-
Velkommen tilbake.
-
I denne videoen vil jeg vise deg hvordan
-
man kan bruke den antideriverte funksjonen til å finne ut
-
arealet under en kurve.
-
Jeg skal fokusere litt mer
-
på intuisjon nå.
-
Så la oss bruke et eksempel fra fysikken.
-
Jeg bruker strekning og fart.
-
Og dette burde være en god repetisjon av derivasjon,
-
eller faktisk talt en benyttelse av derivasjon.
-
Så la oss si at jeg beskrev posisjonen
-
av noe som beveget seg.
-
La oss si det er "s".
-
La oss si at "s" er lik 16t i annen.
-
Sant?
-
Så "s" er strekningen.
-
La meg skrive det i hjørnet.
-
Jeg vet ikke hvorfor det er vanlig å bruke "s" som
-
variabelen for strekning.
-
Man skulle trodd- eller faktisk, hvorfor bruker de ikke "d"?
-
Jeg tipper det er fordi "d" er bokstaven de bruker for differensial.
-
Så "s" er lik strekningen, og "t" er lik tid.
-
Så dette er bare en formel som sier noe om posisjonen, på en måte
-
hvor langt noe har beveget seg, etter x antall
-
sekunder. OK?
-
Så etter, si, 4 sekunder ville vi ha beveget oss, la oss si
-
strekningen er i feet, dette er i sekunder.
-
Etter 4 sekunder ville vi ha beveget oss 256 feet.
-
Det er alt det forteller.
-
Og la meg fremstille det grafisk også.
-
Fremstill det grafisk.
-
Det der er en forferdelig linje.
-
Viss jeg bruker linjeverktøyet er jeg kanskje heldigere.
-
Det var litt bedre.
-
Forresten, la meg gjøre det også på ny, fordi jeg vil bare ha
-
den for positiv t, sant?
-
Fordi en kan ikke akkurat gå tilbake i tid.
-
For dette foredragets hensikter kan man ikke
-
gå bakover i tid.
-
Så det må holde.
-
Så denne grafen blir en parabel, sant?
-
Den vil se omtrent slik ut.
-
Så faktisk, viss du ser på den-
-
bare stirr på den.
-
Objektet, for hvert sekund du beveger deg så beveger den seg litt
-
lengre, sant?
-
Så den akselererer faktisk.
-
Så hva viss vi vil finne ut hva farten
-
til dette objektet er?
-
Dette er "d" og dette er "t", sant?
-
Og dette er, jeg vet ikke om det er tydelig, men dette er
-
på en måte en halv parabel.
-
Så dette er strekningsfunksjonen.
-
Hva vil farten være?
-
Vel, farter er bare, hva er fart?
-
Det er strekning over tid, sant?
-
Og siden denne farten alltid forandrer seg, vil
-
vi finne ut den øyeblikkelige farten.
-
Og det er faktisk en av hovedfunksjonene til derivasjon, og det var det
-
som gjorde derivasjon så nyttig.
-
Så vi ønsker å finne endringen, den øyeblikkelige endringen,
-
i forhold til tid i denne formelen, sant?
-
Fordi dette er strekningsformelen.
-
Så viss vi vet den øyeblikkelige endrede hastighetsgraden av strekning
-
i forhold til tid, så vet vi farten, sant?
-
Så "ds", "dt" er lik?
-
Så hva er den deriverte her?
-
Den er 32t, sant?
-
Og dette er farten.
-
Kanskje jeg skulle bytte tilbake til, la meg skrive det,
-
"v" er lik fart.
-
Jeg vet ikke hvorfor jeg forandret farge, men jeg fortsetter
-
med den gule.
-
Så la oss fremstille denne funksjonen grafisk.
-
Denne grafen kommer faktisk til å bli ganske enkel.
-
Den er ganske bein!
-
Også tegner vi x-aksen.
-
Dette går ganske bra.
-
OK.
-
Så denne, jeg farger den rød, denne blir en
-
linje, sant?
-
32t er en linje med gradient 32.
-
Så det er faktisk en ganske bratt graf.
-
Jeg tegner den ikke så bratt, fordi jeg bruker dette
-
som en illustrasjon.
-
Så dette er farten.
-
Dette er farten.
-
Dette er grafen, og dette er strekningen, sant?
-
Så i tillfelle du ikke allerede har lært det, så kan jeg kanskje lage en
-
hel video om hvordan bruke kalkulus i fysikk og
-
hvordan bruke derivasjon i fysikk.
-
Men viss du har strekningsformelen, den deriverte
-
er bare farten.
-
Og jeg antar at viss du ser på det på en annen måte, viss du
-
har farten, den antideriverte er strekningen.
-
Selv om du ikke kan vite hvor
-
objektet startet.
-
I dette tilfellet, objektet startet på punktet 0,
-
men det kunne vært på en hvilken som helst konstant, sant?
-
Du kunne ha startet her og så bøye av oppover.
-
Men uansett, la oss bare anta at vi startet på 0.
-
Så den deriverte for strekningen er farten, den antideriverte
-
for farten er strekningen.
-
Ha det in mente.
-
La oss se på dette.
-
La oss anta at vi bare fikk oppgitt denne grafen.
-
Og vi sa at dette var grafen for
-
farten til et eller annet objekt.
-
Og vi ønsker å finne ut hva strekningen er etter
-
t sekunder, sant?
-
Så dette er t-aksen, og dette er fartaksen, sant?
-
Så la oss si at vi kun fikk oppgitt dette, og la oss si at vi ikke
-
visste at den antideriverte av fartsfunksjonen er
-
strekningsfunksjonen.
-
Hvordan ville vi ha funnet ut hva
-
strekningen ville vært på et hvilket som helst tidspunkt?
-
Vel, la oss drøfte det.
-
Viss vi har en konstant- denne rødfargen er litt blodaktig.
-
La meg skifte til noe mer trivelig.
-
Viss vi har, over en liten tidsperiode, eller viss vi
-
har en konstant fart, når du har en konstant fart,
-
er strekningen bare fart ganger tid, sant?
-
Så la oss si at vi hadde en veldig
-
liten tidsperiode her, sant?
-
Jeg tegner den stor, men la oss si at denne tidsperioden
-
er veldig liten.
-
Og la oss kalle denne lille tidsperioden
-
delta t, eller "dt" for øvrig.
-
Måten jeg har brukt "dt" er på en måte som en endring i tid
-
som er utrolig liten, sant?
-
Så den er nesten uendelig liten, men ikke helt.
-
Eller, du kan faktisk se på den som uendelig liten.
-
Så dette er hvor mye tid som går.
-
Du kan faktisk se på dette som en veldig liten tidsendring.
-
Så viss vi har en veldig liten tidsendring, og over den
-
veldig lille tidsendringen, har vi en ganske konstant
-
fart, la oss si at den rimelig konstante farten er dette.
-
Greit, så dette er farten, så si at over denne veldig lille
-
tidsendringen hadde vi en ganske konstant fart
-
som er på denne grafen.
-
I grunnen, la meg gjøre det her.
-
Vi har denne tilnærmet konstante farten.
-
Så strekningen objektet beveger seg med over den korte tidsperioden
-
er den korte tidsperioden over farten, sant?
-
Det blir hva enn verdien av denne røde linjen er, ganger
-
bredden av denne strekningen, sant?
-
Så er der en annen måte?
-
Visuelt gjorde jeg det på en måte fremover i tid, men
-
hva skjer her?
-
Hvis jeg tar tidsendringen, sant, som er
-
grunnlinjen av denne trekanten, og jeg ganger det med farten
-
som er høyden av denne trekanten, hva
-
har jeg funnet ut?
-
Vel, jeg fant ut arealet av denne trekanten, sant?
-
Farten på dette tidspunktet ganget tidsendringen
-
på dette tidspunktet er ikke annet enn arealet
-
av dette veldig smale rektangelet.
-
Lang og slank, sant?
-
Den er nesten uendelig tynn, men den er, vi antar at
-
for våre hensikter at den har en veldig imaginær og teoretisk bredde.
-
Så der fant vi ut arealet til denne søylen, sant?
-
Vel, viss vi ville finne ut strekningen som du
-
beveget deg etter, la oss si
-
"t", la oss si "t0", sant?
-
Dette er bare en bestemt "t".
-
Etter "t0" sekunder, sant?
-
Så, alt vi må gjøre er å
-
bare gjøre en masse dt'er, sant?
-
En ville gjort en annen her, og funnet ut arealet av
-
denne søylen, og arealet av denne søylen,
-
og arealet av denne søylen, sant?
-
Fordi hvert av disse arealene av disse søylene
-
representerer strekningen som objektet beveger seg
-
over dt'en, sant?
-
Så viss du ønsket å vite hvor langt du beveget deg etter "t0"
-
sekunder, ville du i bunn og grunn få, eller en omtrentlighet ville
-
vært, summen av alle disse arealene.
-
Og siden du fikk mer og mer, siden du lagte dt'en mindre og mindre
-
og mindre, tynnere, tynnere, tynnere.
-
Og du hadde mer og mer og mer og mer av disse
-
rektanglene, så ville din omtrentlighet være ganske
-
nær to ting.
-
Den ville vært ganske nær arealet
-
under denne kurven, eller i dette tilfellet en linje.
-
Men denne ville også få deg ganske nær den eksakte strekningen
-
du har beveget deg etter "t0" sekunder.
-
Så jeg tror jeg beveger meg inn i den 10 minutters videoklippgrensa, så jeg
-
stopper bare her, og jeg kommer til å fortsette med dette
-
i neste video.
