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Voici un portrait de
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Encore une fois, un grand esprit
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à la fois en maths et en philosophie.
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Et je crois que vous verrez souvent
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que les grands philosophes
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et vice versa.
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Et il était contemporain de Galilée
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il était 32 ans plus jeune
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même s'il est mort peu après Galilée.
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Ce type est mort bien plus jeune,
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Galilée avait plus de 70 ans
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Descartes est mort à seulement 54 ans.
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Et c'est probablement pour cette citation,
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qu'il est le plus connu dans la culture populaire,
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une citation très philosophique :
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"Je pense donc je suis"
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mais je voulais aussi ajouter,
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et ce n'est pas lié tant que ça à l'algèbre,
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mais j'ai pensé que c'est une belle citation.
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Probablement sa citation la moins célèbre.
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Celle-là
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Et je l'aime parce qu'elle est très concrète
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et qu'elle vous fait réaliser que ces grands esprits
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ces piliers de la philosophie et des mathématiques
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qu'au bout du compte
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ils n'étaient que des êtres humains.
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et il a dit :
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Il faut insister continuellement
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J'ai fait toutes les erreurs qui pouvaient être faites.
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Mais j'ai encore insisté."
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Ce qui, je crois, est un très très bon conseil pour la vie.
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Il a fait beaucoup de choses
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en philosophie et mathématiques
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mais la raison pour laquelle je l'inclus ici
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alors que nous construisons les fondations de l'algèbre
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est qu'il est celui
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qui est la cause d'un lien très fort
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entre l'algèbre et la géométrie.
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Ici à gauche
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on a le monde de l'algèbre.
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Nous en avons parlé un peu.
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Vous avez des équations qui traitent de symboles
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et ces symboles sont en fait --
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ils peuvent prendre des valeurs
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et on peut avoir quelque chose comme
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y = 2x - 1
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ce qui nous donne une relation
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entre ce qu'est x et
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ce qu'est y.
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et on peut en faire une table
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et prendre des valeurs pour x
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et voir ce que les valeurs de y seraient.
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et je peux juste choisir au hasard des valeurs de x
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et calculer ce que vaut y.
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mais je vais prendre des valeurs rlativement simples
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pour que les calculs
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donc par exemple
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si x vaut -2
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alors y vaudra 2 *(-2) - 1
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2 *(-2) - 1
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qui vaut -4 - 1
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ce qui fait -5
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si x vaut -1
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alors y vaudra 2 x (-1) - 1
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qui est égal à
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-2 - 1 qui vaut -3
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si x=0
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alors y vaudra
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2 x 0 vaut 0 - 1 ce qui fait juste -1
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Je vais en faire encore 2 ou 3.
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si x vaut 1
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et j'aurais pu prendre n'importe quelle valeur ici
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J'aurais pu dire
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est l'opposé de la racine carrée de 2
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ou que se passe-t-il si x vaut -5 demis
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ou six septièmes
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mais je prends juste ces nombres
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parce qu'ils rendent les calculs beaucoup plus faciles
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quand j'essaye de trouver le résultat.
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mais quand x vaut 1
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y va valoir
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2*1 vaut 2-1 soit 1
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et j'en fait un autre
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dans une couleur que je n'ai pas encore utilisée.
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ce violet
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si x vaut 2
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alors y vaudra
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2*(2) - 1
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donc 4-1 est égal à 3
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voilà, j'ai
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choisi certains points de cette relation. Mais j'ai dit
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j'ai dit "OK, ceci décrit une relation générale
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entre une variable y et une variable x"
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et ensuite j'ai rendu ça concret.
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J'ai dit "OK, eh bien
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si x est une de ces variables,
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pour chacune de ces valeurs de x,
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quelle serait la valeur correspondante de y ?"
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et ce que Descartes a réalisé
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est qu'on pouvait visualiser ça,
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que l'on pouvait visualiser
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Mais cela peut aussi nous aider en général
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pour visualiser cette relation
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en fait, ce qu'il a fait est
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d'établir une relation entre ces mondes
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et 2) celui de la géométrie qui s'occupait
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des formes, des tailles et des angles.
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Donc de ce côté vous avez le monde de la géométrie
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et évidemment il y a des gens dans l'histoire,
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peut-être beaucoup de gens que l'histoire peut avoir oublié
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qui pourraient s'y être essayé.
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Mais avant Descartes on considérait généralement
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que la géométrie était la géométrie euclidienne.
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et c'est en fait la géométrie
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que vous avez étudié en géometrie
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en 4ème ou 3ème
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dans un collège standard.
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Et c'est la géométrie qui étudie
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les relations entre les triangles,
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et les relations entre les cercles.
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on a des rayons et puis on a
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des triangles inscrits dans des cercles et tout le reste
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et nous en étudierons certaines facettes
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dans la série sur la géométrie.
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Mais Descartes dit : "Bien, je pense que je peux représenter
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ces triangles et ces cercles."
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Il a dit : "Pourquoi pas ?"
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Si on considère un morceau de papier.
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Si on pense à un plan en deux dimensions.
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on pourrait voir un bout de papier un peu comme
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une section d'un plan à deux dimensions.
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On l'appelle "à deux dimensions" parce qu'il y a
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deux directions dans lesquelles on peut aller.
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Il y a la direction haut-bas,
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C'est une direction.
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Je vais la dessiner etje vais le faire en bleu.
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parce que nous essayons de visualiser les choses
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Donc je vais le faire avec les couleurs utilisées pour la ²géométrie.
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Donc on a la direction haut-bas
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et on a la direction gauche-droite.
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C'est pourquoi on l'appelle un plan à deux dimensions.
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Si on a affaire à trois dimensions.
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on a une dimension qui entre et qui sort.
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et c'est très facile à faire à deux dimensions
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sur l'écran car l'écran est
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et il dit : "Vous le savez bien, il y a
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deux variables ici et elles ont
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cette relation. Mais pourquoi ne pas associer
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l'une de ces dimensions ici ?"
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et par convention choisissons la variable y
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comme variable dépendante.
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Avec la façon dont on l'a fait,
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elle dépend de x.
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Mettons-la donc sur l'axe vertical,
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et mettons notre variable indépendante,
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(celle où j'ai juste pris des valeurs au hasard)
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pour voir ce que y allait devenir, mettons-la
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sur l'axe horizontal.
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et c'est en fait Descartes qui a inventé
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une convention d'utiliser autant x et y
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(et nous verrons plus tard z en algèbre)
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comme variables inconnues avec les variables
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Mais il affirme que "si on pense à ce sujet cette manière
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Si nous numérotons ces dimensions
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Disons que dans la direction x
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marquons -3
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marquons -2
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voici -1
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voici 0
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Je numérote juste la direction x
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suivant la direction gauche-droite.
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Voilà +1
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voilà +2
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et voilà +3.
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et on pourrait faire de même dans la direction y
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Voyons où on va, donc cela pourrait être
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disons que c'est -5, -4, -3
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en fait je vais le faire plus proprment.
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Je vais nettoyer ça un petit peu.
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Je vais effacer ça et étendre ça un petit peu vers le bas
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Pour descendre jusqu'à -5
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sans que ça ait l'air trop sale.
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Donc on descend jusqu'en bas
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et on numérote
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voilà 1, voilà 2,voilà 3,
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et ça pourrait être -1
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-2 et ce sont juste toutes des conventions
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On pourrait les avoir étiquetés dans l'autre sens.
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On pourrait avoir décidé de mettre le x là
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et le y là
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et que ceci soit le sens positif,
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C'est la direction négative.
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mais c'est juste une convention que les gens ont adoptée
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à partir de Descartes.
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-2, -3, -4 et -5
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et il dit "Eh bien, je peux associer n'importe quelque chose
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Je peux associer à chacune de ces paires de valeurs
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un point en deux dimensions.
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Je peux prendre la coordonnée x, je peux prendre la valeur x
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juste ici et je dis "Ok c'est -2
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qui serait juste là-bas le long
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parce qu'il est négatif."
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et puis on lui associe -5
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Si je dis que la valeur y est -5
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et donc, si je vais 2 à droite et 5 vers le bas.
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J'atteins ce point là-bas.
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ainsi il affirme que "Ces deux valeurs -2 et -5,
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Je peux associer leur associer ce point
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dans ce plan, dans ce plan en deux dimensions
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donc je vais dire "Le point a les coordonnées
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qui me disent où je peux trouver ce point. (-2, -5).
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et ces coordonnées sont appelées
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du nom de René Descartes parce qu'il est
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le gars qui les a inventé.
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Il est associe tout d'un coup ces
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relations avec des points dans un plan de coordonnées
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et puis il dit-il "Eh bien,OK, on en fait un autre."
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Il y a cet autre lien,
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lorsque x est égal à -1, y = -3
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alors x vaut -1, y vaut -3.
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C'est ce point juste là.
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et la convention est une fois de plus.
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"Lorsque vous listez les coordonnées,
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vous listez la coordonnée x, puis la coordonnée y
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et c'est ce qu'on a décidé de faire.
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-1, -3 qui serait ce point là-bas
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et puis vous avez le point quand x vaut 0, y vaut -1
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lorsque x vaut 0 par ici, ce qui signifie
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Je ne vais ni à gauche ou ni à droite.
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y vaut -1, ce qui signifie que je vais 1 vers le bas.
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C'est donc ce point juste là est (0, -1)
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juste là
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et je pourrais continuer à faire ça.
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lorsque x vaut 1, y vaut 1
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lorsque x vaut 2, y vaut 3
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en fait je vais le faire avec la même couleur violette
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lorsque x vaut 2, y vaut 3
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2,3 et ensuite celui-là en orange
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et c'est ???, j'ai en fait
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choisi des x possibles.
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mais ce qu'il a réalisé, c'est que non seulement vous choisissez
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Ces x possibles, mais si on continuait
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à choisir des x, si on essayait
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tous les x entre les deux, on finirait en fait
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par tracer une ligne.
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Donc, si on faisait chaque x possible
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on finirait par obtenir une ligne qui ressemble
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à ça... juste ici.
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et chaque relation, si on prend n'importe quel x
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et qu'on trouve le y, représente en fait un point
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sur cette ligne, ou d'une autre façon de penser,
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n'importe quel point sur cette ligne représente
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une solution a cette equation bien ici
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Donc, si vous avez ce point- ci.
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où on dirait que x vaut 1 et demi,
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y vaut 2. J'écris que
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(1.5,2).
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est une solution de cette équation.
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lorsque x vaut 1,5 , 2 x 1,5 est 3-1 soit 2.
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C'est juste là.
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Donc tout à coup, Descartes a réussi établir
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un lien entre
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Nous pouvons maintenant visualiser tous les paires de x de y
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qui satisfont cette équation-là
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et celui qui a établit ce lien
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et c'est pourquoi les coordonnées que nous utilisons
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pour désigner ces points sont appelés
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Et que quand on va voir les équations,
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nous étudierons des équations de cette forme
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et dans un programme d'enseignement traditionnel de l'algèbre,
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on les appelle équations linéaires...
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équations linéaires.
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et vous pouvez dire
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Je vais vérifier que c'est égal à ceci de son côté.
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mais pourquoi dire linéaire ?
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pourquoi ressemblent-elles à une ligne? »
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Pour comprendre pourquoi elles sont linéaires, il faut faire
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ce saut que René Descartes a fait.
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parce que si on trace ça,
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en utilisant les coordonnées cartésiennes.
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sur un plan euclidien, on obtient une ligne.
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Et dans l'avenir, on verra qu'il existe d'autres
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types d'équations où on n'obtiendra pas une ligne.
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On obtient une courbe, ou quelque chose de fou
