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Donc, généralisons un peu ce que nous avons appris dans la
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vidéo précédente.
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Disons que j'emprunte P dollars.
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P dollars, c'est ce que j'ai emprunté donc c'est mon
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capital de départ.
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Donc voilà le capital.
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r est le taux, le taux d’intérêt auquel
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j'emprunte.
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On peut aussi écrire ça comme 100r% ok ?
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Et je vais l'emprunter pour --je ne
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sais pas-- disons t années.
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Voyons si nous pouvons arriver à des équations pour comprendre.
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Combien vais-je devoir à la fin de t années en utilisant soit
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les intérêts simple, soit les intérêts composés .
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Commençons par les intérêts simple en premier, car c'est simple.
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Donc au temps 0 --faisons un axe du temps-- combien
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je vais devoir ?
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Eh bien, c'est juste après l'avoir emprunter, donc si je le
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rembourse immédiatement, je devrais seulement P, ok ?
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Au bout d'un an, je devrai P plus les intérêts, vous pouvez
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le voir comme le "loyer de l'argent", et c'est r fois P.
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Dans l'exemple de la vidéo précédente
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le taux d’intérêts était à 10%.
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P était 100, donc je devais payer 10$ pour emprunter cet argent pour
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un an, et je devais rembourser 110$.
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Et ça, c'est la même chose que P fois 1+r, ok ?
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Car on peut utiliser 1P plus rP.
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Et après 2 ans, combien doit-on ?
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Eh bien, chaque année, on paye juste un autre rP, ok ?
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Dans l'exemple précédent, on ajoutait 10$.
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Donc si c'est 10%, chaque année on paye 10% de
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notre capital de départ.
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Donc après 2 ans, nous devons P plus rP --c'est ce qu'on devait pour
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1 an-- et un autre rP, donc c'est égal à
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P plus 1+2r.
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On sort le P, on obtient 1+r+r
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donc 1+2r.
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Ensuite pour la 3e année, on doit ce que l'on devait lors de la 2e année.
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Donc P plus rP plus rP, et ensuite on paye un autre rP,
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--r peut être 10%, ou 50% de votre capital de départ--
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et on obtient P fois 1+3r.
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Donc après t années, combien devons-nous ?
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Nous devrons notre capital de départ fois
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1+tr.
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Donc on peut distribuer ça , car chaque année on paye Pr,
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et il y en aura plus t années.
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Donc c'est pour cela que cette formule est correcte.
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Disons que j'emprunte --manipulons
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quelques nombres.
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Vous pouvez travailler de cette manière, et je vous le recommande.
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Vous ne devriez pas juste mémoriser des formules--
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Si j'emprunte 50$ avec 15% d’intérêt simple pendant 15 -- ou
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plutôt 20 ans, à la fin des 20 ans, je devrais
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50$ fois 1 plus 20*0.15, ok ?
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Et c'est égal à 50$ fois 1 plus --combien font 20*0.15?
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C'est 3 non ?
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C'est ça.
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Donc ça fait 50 fois 4, ce qui nous donne 200$ pour
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un emprunt du 20 ans.
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Donc 50$ a 15% pendant 20 ans nous donne un
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paiement final de 200$.
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On parlait des intérêts simples, et ceci
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est la formule pour ce calcul.
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Voyons voir si nous pouvons faire la même chose avec les intérêts composés.
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J'efface tout ça.
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C'est pas comme ça que je voulais l'effacer.
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Voilà.
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Alors, avec les intérêts composés, pour la première année, c'est la même chose
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qu'avec les intérêts simples, nous avons vu ça
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dans la vidéo précédente.
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Je dois P plus, et maintenant le taux fois P, et c'est égal à
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P fois 1+r.
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Normal.
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Maintenant la 2e année, où les intérêts simples et composés se différencies.
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Pour les intérêts simples on payerait juste un autre rP, et
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cela deviendrait 1+2r.
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Avec les intérêts composés, ceci devient le nouveau
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capital, ok ?
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Donc, si c'est le nouveau capital, nous allons devoir payer
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1 plus r fois ça, ok ?
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Notre capital de départ était P.
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Après un an, on paye 1 plus r fois le capital de départ
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ok ? fois 1 plus r de taux.
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Donc pour 2 ans, nous allons payer ce que nous devions à
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la fin de la première année, c'est à dire P fois 1+r et ensuite nous allons
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augmenter ça par r%.
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Donc on va multiplier ça encore par 1+r.
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Ce qui nous donne P fois 1+r au carré.
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Donc on peut le voir comme ça, avec les intérêts simples
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chaque année on ajoute Pr.
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Avec les intérêts simple, on ajoute +Pr chaque année
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Donc si ceci est 50$ et ceci est 15%, chaque année on ajoute
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3$ -- on ajoute-- c'était quoi ça ?
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50%
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On ajoute 7.50$ d’intérêts, où P est le capital,
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r est le taux d’intérêt.
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Avec les interets composés, chaque année on multiplie le
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capital par 1 plus le taux, ok ?
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Donc si on va jusqu'à la 3e année, on va multiplier
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ceci par 1+r.
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Donc après 3 ans c'est P fois 1+r au cube.
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Donc pour t années, ce sera : le capital fois 1 plus
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r exposant t.
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Donc avec cet exemple.
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Avec les intérêts simple nous devons 200$ dans cet exemple
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Voyons voir ce que nous devons avec des intérêts composés.
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Le capital est de 50$
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1 plus -- quel est le taux ?
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0.15.
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Et nous empruntons pour 20 ans.
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Donc c'est égal à 50 fois 1.15 exposant 20.
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Je sais que vous ne pouvez pas lire ça, mais laissez moi voir ce que je peux
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faire pour cet exposant 20.
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Je vais utiliser mon Excel et effacer tout ça.
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En fait, je devrais utiliser ma souris plutôt que le crayon
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pour tout effacer.
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Ok, laissez moi juste choisir un endroit au hasard.
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Donc je veux juste-- plus 1.15 exposant 20, et vous
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pouvez utiliser votre calculette: 16.37 disons.
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Donc c'est égal à 50 fois 16.37
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Et donc 50 fois ça nous donne ?
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ça nous donne 818$.
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Donc maintenant vous réalisez que si quelqu’un vous fait un prêt et
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dit "bien sûr, je vais te dépanner, tu veux un prêt sur 20 ans ?
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je te le fait avec des intérêts à 15%"
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C'est plutôt important de clarifier si le taux
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à 15% est en intérêts simples ou
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en intérêts composés.
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Car avec les intérêts composés, vous allez payer--
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enfin regardez : juste pour emprunter 50$ vous allez
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payer 618$ de plus qu'en intérêts simples.
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Malheureusement, dans le monde réel, la plupart
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sont des intérêts composés.
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Et non seulement c'est composé, mais pas seulement
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chaque année, pas seulement tout les 6 mois,
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mais continuellement.
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Donc vous devriez regarder les prochaines vidéos sur
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les intérêts continuellement composés, et vous pourrez
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commencez à apprendre la magie du e.
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Bref, je vous retrouve dans la prochaine vidéo.
