Return to Video

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (Introduction to definite integrals)

  • 0:00 - 0:02
    กลับมาพบกันอีกครั้งนะครับ
  • 0:02 - 0:04
    ในวีดีโอนำเสนอนี้ ผมอยากจะแสดงวิธีการ
  • 0:04 - 0:07
    ที่คุณจะใช้ ปฏิยานุพันธ์ หรือ antiderivative ในการหา
  • 0:07 - 0:08
    พื้นที่ใต้กราฟ
  • 0:08 - 0:10
    โดยที่ ผมจะเน้นมากๆ
  • 0:10 - 0:11
    ในเรื่องการรู้เท่าถึงการ หรือปฏิภาณ หรือ intuition
  • 0:11 - 0:13
    มาเริ่มกันด้วย ตัวอย่างจากฟิสิกส์
  • 0:13 - 0:16
    ผมใช้ ระยะทาง และ ความเร็ว
  • 0:16 - 0:18
    และนี่ก็จะช่วยทบทวนเรื่อง อนุพันธ์ หรือ derivatives ด้วย
  • 0:18 - 0:20
    หรือเป็นการประยุกต์ใช้ของอนุพันธ์นั่นเอง
  • 0:20 - 0:23
    เริ่มจากที่ผมจะอธิบายเกี่ยวกับ ตำแหน่ง
  • 0:23 - 0:24
    ของบางสิ่งที่กำลังเคลื่อนที่
  • 0:24 - 0:26
    โดยกำหนดให้เป็น s
  • 0:26 - 0:36
    และกำหนดให้ s เท่ากับ เท่าไรดี? ให้เท่ากับ 16tยกกำลัง2
  • 0:36 - 0:36
    นะครับ
  • 0:36 - 0:37
    ดังนั้น s คือ ระยะทาง
  • 0:37 - 0:38
    ผมจะเขียนไว้ที่มุมนี้
  • 0:38 - 0:41
    ผมไม่แน่ใจว่าทำไมโดยทั่วไปถึงนิยมใช้ s แทน
  • 0:41 - 0:42
    ตัวแปรสำหรับระยะทาง
  • 0:42 - 0:45
    บางคนคงคิดว่าทำไม่ไม่ใช้ d แทนระยะทาง ผู้รู้ว่าทำไมใช้ d
  • 0:45 - 0:49
    เพราะว่าตัวอักษร d นั้นใช้แทน อนุพันธ์ หรือ differential แล้ว ผมคิดว่าอย่างนั้นนะ
  • 0:49 - 0:56
    ดังนั้น s จึงเท่ากับระยะทาง และ t เท่ากับเวลา
  • 0:56 - 0:59
    ..
  • 0:59 - 1:03
    ดังนั้น นี่คือสูตรที่บอกตำแหน่งแก่เรา
  • 1:03 - 1:06
    ว่าบางสิ่งจะห่างออกไปเท่าไร หลังจากค่า x ...
  • 1:06 - 1:07
    หลังจาก x วินาที ใช่ไหม?
  • 1:07 - 1:11
    ดังนัี้น หลังจาก 4 วินาที เราก็ไปแล้ว ถ้าเช่นนั้น
  • 1:11 - 1:13
    ให้ระยะทางมีหน่วยเป็น ฟุต และนี่เป็นหน่วย วินาที
  • 1:13 - 1:16
    หลังจาก 4 วินาที เราไปได้ 256 ฟุต
  • 1:16 - 1:17
    ในสูตรบอกไว้เท่านั้น
  • 1:17 - 1:21
    ผมจะวาดเส้นกราฟด้วย
  • 1:21 - 1:23
    วาดกราฟแล้ว
  • 1:23 - 1:29
    ลายเส้นนี้ห่วยเชียว
  • 1:29 - 1:30
    ต้องใช้เครื่องมือวาดเส้นช่วยครับ อาจจะดีขึ้น
  • 1:30 - 1:33
    ..
  • 1:33 - 1:36
    ดีขึ้นนิดหน่อยนะครับ
  • 1:36 - 1:38
    ขอผมลบแก้ก่อนครับ เพราะผมอยากให้
  • 1:38 - 1:40
    เวลา t เป็นบวก นะครับ
  • 1:40 - 1:42
    เพราะคุณไม่สามารถย้อนเวลากลับไปได้
  • 1:42 - 1:45
    เพราะตามบทเรียนนี้ ย้อนเวลาไม่ได้
  • 1:45 - 1:48
    กลับไปในอดีตไม่ได้ครับ
  • 1:48 - 1:52
    อย่างนี้ใช้ได้แล้วครับ
  • 1:52 - 1:56
    ดังนั้นเส้นโค้งนี้ จะเป็นพาราโบลา ใช่ไหม?
  • 1:56 - 1:57
    ก็จะได้หน้าตาออกมาเป็นอย่างนี้
  • 1:57 - 2:02
    .
  • 2:02 - 2:03
    ดังนั้น ถ้าคุณมองดูที่เส้น
  • 2:03 - 2:04
    ผมหมายถึงมองตามเส้นที่ลาก
  • 2:04 - 2:07
    วัตถุที่เคลื่อนที่ได้ทุกๆวินาที จะค่อยๆ
  • 2:07 - 2:07
    เคลื่อนที่ห่างออกไปมากขึ้นๆ ใช่ไหมครับ
  • 2:07 - 2:09
    สรุปคือ มันมีการเร่งเกิดขึ้น
  • 2:09 - 2:12
    แล้วถ้าเราต้องการหาว่าความเร็ว
  • 2:12 - 2:14
    ของวัตถุนี้เป็นเท่าไร
  • 2:14 - 2:19
    มาดูกันว่า นี่คือ d นะครับ และ นี่คือ t นะครับ
  • 2:19 - 2:21
    และนี่ ... ผมไม่แน่ใจว่ามันชัดเจนไหม แต่นี่คือ...
  • 2:21 - 2:23
    ครึ่งหนึ่งของพาราโบลา
  • 2:23 - 2:25
    ดังนั้นนี่คือฟังก์ชันของระยะทาง
  • 2:25 - 2:26
    แล้วความเร็วจะเป็นเท่าไร
  • 2:26 - 2:29
    อืม.. ความเร็ว ก็คือ ความเร็วคืออะไรครับ
  • 2:29 - 2:32
    ความเร็ว คือ ระยะทางหารด้วยเวลา ใช่ไหม?
  • 2:32 - 2:33
    และเมื่อความเร็วนั้นเปลี่ยนไปเรื่อยๆ ตลอดเวลา
  • 2:33 - 2:36
    ที่เราต้องการหา คือ ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
  • 2:36 - 2:39
    และการหาความเร็วนั้น นับเป็นหนึ่งในการเริ่มนำ
  • 2:39 - 2:40
    อนุพันธ์ หรือ derivatives มาใช้ และทำให้อนุัพันธ์มีประโยชน์มาก
  • 2:40 - 2:43
    ดังนั้นเราต้องการหาการเปลี่ยนแปลง
  • 2:43 - 2:45
    การเปลี่ยนแปลง ณ ขณะใดขณะหนึ่งต่อเวลา ของสูตรนี้นะครับ
  • 2:45 - 2:47
    เนื่องจาก สูตรนี้เป็นสูตรของระยะทาง
  • 2:47 - 2:50
    ดังนั้นเมื่อเรารู้อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ณ ขณะใดขณะหนึ่งต่อเวลา
  • 2:50 - 2:53
    รู้อัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อเวลา เราก็จะรู้ความเร็ว
  • 2:53 - 3:02
    ดังนั้น ds, dt, จะเท่ากับ?
  • 3:02 - 3:04
    ดังนั้น อนุพันธ์ในที่นี่ คือ?
  • 3:04 - 3:09
    คือ 32t ใช่ไหมครับ
  • 3:09 - 3:10
    และนี่คือความเร็ว
  • 3:10 - 3:14
    .
  • 3:14 - 3:17
    บางที ผมน่าจะย้อนกลับ ขอผมเขียนใหม่นะครับ
  • 3:17 - 3:20
    ให้ v เท่ากับ ความเร็ว
  • 3:20 - 3:22
    ผมไม่รู้ทำไมผมเปลี่ยนสีปากกา
  • 3:22 - 3:23
    แต่ผมจะใช้ปากกาสีเหลืองนะครับ
  • 3:23 - 3:25
    งั้นเรามาเขียนกราฟของฟังก์ชันนี้
  • 3:25 - 3:29
    จะเป็นการวาดกราฟที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา
  • 3:29 - 3:34
    .
  • 3:34 - 3:35
    ค่อนข้างเป็นเส้นตรง
  • 3:35 - 3:37
    แล้วเราลากเส้นแนวแกน x
  • 3:37 - 3:42
    .
  • 3:42 - 3:43
    ผมวาดได้ไม่เลวเลย
  • 3:43 - 3:44
    โอเค
  • 3:44 - 3:48
    .
  • 3:48 - 3:56
    ได้แล้วครับ ผมจะวาดด้วยปากกาสีแดง
  • 3:56 - 3:57
    และนี่จะเป็นเส้นตรง ใช่ไหมครับ
  • 3:57 - 3:59
    32t คือ เส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 32
  • 3:59 - 4:01
    ดังนั้นมันจะเป็นเ้ส้นตรงที่ชันมาก
  • 4:01 - 4:03
    แต่ผมจะไม่วาดให้ชันมาก เพราะผมจะต้องใช้
  • 4:03 - 4:06
    ภาพกราฟนี้ในการแสดงตัวอย่างอธิบาย
  • 4:06 - 4:07
    ดังนั้น นี่คือ ความเร็ว
  • 4:07 - 4:10
    .
  • 4:10 - 4:12
    นี่คือ ความเร็ว
  • 4:12 - 4:17
    นี่้คือกราฟของความเร็ว และนี่คือกราฟของระยะทาง
  • 4:17 - 4:20
    ถ้าเผื่อคุณยังไม่เคยเรียนมาก่อน และผมอาจจะ
  • 4:20 - 4:22
    นำเสนอภาพรวมในการใช้แคลคูลัสสำหรับฟิสิกส์
  • 4:22 - 4:24
    และการใช้อนุพันธ์ สำหรับฟิสิกส์
  • 4:24 - 4:27
    แต่ถ้าคุณมีสูตรของระยะทางแล้ว
  • 4:27 - 4:29
    อนุพันธ์ของสูตรนั้นก็คือความเร็วครับ
  • 4:29 - 4:31
    และผมเดาว่า ถ้าคุณดูในอีกมุมมองหนึ่ง
  • 4:31 - 4:34
    คุณก็จะพบว่า ความเร็ว เป็น ปฏิยานุพันธ์ของระยะทาง นั่นเอง
  • 4:34 - 4:38
    ถึงแม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่าคือที่ไหน หรือที่ตำแหน่งไหน
  • 4:38 - 4:39
    ที่วัตถุเริ่มต้น
  • 4:39 - 4:42
    ในกรณีนี้ วัตถุเริ่มต้นที่ ศูนย์
  • 4:42 - 4:44
    แต่มันอาจจะเริ่มที่จุดไหนๆ ที่ค่าคงที่ใดๆ ก็ได้ ใช่ไหม?
  • 4:44 - 4:46
    คุณอาจให้เริ่มที่นี่ และโค้งขึ้น
  • 4:46 - 4:48
    แต่อย่างไรก็ตาม เราจะสมมุติว่าเราเริ่มต้นที่จุดศูนย์
  • 4:48 - 4:51
    ดังนั้น อนุพันธ์ของระยะทาง คือ ความเร็ว
  • 4:51 - 4:52
    และ ปฏิยานุพันธ์ของความเร็ว คือ ระยะทาง
  • 4:52 - 4:54
    จำไว้นะครับ
  • 4:54 - 4:56
    มาดูกันต่อครับ
  • 4:56 - 5:04
    สมมุติว่าเราได้กราฟนี้มา
  • 5:04 - 5:06
    และกำหนดให้กราฟนี้เป็น
  • 5:06 - 5:09
    กราฟความเร็วของวัตถุบางอย่าง
  • 5:09 - 5:12
    และเราต้องการหาว่าระยะทางเป็นเท่าไร
  • 5:12 - 5:13
    เมื่อคุณรู้เวลา t วินาที นะครับ
  • 5:13 - 5:17
    ดังนั้น นี่คือแกนของเวลา t และนี่คือแกนของความเร็ว
  • 5:17 - 5:19
    ถ้าเราได้รับโจทย์มาเท่านี้
  • 5:19 - 5:23
    และเราไม่รู้ว่า ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันของความเร็ว
  • 5:23 - 5:23
    คือฟังก์ชันของระยะทาง
  • 5:23 - 5:27
    เราจะหาระยะทางได้อย่างไร
  • 5:27 - 5:29
    เราจะหาระยะทางที่เวลาที่ให้มาอย่างไร
  • 5:29 - 5:32
    ลองคิดดูครับ
  • 5:32 - 5:34
    ถ้าเรามีค่าคงที่ .. สีแดงเนี่ยออกจะเหมือนเลือด..
  • 5:34 - 5:37
    ขอผมเปลี่ยนสีปากกาเป็นสีอื่นที่น่ารื่นรมย์หน่อยนะครับ
  • 5:37 - 5:40
    ถ้าเรามี.. ในช่วงเวลาสั้นๆ
  • 5:40 - 5:44
    หรือถ้าเรามีความเร็วคงที่
  • 5:44 - 5:47
    เมื่อความเร็วคงที่ ระยะทางจะเท่ากับ ความเร็วxเวลา
  • 5:47 - 5:50
    ถ้าเช่นนั้น กำหนดให้ว่าเรามีเวลาสั้นมาก
  • 5:50 - 5:52
    เป็นส่วนเสี้ยวของเวลา นะครับ
  • 5:52 - 5:54
    ผมจะเขียนรูปใหญ่ๆ แต่มันคือเสี้ยวเวลา
  • 5:54 - 5:56
    เวลามันสั้นมากๆ
  • 5:56 - 5:59
    เราจะเรียก เสี้ยวเวลาสั้นมากๆ นี้ว่า
  • 5:59 - 6:02
    เดลตา t หรือ dt
  • 6:02 - 6:05
    ในกรณีนี้ เราใช้ dt ก็เหมือนแทนการเปลี่ยนแปลงของเวลา
  • 6:05 - 6:07
    เวลาที่สั้นมากๆ
  • 6:07 - 6:09
    ดังนั้น จึงเหมือนกับขณะใดขณะหนึ่ง แต่ก็ไม่ใช่นะครับ
  • 6:09 - 6:11
    หรือคุณจะมองว่าเป็นขณะใดขณะหนึ่ง หรือ ทันทีทันใดก็ได้
  • 6:11 - 6:14
    ดังนี้น นี่คือปริมาณเวลาที่ผ่านไป
  • 6:14 - 6:16
    คุณอาจจะมองว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงเวลาที่สั้นมากๆ
  • 6:16 - 6:20
    ดังนั้น ถ้าเรามีการเปลี่ยนแปลงเวลาที่สั้นมากๆ
  • 6:20 - 6:23
    และเรามีความเร็วคงที่ ที่เป็นค่าหยาบๆ
  • 6:23 - 6:26
    กำหนดให้ ความเร็วคงที่หยาบๆ คือส่วนนี้
  • 6:26 - 6:31
    .
  • 6:31 - 6:35
    ใช่แล้วครับ นี่คือ ความเร็ว ต่อการเปลี่ยนแปลงของเวลาสั้นมากๆ
  • 6:35 - 6:37
    กำหนดว่าในการเปลี่ยนแปลงของเวลาสั้น เราได้ความเร็วคงที่หยาบๆ
  • 6:37 - 6:38
    อยู่บนกราฟนี้
  • 6:38 - 6:42
    ขอผมเขียนตรงนี้
  • 6:42 - 6:43
    เรามีความเร็วคงที่หยาบๆ
  • 6:43 - 6:48
    ดังนั้นระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ในเวลาสั้นๆ
  • 6:48 - 6:51
    จะเป็นเวลาสั้นๆ x ความเร็ว ใช่ไหมครับ?
  • 6:51 - 6:54
    ก็คือค่าอะไรก็ตามที่อยู่บนเส้นสีแดงนี้
  • 6:54 - 6:57
    คูณกับความกว้างของระยะทางนี้
  • 6:57 - 6:59
    แล้วมีวิธีอื่นอีกไหม?
  • 6:59 - 7:02
    ตามที่เห็น ผมอาจจะทำเร็วไปหน่อย แต่
  • 7:02 - 7:03
    สิ่งที่เกิดขึ้นที่นี่ คือ
  • 7:03 - 7:08
    ถ้าผมเอาการเปลี่ยนแปลงของเวลานี้
  • 7:08 - 7:13
    ที่ขึ้นกับแท่งสี่เหลี่ยมรูปนี้ และคูณกับความเร็ว
  • 7:13 - 7:16
    ซึ่งก็คือ ความสูงของแท่งสี่เหลี่ยมนี้
  • 7:16 - 7:17
    ผมจะหาค่าอะไรได้บ้างครับ
  • 7:17 - 7:21
    ผมจะหาพื้นที่ของแท่งสี่เหลี่ยมนี้ได้
  • 7:21 - 7:23
    ใช่ครับ ความเร็วขณะนี้ คูณกับการเปลี่ยนแปลงของเวลาขณะนี้
  • 7:23 - 7:26
    ความเร็วขณะนี้ x การเปลี่ยนแปลงของเวลาขณะนี้ ก็คือพื้นที่
  • 7:26 - 7:28
    คือ พื้นที่ของรูปแท่งสี่เหลี่ยมนี้
  • 7:28 - 7:29
    แท่งสี่เหลี่ยมนี้ ผอม และสูง
  • 7:29 - 7:33
    มันผอมมากๆ แต่เราจะสมมุติว่า
  • 7:33 - 7:37
    มันยังมีค่าปริมาณความกว้างในเชิงทฤษฏี
  • 7:37 - 7:40
    ดังนั้นเราจะหาพื้นที่ของแท่งสี่เหลี่ยมนี้
  • 7:40 - 7:45
    ดังนั้นถ้าเราต้องการหาระยะทาง
  • 7:45 - 7:51
    ระยะทางหลังจากที่เราเคลื่อนที่ไป
  • 7:51 - 7:54
    เป็นเวลา t โดยเรากำหนดให้เป็น t0
  • 7:54 - 7:56
    ซึ่งก็เหมือนกับ t ปกติทั่วไป
  • 7:56 - 7:58
    หลังจากเวลา t0 วินาที
  • 7:58 - 8:01
    เราควรต้องทำ ต้องหาค่า
  • 8:01 - 8:04
    เราต้องทำการหาอนุพันธ์ dt มากมาย
  • 8:04 - 8:09
    เมื่อคุณหาอนุพันธ์อีก คุณก็จะได้พื้นที่ของแท่งสี่เหลี่ยมนี้
  • 8:09 - 8:13
    คุณก็จะหาพื้นที่ของแท่งสี่เหลี่ยมนี้ได้อีก
  • 8:13 - 8:15
    และหาพื้นที่ของแท่งสี่เหลี่ยมนี้ก็ได้อีก
  • 8:15 - 8:19
    เพราะพื้นที่แต่ละอันของแท่งสี่เหลี่ยมหลายๆอันนี้
  • 8:19 - 8:22
    แทนระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่
  • 8:22 - 8:25
    เทียบกับเวลา dt ได้
  • 8:25 - 8:29
    ดังนั้นถ้าคุณต้องการรู้ว่าคุณเคลื่อนที่ไปไกลเท่าไร หลังเวลา t0 วินาที
  • 8:29 - 8:33
    คุณก็จะได้ โดยประมาณว่า
  • 8:33 - 8:36
    ระยะทางที่คุณเคลื่อนที่ไป คือ ผลรวมของพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด
  • 8:36 - 8:40
    และเมื่อคุณทำให้ dt มีขนาดเล็กลงอีก
  • 8:40 - 8:41
    เล็กลง ผอมลง ผอมลง ผอมลงอีก
  • 8:41 - 8:44
    คุณก็จะได้รูปสี่เหลี่ยมแบบนี้มากขึ้น มากขึ้นอีก
  • 8:44 - 8:48
    แล้วผลการประมาณของคุณก็จะ
  • 8:48 - 8:51
    เข้าใกล้้กับสองสิ่ง คือ
  • 8:51 - 8:53
    ค่าที่ได้ก็จะเข้าใกล้กับพื้นที่
  • 8:53 - 8:56
    ปริมาณพื้นที่ใต้กราฟ หรือในกรณีนี้คือใต้เส้น
  • 8:56 - 9:02
    แล้วยังได้ค่าเข้าใกล้ค่าจริงของระยะทางที่คุณเคลื่อนที่ได้
  • 9:02 - 9:07
    หลังจากเวลาผ่านไป t0 วินาที
  • 9:07 - 9:12
    ผมคิดว่าคงครบเวลา 10 นาทีแล้ว
  • 9:12 - 9:16
    ดังนี้น ผมจะขอหยุดตรงนี้ และจะมาอธิบายต่อ
  • 9:16 - 9:17
    ในวีดิโอนำเสนอครั้งหน้าครับ
Title:
ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (Introduction to definite integrals)
Description:

การใช้ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตในการแก้โจทย์สำหรับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง และรู้เท่าถึงการว่าทำไมปฏิยานุพันธ์ จึงเป็นสิ่งเดียวกับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:18
nininae005 added a translation

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.