão relacionado com álgebra,
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mas achei que era uma citação bastante bonita.
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Provavelmente a sua frase menos famosa,
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esta aqui.
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E eu gosto dela porque é muito prática
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e faz-nos perceber que estas grandes mentes,
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estes pilares da filosofia e da matemática,
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no final do dia,
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eram apenas seres humanos.
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Ele disse: "Continuamos a insistir.
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Continuamos a insistir.
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Cometi todos os erros que poderiam ser cometidos.
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Mas continuei sempre a insistir."
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Que eu acho que é um conselho muito bom para a vida.
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Ele fez muitas coisas
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em filosofia e matemática,
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mas a razão por que o estou a incluir aqui,
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à medida que construímos os fundamentos da álgebra,
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é porque ele é o indivíduo
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mais responsável por uma conexão muito forte
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entre álgebra e geometria.
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Aqui à esquerda
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temos o mundo da álgebra.
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Já discutimos isto um pouco.
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Temos equações que lidam com símbolos
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e estes símbolos são essencialmente,
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eles podem tomar valores,
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para que possamos ter algo como
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y = 2x - 1.
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Isto dá-nos uma relação
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entre o que quer que x seja
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e o que quer que y seja.
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E até podemos fazer uma tabela aqui
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e escolher valores para x
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e ver quais seriam os valores de y.
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Posso escolher valores aleatórios para x
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e, em seguida, descobrir o que y é.
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Mas vou escolher valores relativamente simples
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para que a matemática não fique muito complicada.
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Por exemplo,
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se x é -2
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então, y vai ser 2 vezes -2 - 1
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2 x - 2 - 1
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que é -4 - 1
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que é -5.
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Se x é -1,
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então y vai ser 2 x -1 - 1,
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que é igual a
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Isto é -2 - 1, que é -3
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Se x = 0,
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então y vai ser 2 x 0 - 1
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2 x 0 é 0 - 1 é -1.
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Vou fazer mais alguns.
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Se x é 1,
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e eu poderia ter escolhido qualquer valor.
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Eu poderia deizer: o que acontece
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se x é a raiz quadrada negativa de 2,
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ou o que acontece se x é -5 metades
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ou seis sétimos positivos.
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Mas estou a escolher estes números
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porque torna as contas muito mais fáceis
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quando tento descobrir o que y vai ser.
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Mas quando x é 1
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y vai ser 2(1) - 1
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2 x 1 é 2 - 1 é 1.
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E vou fazer mais um.
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Numa côr que ainda não tenha usado.
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Neste roxo.
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Se x for 2,
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então y vai ser
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2(2) - 1 (agora que x é 2)
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que é 4 - 1 é igual a 3.
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Nada mau.
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Eu como que repeti esta relacão.
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OK, isto descreve uma relação geral
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entre uma variável y e uma variável x
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depois concretizei um pouco mais.
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Eu disse:
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se x é uma dessas variáveis
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para cada um destes valores de x,
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qual seria o valor correspondente de y?
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E o que Descartes descobriu
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foi que podemos visualizar isto.
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Primeiro, podemos visualizar estes pontos individuais.
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Mas isto também nos pode ajudar, em geral,
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a visualizar esta relação.
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Essencialmente, o que ele fez foi
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criar uma ponte entre os mundos desta álgebra simbólica muito abstrata
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e o da geometria, que se debruçava
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sobre formas e tamanhos e ângulos.
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Aqui temos o mundo da geometria.
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E, obviamente, há pessoas,
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talvez muitas, que a história pode ter esquecido,
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que podem ter-se ocupado disto.
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Mas, antes de Descartes, é geralmente tido
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que a geometria era geometria euclidiana.
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E essa é essencialmente a geometria
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que estudámos nas aulas de geometria,
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no 8º ou no 9º ou no 10º anos,
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num currículo normal de escola secundária.
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E essa é a geometria que estuda
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as relações entre os triângulos e os seus ângulos
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e as relações entre círculos.
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E depois temos os raios e triângulos
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inscritos em círculos e tudo o resto.
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E vamos aprofundar um pouco isso
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na lista de reprodução de geometria.
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Mas Descarte diz: 'eu acho que posso representar isto visualmente
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da mesma forma que Euclides estava a estudar estes triângulos e estes círculos'
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Ele disse 'por que não o faço?'
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Se virmos um pedaço de papel
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e pensarmos sobre um plano bidimensional,
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podemos ver um pedaço de papel
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como uma espécie de secção de um plano bidimensional.
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Chamamos-lhe duas dimensões
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porque há duas direcções em que podemos ir.
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Há a direcção cima baixo,
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isto é uma direção.
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Deixem-me desenhar, vou fazê-lo em azul.
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porque estamos a tentar visualizar as coisas
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por isso vou fazê-lo na cor da geometria.
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Então, temos a direção cima baixo
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e temos a direcção esquerda direita.
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É por isso que é chamado um plano bidimensional.
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Se estivéssemos a lidar com três dimensões
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teríamos uma dimensão dentro fora.
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E é muito fácil fazer duas dimensões no ecrã
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porque o ecrã é bidimensional.
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E diz ele: 'sabemos que
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há duas variáveis aqui e elas têm esta relação.
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Então por que não associar cada uma destas variáveis
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com uma destas dimensões aqui?'
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E, por convenção, vamos fazer a variável y
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que é a variável dependente.
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A maneira como o fizemos
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depende do que x é.
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Vamos colocá-la no eixo vertical.
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E vamos colocar a nossa variável independente,
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aquela para que selecionei valores aletórios
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para ver o que se tornaria y,
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vamos colocá-la no eixo horizontal.
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E foi na verdade Descartes quem
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criou a convenção de usar x's e y's
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e, veremos mais tarde, z's em álgebra, tão extensivamente
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como variáveis desconhecidas ou as variáveis que estamos a manipular.
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Mas diz ele 'se pensarmos desta forma
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se numerarmos estas dimensões'
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Então, vamos dizer que na direção x,
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vamos fazer isto aqui -3.
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Isto será -2.
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Isto é -1.
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Isto é 0
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Estou apenas a numerar a direcção x,
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a direcção esquerda direita.
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Agora, isto é 1 positivo.
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Isto é 2 positivo.
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E isto é 3 positivo.
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E podíamos fazer o mesmo na direção y.
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Então isto podia ser
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-5, -4, -3.
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Na verdade, deixem-me fazer isto um pouco mais direito.
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Deixem-me limpar isto um pouco.
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Deixe-me apagar isto e estender isto um pouco para baixo
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para conseguir ir até -5
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sem torná-lo demasiado confuso.
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Vamos tudo para baixo aqui,
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E podemos numerá-lo:
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isto é 1, isto é 2, isto é 3,
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e isto pode ser -1,
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-2, e isto são apenas convenções,
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podia ter sido rotulado ao contrário.
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Podíamos ter decidido colocar o x ali
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e o y ali.
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E tornar esta a direcção positiva,
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e esta a direcção negativa.
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Mas é apenas uma convenção que as pessoas adoptaram,
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começando com Descartes.
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-2, -3, -4 e -5.
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E ele diz 'acho que consigo associar
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cada um destes pares de valores com
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um ponto em duas dimensões.
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Posso tomar a coordenada x, posso tomar o valor de x
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e digo 'Ok, isto é -2
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que estaria aqui, na direcção esquerda direita.
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Estou a ir para a esquerda porque é negativo.
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E está associado a -5 na direcção vertical.
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O valor de y é -5.
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Então, se eu fôr 2 para a esquerda e 5 para baixo
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chego a este ponto aqui.
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Diz ele 'estes dois valores -2 e -5,
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posso associá-los com este ponto
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neste plano aqui, neste plano bidimensional.
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Este ponto tem as coordenadas,
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diz-me onde posso encontrar esse ponto (-2, -5).
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E estas coordenadas chamam-se 'coordenadas cartesianas',
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o nome de René Descartes,
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porque foi ele que as inventou.
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Ele veio associar estas relações
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a pontos num plano de coordenadas.
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E diz ainda 'vamos fazer um outro,
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há uma outra relação'.
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Quando x é igual a -1, y = -3.
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Portanto, x é -1, y é -3.
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É aquele ponto ali.
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E a convenção é uma vez mais:
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'Quando se listam as coordenadas,
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lista-se a coordenada x e, em seguida, a coordenada y'.
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É o que as pessoas decidiram fazer.
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-1, -3 seria aquele ponto ali.
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E depois temos o ponto em que x é 0, y é -1.
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Quando x é 0, aqui,
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significa que não vou nem para a esquerda nem para a direita.
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y é -1, o que significa que vou 1 para baixo.
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Portanto é aquele ponto ali. (0, -1)
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Ali.
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Eu podia continuar a fazer isto.
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Quando x é 1, y é 1.
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Quando x é 2, y é 3.
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Deixem-me fazer isso na mesma cor roxa.
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Quando x é 2, y é 3.
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2,3 e, em seguida, este aqui em laranja era 1,1.
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E isto fica direito por si..
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Eu apenas amostrei possíveis x's.
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Mas o que ele percebeu foi
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não só podemos amostrar estes possíveis x's,
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como poderíamos continuar amostrando x's.
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Se tentássemos amostrar todos os x's de entremeio,
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acabaríamos por traçar uma linha.
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Portanto, se fossemos fazer todos os x's possíveis
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ficaríamos com uma linha.
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que seria algo como isto... ali.
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E qualquer relação, se tomarmos qualquer x
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e encontrar qualquer y, representa realmente um ponto nesta linha,
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Ou, outra maneira de pensar nisso:
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qualquer ponto nesta linha representa
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uma solução para esta equação aqui.
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Se temos este ponto aqui,
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que parece que x é 1 e meio.
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y é 2. Deixem-me escrever isso
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1.5,2
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é uma solução para esta equação.
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Quando x é 1.5: 2 x 1.5 é 3 - 1 é 2.
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Isto é ali.
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De repente ele foi capaz de preencher
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esta lacuna ou esta relação entre álgebra e geometria.
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Podemos agora visualizar todos os pares x e y
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que satisfazem esta equação aqui.
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Ele é responsável por criar esta ponte
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e é por isso que as coordenadas que usamos
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para especificar estes pontos se chamam "coordenadas cartesianas".
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E como veremos, o primeiro tipo de equações
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que vamos estudar são equações desta forma.
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Num currículo de álgebra tradicional,
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chamam-se a equações lineares...
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equações lineares.
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Podem dizer 'bem, isto é uma equação,
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vejo que isto é igual àquilo,
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mas o que há de linear sobre eles?
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O que os faz parecer com uma linha?'
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Para compreender por que é que são lineares,
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temos que dar o salto que René Descartes deu.
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Porque se formos desenhar isto,
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usando coordenadas cartesianas,
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num plano euclidiano, vamos obter uma linha.
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E no futuro, verão que
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há outros tipos de equações em que não vamos obter uma linha
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mas uma curva ou qualquer coisa maluca ou funky.
