-
Това тук е снимка на
-
Още един от най-великите умове
-
в математиката и философията.
-
Мисля, че ще видите тенденцията
-
великите философи
-
и обратно.
-
Той е бил нещо като съвременник на Галилей
-
Бил е с 32 години по-млад.
-
Въпреки че е починал скоро след Галилей.
-
Починал е доста млад,
-
за сравнение Галилей е бил над 70 годишен,
-
Декарт умира само на 54 години.
-
И той вероятно е най-известен
-
с този цитат тук.
-
Много философско изказване.
-
"Мисля, следователно съществувам."
-
Също така исках да вметна,
-
тъй като няма общо с алгебрата,
-
но според мен е наистина добра мисъл.
-
Вероятно най-неизвестната му фраза.
-
Тази тук.
-
Харесвам я, защото е много практична
-
и те кара да осъзнаеш, че тези велики умове,
-
тези стълбове на философията и математиката
-
в крайна сметка
-
са били просто хора.
-
А той е казал
-
Продължавай да се бориш.
-
Направих всяка грешка, която може да се направи,
-
но продължих да се боря"
-
Което мисля, че е много, много добър житейски съвет.
-
Та той е направил много
-
за философията и математиката
-
но причината да го включим тук
-
докато изучаваме основите на алгебрата
-
е, че този човек има
-
най-много заслуги за силната връзка
-
между алгебра и геометрия.
-
Тук в ляво
-
имаме света на алгебрата.
-
Това сме го говорили вече.
-
Имаме уравнения, съставени от символи
-
и тези символи всъщност
-
могат да приемат стойности
-
така можем да съставим уравнение
-
у = 2х -1
-
Това ни дава връзка
-
между стойността на х
-
и стойността на у.
-
И дори можем да направим таблица
-
и да избираме стойности за х
-
за да видим какви може да са стойностите за у.
-
Можем да си изберем случайна стойност за х
-
и тогава да открием колко ще е у.
-
но нека избираме сравнително лесни стойности
-
за да не бъде
-
Например
-
ако х е -2
-
тогава у ще е 2(-2) -1
-
2(-2) -1
-
което е -4 -1
-
което е -5
-
ако х е -1
-
тогава у ще бъде 2(-1) -1
-
което е равно на
-
-2 -1 = -3
-
ако х= 0
-
тогава у ще бъде
-
2(0) е 0 -1, което е -1
-
Нека сметнем още няколко.
-
Ако х е 1
-
Можем да изберем всяка една стойност
-
Можех, например, да кажа
-
х е отрицатлната стойност на корен квадратен от 2
-
или х е -5/2
-
или 6/7.
-
Просто избирам прости числа
-
защото така пресмятането е много по-лесно
-
и мога веднага да разбера колко ще бъде у.
-
Когато х е 1
-
у ще бъде
-
2 по 1 е 2 и -1 става 1
-
Нека направим още едно пресмятане.
-
В цвят, който все още не сме използвали.
-
Например лилаво.
-
ако х е 2
-
тогава у ще бъде
-
2(2) -1, защото сега х=2
-
това прави 4 -1 = 3
-
Дотук добре,
-
просто показахме примери за тази връзка.
-
В началото казахме, че уравнението показва връзка
-
между променлива у и променлива х.
-
След това направихме конкретна връзка.
-
Нека
-
х е една от тези променливи.
-
За всяка от тези стойности на х,
-
каква ще е отговарящата стойност на у?
-
Това, което Декарт осъзнава е,
-
че връзката може да се визуализира.
-
Можем да изобразим
-
Това може да ни помогне
-
да изобразим връзката.
-
Така, това, което Декарт всъщност е направил е
-
да свърже двата свята.
-
с този на Геометрията, занимаваща се
-
с форми, размери и ъгли.
-
Ето това тук е светът на Геометрията
-
и очевидно има хора в историята,
-
много от тях може би са забравени,
-
които са тръгнали в тази посока.
-
Но преди Декарт се е считало,
-
че Геометрията е Евклидовата Геометрия.
-
Това е Геометрията,
-
която се изучава в училище,
-
в 8-ми, 9-ти или 10-ти клас.
-
в стандартните уроци по математика.
-
Тази Геометрия изучава
-
връзката между триъгълниците
-
Връзката между окръжности
-
с техните радиуси и
-
триъгълници, вписани в окръжност и всичко останало.
-
ТОва е основата, която се надгражда
-
при изучаването на този тип Геометрия.
-
Но Декарт казва, "Аз мисля, че моге да представя
-
триъгълниците и окръжностите"
-
Казва си "Защо не?"
-
Ако имаме лист хартия
-
и си представим двуизмерна равнина,
-
можем да кажем, че този лист хартия е
-
част от тази двуизмерна равнина.
-
Наричаме я двуизмерна, защото има
-
две посоки, в които можем да тръгнем.
-
Имаме вертикална посока,
-
това е едната.
-
Нека я изобразим в синьо,
-
защото се опитваме да визуализираме нещата,
-
затова ще го направим в цвета на Геометрията.
-
Ето това е вертикалната посока,
-
а това е хоризонталната посока.
-
Затова се нарича двуизмерна равнина.
-
Ако имахме триизмерно пространство
-
трябваше да нарисуваме и напречна посока (от нас към екрана и обратно)
-
Лесно се работи в двуизмерна равнина
-
на екрана, защото той е
-
Декарт казва "Имаме
-
две променливи и те имат
-
връзка помежду си. Защо да не представим
-
една от тези посоки?"
-
Нека представим променливата у,
-
която всъщност е зависимата променлива
-
според нашето увравнение,
-
защото зависи от стойностите на х.
-
Нека поставим стойностите по вертикалната ос.
-
И нека поставим стойностите на независимата променлива,
-
тази, която избирахме произволно в примерите
-
за да намерим стойността на у. Нека тя да бъде
-
на хоризонталната ос.
-
Всъщност Декарт е измислил това представяне
-
на х и у по двете оси.
-
По-късно ще видим и z в Алгебрата,
-
като неизвестна променлива, която зависи от променливите,
-
Декарт обяснява "Ако помислим по следния начин
-
и номерираме тези посоки"
-
Да кажем, че в хоризонтална посока,
-
нека това да бъде -3
-
това нека е -2
-
това е -1
-
това е 0
-
Просто номерираме хоризонталната посока
-
отляво надясно.
-
Това тук е 1
-
това е 2,
-
а това е 3.
-
Можем да направим същото с вертикалната посока
-
нека видим как ще изглежда
-
това са -5, -4, -3.
-
Всъщност нека го направим малко по-прегледно.
-
Нека изчистим тези числа.
-
Нека изтрием стрелката и да удължим линията надолу.
-
така, че да можем да изпишем до -5
-
без да изглежда претрупано.
-
Нека направим оста до тук.
-
И вече можем да поставим числата.
-
Това е 1, това е 2, това е 3,
-
А тук може да бъде -1
-
-2 и това са произволно избрани посоки.
-
Можеше да завъртим осите обратно.
-
Можем да сложим стойностите на х тук
-
а тези на у тук.
-
Това може да бъде положителната посока,
-
а това отрицателната посока.
-
Но тази подредба е възприета като стандарт,
-
въведен от Декарт.
-
-2, -3, -4 и -5.
-
И така Декарт казва "По този начин мога да асоциирам всичко"
-
Можем да свържем всяка от тези двойки числа с
-
точка в двуизмерното пространство.
-
Можем да вземем стойността на х
-
от тук и да решим, че при стойност -2
-
това трябва да бъде
-
защото стойността е отрицателна.
-
На тази стойност отговаря -5
-
Ето тук стойността на у е -5.
-
И така 2 наляво и 5 надолу.
-
Стигаме до тази точка.
-
По този начин стойностите -2 и -5
-
асоциираме с тази точка
-
в двуизмерната равнина
-
Това ознчава, че тази точка има координати,
-
които ни показват къде да я открием. (-2,-5).
-
Тези координати се наричат
-
на името на Рене Декарт, защото той
-
е създал тези координати.
-
Той пръв започва да асоциира връзките
-
между две променливи с точки на координатната равнина.
-
Нека асоциираме и другите стойности.
-
Имаме следваща връзка,
-
при х = -1, у = -3,
-
значи х е -1, а у е -3.
-
Това е тази точка.
-
По принцип
-
при изписване на координати,
-
първо се поставя координатата за х, а после тази за у.
-
Това се е наложило като стандарт.
-
(-1, -3) е тази точка тук.
-
Следващата точка е при х=0, а у=-1
-
когато х е 0, това означава,
-
че няма да се местя наляво или надясно.
-
у е -1, което означава 1 надолу.
-
Така получаваме тази точка. (0,-1)
-
Точно тук.
-
Така можем да продължим с другите точки.
-
при х=1, у=1
-
при х=2, у=3
-
Нека направим тази точка със същия лилав цвят
-
при х=2, у=3
-
(2,3), а тази тук с оранжево
-
По този начин изглежда достатъчно добре,
-
просто поставихме точките, които отговарят на х.
-
Това, което е осъзнал Декарт е, че ако поставим
-
не само тези точки за х,
-
а продължим да избираме различни стойности на х
-
и поставим всички точки за стойностите на х между тези, всъщност
-
ще изрисуваме линия.
-
Така, ако намерим точки за всяка възможна стойност на х
-
в крайна сметка ще имаме линия, която иглежда
-
по този начин... ето така.
-
и всяка възможна връзка, за която и да е стойност на х
-
стойността на у ще е такава, че точката ще бъде
-
на тази линия, или казано по друг начин
-
всяка точка от тази линия представлява решение
-
Така, ако вземем тази точка,
-
за която изглежда, че х=1.5,
-
а у=2. Нека изпишем това
-
(1.5,2)
-
Това е решение на уравнението.
-
При х=1.5, 2(1.5)=3 -1=2.
-
Това е тази точка.
-
Така изведнъж Декарт успява да опише
-
взаимоотношението между
-
Вече можем да изобразим всички двойки на х и у,
-
които удовлетворяват това уравнение.
-
Така той прави връзката
-
и затова координатите, които използваме
-
за да опишем тези точки се наричат
-
и както ще видим, първият тип уравнения,
-
които ще изучаваме са уравнения от този тип
-
и в традиционните уроци по алгебра
-
те се наричат линейни уравнения
-
Линейни уравнения.
-
И така може би ще кажете:
-
виждам, че това е равно на това,
-
но какво му е линейното?
-
Кое ги кара да изглеждат като линия?
-
За да разберем, че теи уравнения са линейни, трябва да направим
-
връзката, която е направи Рене Декарт.
-
Защото, ако изчертаем уравнението,
-
като използваме Декартови координати
-
на Евклидова равнина, ще получим линия.
-
По-напред ще видите, че има други
-
типове уравнения, които не описват линия.
-
Те описват крива или нещо странно
-
Not Synced
"Добре, това е уравнение,
-
Not Synced
'Декартови координати'
-
Not Synced
'Декартови координати'
-
Not Synced
2(0) -1
-
Not Synced
2(1) -1
-
Not Synced
Алгебра и Геометрия.
-
Not Synced
Алгебрата по същя начин както Евклид е изучавал
-
Not Synced
Продължавай да се бориш.
-
Not Synced
Рене Декарт
-
Not Synced
Този на прекалено абстрактната Алгебра
-
Not Synced
всяка от променливите в
-
Not Synced
да са велики математици
-
Not Synced
двуизмерен.
-
Not Synced
е (1,1)
-
Not Synced
и техните ъгли.
-
Not Synced
или шантаво.
-
Not Synced
какво ще получим, ако
-
Not Synced
които променяме.
-
Not Synced
на това уравнение.
-
Not Synced
отделни точки.
-
Not Synced
по вертикалната ос.
-
Not Synced
по хоризонталната ос и ще е наляво,
-
Not Synced
сложно за пресмятане.
