Return to Video

Sissejuhatus määratud integraalidesse

  • 0:00 - 0:02
    Teretulemast tagasi.
  • 0:02 - 0:04
    Selles esitluses ma tahan teile näidata, kuidas
  • 0:04 - 0:07
    me saame kasutada integraali, et arvutada välja
  • 0:07 - 0:08
    joone all oleva osa pindala
  • 0:08 - 0:10
    Tegelikult ma keskendun veidi rohkem
  • 0:10 - 0:11
    intuitsioonile.
  • 0:11 - 0:13
    Nii et kasutame ühte näidet füüsikast.
  • 0:13 - 0:16
    Ma kasutan teepikkust ja kiirust.
  • 0:16 - 0:18
    Ja tegelikult oleks see väga hea ülevaade tuletistest,
  • 0:18 - 0:20
    või tegelikult tuletiste rakendustest.
  • 0:20 - 0:23
    Ütleme, et ma kirjeldan millegi liikuva
  • 0:23 - 0:24
    asukohta.
  • 0:24 - 0:26
    Ütleme, et see on s.
  • 0:26 - 0:36
    Ütleme, et s võrdub, ma ei tea, 16 t ruudus.
  • 0:36 - 0:36
    Õige?
  • 0:36 - 0:37
    Nii et s on teepikkus.
  • 0:37 - 0:38
    Las ma kirjutan selle siia nurka.
  • 0:38 - 0:41
    Ma ei tea, miks kehtib kokkulepe kasutada s
  • 0:41 - 0:42
    teepikkuse muutujana.
  • 0:42 - 0:45
    Võiks ju arvata, hea küll, tegelikult, ma ei tea, miks nad ei kasuta d?
  • 0:45 - 0:49
    Sest d on täht, mida kasutatakse diferentsiaali tähistamiseks, ma arvan.
  • 0:49 - 0:56
    Niisiis s võrdub teepikkusega, ja siis t võrdub ajaga.
  • 0:59 - 1:03
    Nii et see on lihtsalt valem, mis ütleb meile asukoha,
  • 1:03 - 1:06
    selle kui kaugele miski on läinud, peale x ühikut, ütleme,
  • 1:06 - 1:07
    sekundit, õige?
  • 1:07 - 1:11
    Nii et peale näiteks 4 sekundit me oleksime jõudnud, ütleme
  • 1:11 - 1:13
    teepikkus on jalgades, see on sekundites.
  • 1:13 - 1:16
    Peale 4 sekundit, me oleksime liikunud 256 jalga.
  • 1:16 - 1:17
    See on kõik, mis see ütleb.
  • 1:17 - 1:21
    Ja las ma teen sellest graafiku ka.
  • 1:21 - 1:23
    Kujutame seda graafikul.
  • 1:23 - 1:29
    See on kohutav joon.
  • 1:29 - 1:30
    Pean kasutama joone tööriista, siis ehk õnnestub paremini.
  • 1:33 - 1:36
    See on veidike parem.
  • 1:36 - 1:38
    Tegelikult, las ma võtan ka selle tagasi, sest ma tahan seda teha ainult
  • 1:38 - 1:40
    positiivse t korral, õigus?
  • 1:40 - 1:42
    Sest et sa ei saa tegelikult ajas tagasi minna.
  • 1:42 - 1:45
    Selle loengu kontekstis sa ei saa
  • 1:45 - 1:48
    ajas tagasi minna.
  • 1:48 - 1:52
    Nii et see peab aitama.
  • 1:52 - 1:56
    Nii et see joon on sisuliselt parabool, õigus?
  • 1:56 - 1:57
    See näeb välja nagu miski selline?
  • 2:02 - 2:03
    Nii et tegelikult, kui sa seda vaatad, ma mõtlen, et sa
  • 2:03 - 2:04
    võiksid lihtsalt sellele pilgu peale visata.
  • 2:04 - 2:07
    Objekt liigub iga sekundiga veidi
  • 2:07 - 2:07
    kaugemale, õigus?
  • 2:07 - 2:09
    Nii et see sisuliselt kiireneb.
  • 2:09 - 2:12
    Aga mis siis, kui me tahaksime välja uurida, mis kiirusel
  • 2:12 - 2:14
    see objekt liigub?
  • 2:14 - 2:19
    See on, ütleme, see on d, see on t, õigus?
  • 2:19 - 2:21
    Ja see on, ma ei tea, kas see on ilmselge, aga see on
  • 2:21 - 2:23
    põhimõtteliselt 1/2 parabool.
  • 2:23 - 2:25
    Nii et see on teepikkuse funktsioon.
  • 2:25 - 2:26
    Mis võiks kiirus olla?
  • 2:26 - 2:29
    Noh, kiirus on lihtsalt, mis on kiirus?
  • 2:29 - 2:32
    See on kaugus jagatud ajaga, õigus?
  • 2:32 - 2:33
    Ja kuna see kiirus on alati muutuv, siis me
  • 2:33 - 2:36
    tahame leida hetkekiirust.
  • 2:36 - 2:39
    Ja see on tegelikult üks algseid asju, mis tegi
  • 2:39 - 2:40
    tuletised nii kasulikuks.
  • 2:40 - 2:43
    NIi et me tahame leida muutu, hetkemuutu
  • 2:43 - 2:45
    aja suhtes selles valemis, õigus?
  • 2:45 - 2:47
    Sest see on teepikkuse valem.
  • 2:47 - 2:50
    Nii et kui me teame teepikkuse hetkelist muutumise kiirust
  • 2:50 - 2:53
    aja suhtes, siis me teame ka kiirust, õigus?
  • 2:53 - 3:02
    Nii et ds, dt, on võrdne millega?
  • 3:02 - 3:04
    Nii et mis on siin tuletis?
  • 3:04 - 3:09
    See on 32t, õigus?
  • 3:09 - 3:10
    Ja see on kiirus.
  • 3:14 - 3:17
    Võib-olla peaksin ma värvi tagasi muutma, las ma kirjutan, et
  • 3:17 - 3:20
    v võrdub kiirus.
  • 3:20 - 3:22
    Ma ei tea, miks ma värve vahetasin, aga ma jätkan
  • 3:22 - 3:23
    kollasega,
  • 3:23 - 3:25
    Niisiis joonestame selle funktsiooni graafiku.
  • 3:25 - 3:29
    See on tegelikult üsnagi lihtne graafik, mida joonistada.
  • 3:34 - 3:35
    See on üsnagi sirge.
  • 3:35 - 3:37
    Ja siis me joonestame x-telje.
  • 3:42 - 3:43
    Mul läheb üsna hästi.
  • 3:43 - 3:44
    OK.
  • 3:48 - 3:56
    Niisiis see, ma joonistan selle punasega, see on
  • 3:56 - 3:57
    sirge, eks ole?
  • 3:57 - 3:59
    32 t on sirge tõusuga 32.
  • 3:59 - 4:01
    See on tegelikult üsnagi järsk sirge.
  • 4:01 - 4:03
    Ma ei joonista seda nii järsuna, kuna ma kasutan seda
  • 4:03 - 4:06
    illustratsioonina.
  • 4:06 - 4:07
    Nii et see on kiirus.
  • 4:10 - 4:12
    See on kiirus.
  • 4:12 - 4:17
    See on see graafik ja see on teepikkus, kas pole nii?
  • 4:17 - 4:20
    Nii et juhul, kui sa ei oleks juba õppinud, ja võib-olla ma teen
  • 4:20 - 4:22
    terve esitluse matemaatilise analüüsi kasutamisest füüsikas, ja
  • 4:22 - 4:24
    tuletiste kasutamisest füüsikas.
  • 4:24 - 4:27
    Aga kui sul on teepikkuse valem, siis selle tuletis
  • 4:27 - 4:29
    on kiirus.
  • 4:29 - 4:31
    Ja ma arvan et kui sa vaatad seda teistpidi, kui sul
  • 4:31 - 4:34
    on kiirus, siis selle integraal on teepikkus.
  • 4:34 - 4:38
    Kuigi kui sa ei tea, kus, mis kohast täpselt
  • 4:38 - 4:39
    objekt alustas.
  • 4:39 - 4:42
    Praegusel juhul alustas objekt positsioonilt 0,
  • 4:42 - 4:44
    aga see võiks ka olla ükskõik milline konstant, kas pole?
  • 4:44 - 4:46
    Sa oleksid võinud alustada siit ja siis edasi liikuda.
  • 4:46 - 4:48
    Aga igatahes, eeldame lihtsalt, et me alustasime positsioonis 0.
  • 4:48 - 4:51
    NIi et teepikkuse tuletis on kiirus, integraal
  • 4:51 - 4:52
    kiirusest on teepikkus.
  • 4:52 - 4:54
    Jäta see meelde.
  • 4:54 - 4:56
    Hästi, vaatame seda.
  • 4:56 - 5:04
    Eeldame, et meile anti ainult see graafik.
  • 5:04 - 5:06
    Ja me ütlesime, et see on
  • 5:06 - 5:09
    mingi objekti kiiruse graafik.
  • 5:09 - 5:12
    Ja me tahame välja arvutada, mis on teepikkus peale
  • 5:12 - 5:13
    t sekundit.
  • 5:13 - 5:17
    Niisiis see on t-telg, see on kiiruse telg, õigus?
  • 5:17 - 5:19
    Niisiis ütleme, et meile anti ainult see ja ütleme, et me ei
  • 5:19 - 5:23
    teadnud, et kiiruse funktsiooni integraal on
  • 5:23 - 5:23
    teepikkuse funktsioon.
  • 5:23 - 5:27
    Kuidas me selle välja arvutaksime, kuidas me arvutaksime välja, mis
  • 5:27 - 5:29
    on teepikkus teatud ajahetkel?
  • 5:29 - 5:32
    Hästi, mõtleme selle peale.
  • 5:32 - 5:34
    Kui meil on konstant, see punane näeb verine välja.
  • 5:34 - 5:37
    Las ma vahetan millegi meeldivama peale.
  • 5:37 - 5:40
    Kui meil on, väikese ajahetke jooksul, või siis meil
  • 5:40 - 5:44
    on konstantne kiirus, kui sul on konstantne kiirus,
  • 5:44 - 5:47
    siis teepikkus on võrdne kiirus korda ajaga, õigus?
  • 5:47 - 5:50
    Nii et ütleme, et meil on väga lühike
  • 5:50 - 5:52
    ajahetk siin, õigus?
  • 5:52 - 5:54
    Ma joonistan selle suurelt, aga ütleme, et see ajahetk
  • 5:54 - 5:56
    on tõeliselt väike.
  • 5:56 - 5:59
    Ja kutsume seda väikest ajahetke, kutsume
  • 5:59 - 6:02
    seda delta t, või dt tegelikult.
  • 6:02 - 6:05
    See, kuidas ma olen dt kasutanud on nagu muutus ajas.
  • 6:05 - 6:07
    See on kirjeldamatult väike, eks ole?
  • 6:07 - 6:09
    Nii et see on nagu peaaegu hetkeline, aga mitte päris.
  • 6:09 - 6:11
    Või sa võid tegelikult vaadelda seda kui hetkelist.
  • 6:11 - 6:14
    Nii et see on see, kui palju aega möödub.
  • 6:14 - 6:16
    Sa võid seda vaadelda kui väga väikest muutust ajas,
  • 6:16 - 6:20
    Nii et kui meil on väga väike muutus ajas, ja selle väga väikese
  • 6:20 - 6:23
    ajahetke jooksul on meil peaaegu konstantne
  • 6:23 - 6:26
    kiirus, ütleme, et peaaegu konstantne kiirus on see.
  • 6:31 - 6:35
    Õige, see on kiirus, nii et ütleme, et meil on väga väikese ajahetke jooksul
  • 6:35 - 6:37
    peaaegu konstantne kiirus.
  • 6:37 - 6:38
    See on siin graafikul.
  • 6:38 - 6:42
    Tegelikult, las ma teen selle siia.
  • 6:42 - 6:43
    Meil on peaaegu konstantne kiirus.
  • 6:43 - 6:48
    Nii et teepikkus, mille objekt selle väikese ajahetke jooksul liigub
  • 6:48 - 6:51
    oleks väike ajahetk korda kiirus, õigus?
  • 6:51 - 6:54
    See oleks misiganes väärtus sellel punasel joonel on korda
  • 6:54 - 6:57
    see teepikkus, õigus?
  • 6:57 - 6:59
    Nii et mis on teises suunas?
  • 6:59 - 7:02
    Visuaalselt ma nii-öelda tegin selle veidi ette, aga
  • 7:02 - 7:03
    mis toimub siin?
  • 7:03 - 7:08
    Kui ma võtan selle muutuse ajas, mis on nii-öelda selle
  • 7:08 - 7:13
    selle ristküliku alus, ja korrutame seda kiirusega,
  • 7:13 - 7:16
    mis on tegelikult lihtsalt selle ristküliku kõrgus, mis
  • 7:16 - 7:17
    ma nüüd teada sain?
  • 7:17 - 7:21
    Hästi, ma sain teada selle ristküliku pindala, kas pole?
  • 7:21 - 7:23
    Õige, hetkekiirus korda muutus
  • 7:23 - 7:26
    ajas sel hetkel, see ei ole muud, kui selle väga
  • 7:26 - 7:28
    õhukese ristküliku pindala.
  • 7:28 - 7:29
    Õhukese ja pika, kas pole?
  • 7:29 - 7:33
    See on peaaegu lõpmatult kitsas, aga see on, me eeldame, et
  • 7:33 - 7:37
    sellel on mingi mõtteline laius.
  • 7:37 - 7:40
    Nii et siin me mõtlesime välja selle tulba pindala, õigus?
  • 7:40 - 7:45
    Hästi, aga kui me tahaksime välja arvutada teepikkust, mille sa
  • 7:45 - 7:51
    läbid peale, ütleme, ma ei tea, ütleme
  • 7:51 - 7:54
    t, ütleme t null.
  • 7:54 - 7:56
    See on lihtsalt konkreetne t.
  • 7:56 - 7:58
    Peale t null sekundit.
  • 7:58 - 8:01
    Olgu siis, kõik, mis meil teha tuleb, on see, et
  • 8:01 - 8:04
    me peame välja arvutama mitu dt-d, õigus?
  • 8:04 - 8:09
    Kui sa teeksid siia veel ühe, siis sa saaksid selle tulba
  • 8:09 - 8:13
    pindala, siis sa saaksid selle tulba pindala,
  • 8:13 - 8:15
    selle tulba pindala, õigus?
  • 8:15 - 8:19
    Sest iga sellise tulba pindala
  • 8:19 - 8:22
    väljendab teepikkust, mille objekt läbib
  • 8:22 - 8:25
    aja dt jooksul, kas pole?
  • 8:25 - 8:29
    Nii et kui sa tahaksid teada, kui kaugele sa oled jõudnud peale t null
  • 8:29 - 8:33
    sekundit, siis sa saaksid sisuliselt umbkaudu
  • 8:33 - 8:36
    kõigi nende pindalade summa.
  • 8:36 - 8:40
    Ja kui sa muudad dt-d väiksemaks ja väiksemaks
  • 8:40 - 8:41
    ja väiksemaks ja väiksemaks.
  • 8:41 - 8:44
    Ja kui sul oleks seega rohkem ja rohkem ja rohkem neid
  • 8:44 - 8:48
    ristkülikuid, siis sinu umbkaudne pindala muutuks üsnagi
  • 8:48 - 8:51
    lähedaseks, tegelikult, kahe asjaga.
  • 8:51 - 8:53
    See muutuks üsnagi lähedaseks , nagu sa võid arvata, pindalaga
  • 8:53 - 8:56
    selle joone all, antud juhul sirge all.
  • 8:56 - 9:02
    Aga see annaks sulle samuti üsna täpselt sama
  • 9:02 - 9:07
    teepikkuse, mille sa oled läbinud pärast t null sekundit.
  • 9:07 - 9:12
    Mulle tundub, et video on käinud juba peaaegu kümme minutit, nii et ma
  • 9:12 - 9:16
    teen siin pausi ning jätkan sellega
  • 9:16 - 9:17
    järgmisel esitlusel.
Title:
Sissejuhatus määratud integraalidesse
Description:

Using the definite integral to solve for the area under a curve. Intuition on why the antiderivative is the same thing as the area under a curve.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:18
moment9292 added a translation

Estonian subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.