-
Welkom terug.
-
In hierdie voorlegging wil ek jou eintlik wys hoe
-
ons die anti-afgeleide kan gebruik om die
-
area onder 'n kurwe te bereken.
-
Eintlik gaan ek 'n bietjie meer konsentreer op
-
die intuisie.
-
So kom ons begin met 'n voorbeeld vanuit fisika.
-
Ek sal afstand en snelheid gebruik.
-
En eintlik kan hierdie goeie hersiening wees vir afgeleides,
-
of eintlik die toepassing van afgeleides.
-
So kom ons se dat ek die posisie
-
van 'n bewegende voorwerp beskryf.
-
Kom ons se dit is s.
-
Kom ons se dit is gelyk aan, ek weet nie, 16t kwadraat.
-
Ne?
-
So s is soos afstand.
-
Laat ek hierdie hier onder skryf.
-
Ek weet nie hoekom die konvensie is om s as
-
die afstands-veranderlike te gebruik nie.
-
Mens sou dink, wel eintlik weet ek, hoekom gebruik hulle nie d nie?
-
Seker omdat d die letter is wat vir afgeleides gebruik word.
-
So s is gelyk aan die afstand, en dan is t gelyk aan tyd.
-
...
-
So hierdie is net 'n formule wat vir ons die posisie van
-
hoe ver iets beweeg het na x aantal, kom ons
-
se, sekondes, ne?
-
So na so 4 sekondes sou ons, kom ons se,
-
hierdie afstand is in voet, hierdie is in sekondes.
-
Na 4 sekondes weet ons ons sou 256 voet beweeg het.
-
Dis al wat dit se.
-
En laat ek dit ook skets.
-
Skets dit.
-
Dis 'n aaklige lyn.
-
Ek moet die lyn kwas gebruik, dit sal dalk beter werk.
-
...
-
Dis 'n bietjie beter.
-
Eintlik, laat ek dit ook wegvat, want ek wil net
-
dit vir positiewe t he, ne?
-
Want jy kan nie rerig terug in tyd gaan nie.
-
Vir die doeleindes van hierdie lesing, kan jy
-
nie terug in tyd gaan nie.
-
So ek sal dit moet doen.
-
So hierdie kurwe gaan eintlik net 'n parabool wees, ne?
-
Dit gaan na so iets lyk.
-
...
-
So eintlik, as jy daarna kyk, ek bedoel jy
-
kan net so skat.
-
Die voorwerp, vir elke sekonde wat jy aangaan, gaan
-
'n klein bietjie verder, ne?
-
So dit versnel eintlik.
-
En so wat as ons wou uitwerk wat die snelheid
-
van hierdie voorwerp is?
-
Hierdie is, kom ons sien, hierdie is d, hierdie is t, ne?
-
En hierdie is, ek weet nie hoe duidelik dit is nie,
-
maar hierdie is soort van 'n halwe parabool.
-
So hierdie is die afstand funksie.
-
Wat sou die snelheid wees?
-
Wel, die snelheid is net, wat is snelheid?
-
Dis afstand gedeel deur tyd, ne?
-
En siende dat hierdie snelheid heeltyd verander,
-
wil ons die oombliklike snelheid bereken.
-
En dis eintlik een van die aanvanklike gebruike wat
-
afgeleides so behulpsaam maak.
-
So ons wil die verandering, die oombliklike verandering
-
met betrekking tot hierdie formule he, ne?
-
Want hierdie is die afstand formule.
-
So as ons weet wat die oombliklike tempo van verandering met
-
betrekking tot tyd is, sal ons die snelheid he, ne?
-
So ds/dt is waaraan gelyk?
-
So wat is hier die afgeleide?
-
Dis 32t, ne?
-
En hierdie is die snelheid.
-
...
-
Dalk moet ek terug ruil, laat ek dit
-
skryf, v is gelyk aan snelheid.
-
Ek weet nie hoekom ek kleure geruil het nie, maar ek sal
-
by die geel bly.
-
So kom ons skets hierdie funksie.
-
Hierdie sal eintlik 'n redelike eenvoudige skets wees om te teken.
-
...
-
Dis nogal reguit.
-
En dan teken ons die x-as.
-
...
-
Ek doen dit nogal goed.
-
Ok.
-
...
-
So hierdie, ek sal dit rooi maak, hierdie gaan
-
net 'n lyn wees, ne?
-
32t, dis 'n lyn met 'n helling van 32.
-
So dis eintlik nogal 'n steil lyn.
-
Ek gaan dit nie so steil teken nie want ek gaan
-
hierdie vir illustrasie gebruik.
-
So hierdie is die snelheid.
-
...
-
Hierdie is snelheid.
-
Hierdie is daardie grafiek, en hierdie is afstand, ne?
-
So in hierdie geval het jy dit nog nie geleer nie, en ek sal dalk
-
'n hele voorlegging doen oor hoe om calculus vir fisika te gebruik
-
en hoe om afgeleides vir fisika te gebruik.
-
Maar as jy 'n afstand formule het, is sy afgeleide
-
net die snelheid.
-
En ek skat as jy dit andersom sou sien, as jy
-
snelheid het, is die anti-afgeleide afstand.
-
Al sou jy nie weet waar, op watter posisie,
-
die voorwerp begin het nie.
-
In hierdie geval het die voorwerp begin by 'n posisie van 0,
-
maar dit kon, jy weet, enige konstante wees, ne?
-
Jy kon hier begin het en toe boontoe beweeg het.
-
Maar in elk geval, kom ons neem net aan ons begin by 0.
-
So die afgeleide van afstand is die snelheid, en die anti-afgeleide
-
van snelheid is afstand.
-
Hou dit in gedagte.
-
Kom ons kyk hierna.
-
Kom ons neem aan dat ons net hierdie grafiek gegee is.
-
En ons se, jy weet, hierdie is die grafiek van die
-
snelheid van een of ander voorwerp.
-
En ons wil uitwerk wat die afstand is nadat, jy
-
weet, t sekondes verloop het, ne?
-
So hierdie is die t-as, en hierdie is die snelheid as, ne?
-
So kom ons se dat ons net hierdie gegee is, en kom ons se ons het nie
-
geweet dat die anti-afgeleide van die snelheid funksie
-
die afstand funksie is nie.
-
Hoe sou ons dit uitwerk, hoe sou ons uitwerk wat
-
die afstand op enige gegewe tyd is?
-
Wel kom ons dink daaroor.
-
As ons 'n konstante het, hierdie rooi is nogal bloedig.
-
Laat ek na iets mooier ruil.
-
As ons, oor enige klein tydstip, of as ons 'n
-
konstante snelheid het, wanneer jy ;n konstante snelheid het,
-
is afstand net snelheid maal tyd, ne?
-
So kom ons se ons het 'n baie klein stukkie
-
tyd hier gehad, ne?
-
Ek sal dit groot teken, maar ons se hierdie stukkie
-
is rerig klein.
-
En ons noem hierdie klein stukkie tyd, kom ons noem
-
dit delta t, of eintlik dt.
-
Die manier hoe ek dt gebruik het is dit soos 'n verandering
-
in tyd wat ongelooflik klein is, ne?
-
So dis amper oombliklik, maar nie heeltemal nie.
-
Of jy kan dit eintlik sien as oombliklik.
-
So hierdie is hoeveel tyd verloop.
-
Jy kan hierdie sien as 'n baie klein verandering in tyd.
-
So as ons 'n baie klein verandering in tyd het, en oor daardie
-
baie klein verandering in tyd het ons a rofweg konstante
-
snelheid, kom ons se hierdie is die nagenoeg konstante snelheid.
-
...
-
Reg, hierdie is die snelheid, so ons se ons het oor hierdie baie klein
-
verandering in tyd hierdie nagenoeg konstante snelheid
-
wat op hierdie grafiek is.
-
Eintlik, laat ek dit hier doen.
-
Ons het hierdie nagenoeg konstante snelheid.
-
So die afstand wat die voorwerp oor beweeg oor hierdie klein tyd
-
sou net die klein tyd maal die snelheid wees, ne?
-
Dit sou watookal die waarde van hierdie rooi lyn is, maal
-
die wydte van hierdie afstand wees, ne?
-
So wat is 'n ander manier?
-
Visueel het ek dit soort van vooraf gedoen, maar
-
wat gebeur hierso?
-
Ek sal hierdie verandering in tyd neem, ne, wat soort van die
-
basis van hierdie reghoek is, en dan dit maal met die snelheid
-
wat eintlik net die hoogte van hierdie reghoek is,
-
wat het ek bereken?
-
Wel ek't die area van hierdie reghoek bereken, ne?
-
Ja, die oombliklike snelheid maal die verandering in
-
tyd op hierdie oomblik is niks anders as die area van
-
hierdie baie nou reghoek nie.
-
Nou en lank, ne?
-
Dis amper oneindig nou, maar dis, neem ons aan vir hierdie
-
doeleinde, het dit een of ander baie klein hoeveelheid wydte.
-
So daar het ons die area van hierdie kolom bereken, ne?
-
Wel, as ons die afstand wat jy afgele het oor,
-
kom ons se, jy weet, ek weet nie, kom ons se
-
t, kom ons se t sub nul, ne?
-
Net hierdie spesifieke t.
-
Na t sub nul sekondes, ne?
-
Wel, dan, al wat ons sou hoef te doen is, ons sou net
-
moes uitwerk, ons sou net 'n klomp dt's moes doen, ne?
-
Jy sou nog een hier doen, jy sou die area van hierdie
-
kolom bereken, dan die area van hierdie kolom,
-
die area van hierdie kolom, ne?
-
Want elkeen ven hierdie areas van elk van hierdie kolomme
-
stel die afstand wat die voorwerp afle oor
-
daardie dt voor, ne?
-
So as jy wou weet hoe ver jy na t sub nul
-
sekondes beweeg het, so jy in essensie net 'n benadering
-
he van die som van al hierdie areas.
-
En as jy meer en meer, en jy maak die dt's kleiner
-
en kleiner, nouer, nouer, nouer.
-
En jy het meer en meer en meer van hierdie
-
reghoeke, dan sou jou benadering nogal
-
naby aan, wel, twee dinge.
-
Dit kom nogal naby aan, soos jy kan dink, die area
-
onder hierdie kurwe, of in die geval, 'n lyn.
-
Maar dit sou dit ook amper presies die afstand wat jy
-
na t sub nul sekondes afgele het gee.
-
So ek dink ek hardloop teen die tien minute muur
-
vas, so ek gaan hier breek, en dan sal ek hiermee
-
aangaan in die volgende voorlegging.
