-
Laten we zeggen dat dit een gelijkzijdige driehoek is.
-
en wat ik wil gaan doen is een andere vorm maken
-
uit deze gelijkzijdige driehoek.
-
En ik ga dat doen door elke zijde van deze driehoek te pakken,
-
en het verdelen in drie gelijke secties, in drie gelijke secties.
-
Dus mijn gelijkzijdige driehoek was niet ideaal getekend,
-
Maar ik denk dat je het begrijpt.
-
En in de middelste sectie,
-
maak ik nog een andere gelijkzijdige driehoek
-
Dus de middelste sectie hier,
-
Ik ga een andere gelijkzijdige driehoek maken.
-
Dus het zal ongeveer als volgt eruit komen te zien.
-
En dan, hier,
-
Ik zal een andere gelijkzijdige driehoek plaatsen.
-
En dus zo zijn wij beland van de ene gelijkzijdige driehoek
-
naar iets als dat lijkt op de ster van David.
-
en dan zal ik het nog een keer doen.
-
Dus, elke van deze zijdes, ik ga ze verdelen in drie gelijke zijden.
-
In de middelste segment, ga ik een gelijkbenige driehoek plaatsen
-
Ik zal een gelijkbenige driehoek erin maken
-
Dus in de middelste segment, plaats ik een gelijkbenige driehoek.
-
Dus ik ga het doen voor elk van deze zijdes.
-
Dus laat mij dat hier doen en hier.
-
Ik denk wel dat je het idee hebt, maar ik wil het duidelijk maken dus laat me..
-
zo dan, zoals dit, en dan, kijk zoals dat, zoals dat.
-
En dan bijna klaar voor
-
En dan lijkt het op dat.
-
Dan kan ik het nog een keer doen
-
Ik kan elk van de segmenten verdelen in drie gelijke zijden
-
en teken ik nog een andere gelijkzijdige driehoek,
-
zoals hier, hier, hier , hier , hier ,hier.
-
Ik denk wel dat je kunt zien waar het naar toe gaat.
-
En ik kan hier voor altijd mee door blijven gaan.
-
Dus wat ik wil doen in deze video is nadenken over
-
wat er hier aan de hand is.
-
En wat ik eigenlijk aan het tekenen ben,
-
zolang we dit blijven doen en blijven doen,
-
..., dan kijken we naar elke zijde,
-
we verdelen hem in gelijke zijde,
-
en dan de volgende, waar drie gelijke segmenten,
-
en dan de volgende,
-
de middelste segment we kunnen dit ook veranderen in een gelijkzijdige driehoek.
-
De vorm dat we hier aan het beschrijven zijn
-
heet de Koch Sneeuwvlokje
-
En ik weet zeker dat ik het stukje Koch verkeerd uitspreek.
-
De Koch Sneeuwvlokje
-
en het was als eerst beschreven door deze man hier,
-
wie een Zweedse wiskundige was genaamd Niels Fabian Helge von Koch
-
Ik weet zeker dat ik het verkeerd uitspreek.
-
En dit is een van de eerste beschreven fractals.
-
Dus dit is een fractal.
-
En de reden waarom dit een fractal is,
-
is dat het hetzelfde lijkt,
-
het lijkt hetzelfde op elke schaal als je er naar kijk.
-
Als je het op deze schaal bekijkt, als je het op deze manier bekijkt,
-
dan lijkt het alsof je een aantal driehoek zie met bultjes.
-
Maar als je dan hier weer zult inzommen
-
dan zie je nog steeds hetzelfde patroon.
-
En als je dan weer inzoomt,
-
zul je het nog een keer zien en nog een keer.
-
Dus een fractal is alles dat, op elke schaal,
-
of je inzoomt of uitzoomt, het lijkt allemaal hetzelfde.
-
Dat is waarom het een fractal word genoemd
-
Wat hier zo interessant aan is,
-
en waarom ik het op dit punt in de geometry afspeellijst plaats is,
-
is dat dit eigenlijk een oneindige omtrek bevat.
-
Als je dit zou blijven doen,
-
Als je echt de Koch Sneeuwvlok zou maken
-
Waar je een oneindig aantal nummers
-
op elke kleinere driehoek hier,
-
en je plaats nog een gelijkzijdige driehoek op de zijde.
-
En om te laten zien dat het een oneindige omtrek bevat
-
laten we dan eens kijken naar deze zijde kijken.
-
Dus laten we zeggen dat deze zijde,
-
Laten we zeggen we starten hier waar we gestart zijn
-
met de originele driehoek, dat is deze zijde.
-
En laten we zeggen het heeft de lengte S.
-
En dan verdelen we het in drie kleine segmenten.
-
We verdelen het in drie gelijke segmenten.
-
Dus dit zal zijn S/3, S/3 laat ik het zo opschrijven.
-
S/3, S/3 en S/3.
-
In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.
-
In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.
-
Dus elk van deze zijdes zijn S/3.
-
S/3, S/3.
-
en we weten dat de lengte van dit nieuwe stuk,
-
Ik kan het geen lijn meer noemen wat het heeft een bult in zich.
-
De lengte van dit stuk hier, deze zijde,
-
heeft nu niet de lengte van S.
-
Het is nu S/3 * 4.
-
Daarvoor was het S/3 * 3
-
nu heb je er een, twee, drie, vier segmenten dat S/3 is.
-
Dus na een keer, na een pas,
-
na een keer een aantal driehoeken plaatsen,
-
onze nieuwe zijde,
-
nadat we de bult hadden, zal zijn 4 * S/3 wat gelijk is aan 4/3 s.
-
Dus als onze originele omtrek toen het nog een driehoek was P sub 0,
-
Na een pas, na een set van bulten,
-
dan zal onze omtrek zijn,
-
Het zal 4/3 * het origineel.
-
Want elk van de zijdes zullen 4/3 groter zijn.
-
Dus als dit bestond uit drie zijdes
-
Nu zal elk van deze zijde groter zijn dan 4/3
-
Dus de nieuwe omtrek zal zijn 4/3 keer dat.
-
En dan nemen we nog een twee pas.
-
Dat word 4/3 de eerste pas.
-
Dus elk pas dat je maakt word 4/3 groter.
-
Het word gok ik zo een derde groter bij elke stap,
-
Het word 4/3 de vorige stap.
-
En als je dat doen in ontelbare keer de tijd,
-
als je het zou vermenigvuldigen met elk nummer van 4/3 een oneindig aantal keer,
-
dan krijg je een oneindig aantal nummers van ! een oneindige lengte.
-
Dus, P oneindig, P oneindig,
-
De omtrek als je dat een oneindig aantal keer zal doen, is oneindig
-
Dus dat bijzichzelf alleen is al cool,
-
Door alleen maar te denken over iets dat een oneindig aantal perimter heeft.
-
Maar wat eigenlijk leuker is, is dat het een eindige oppervlakte heeft.
-
En als ik zeg een oppervlakte dat eindig is,
-
dan is het gelimiteerd aan een stuk ruimte.
-
Om weer een vorm hiervan te maken
-
En dit zal zich nooit uitbreiden buitenom dat.
-
En om erover na te denken, ik ga niet een echt bewijs aanleveren,
-
Denk maar eens na over wat er gebeurd met elk van deze zijdes.
-
Dus in de eerste stap, hebben we deze driehoek dat hier uitspringt.
-
En als je erover nadenkt, als je tekent wat er gebeurd,
-
de volgende waarmee je deze twee driehoeken hier tekent
-
en deze twee figuren hier.
-
En dan plaats je een aantal driehoek hier,
-
en daar, en daar, en daar, en daar, enz enz enz.
-
Maar kijk, je kunt wel steeds meer en meer toevoegen,
-
je kunt een oneindig aantal nummers van deze bulten toevoegen,
-
maar je zult nooit voorbij dit punt komen.
-
En hetzelfde zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
-
Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
-
Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
-
En het zal waar zijn voor deze zijde hier.
-
En dan zal het ook waar zijn voor deze zijde hier.
-
Dus ook al zou je dit een oneindig aantal keer doen,
-
deze vorm, deze Koch Sneeuwvlok
-
zal nooit een grotere oppervlakte hebben dan deze vaststaande hexagon.
-
Of het zal nooit een grotere oppervlakte hebben
-
dan de vorm dat lijkt op iets als dat.
-
En ik teken hier gewoon
-
Ik wil het buiten deze hexagon maken
-
Ik kan er een cirkel buiten plaatsen.
-
Dus dit ding wat ik tekende in het blauw, of deze hexagon wat ik tekende in paars,
-
zij hebben een vastgesloten oppervlakte.
-
En deze Koch Sneeuwvlok zal altijd vast zitten,
-
Ook al voeg je deze bulten een oneindig aantal keren toe.
-
Dus een boel coole dingen gebeuren hier.
-
Een, het is een fractal.
-
Je kunt inzoomen en het blijft hetzelfde.
-
Nog een ding is, oneindige perimter en einde oppervlakte.
-
Nu zou je kunnen zeggen, wacht, uhm, okay, dit is een abstract ding.
-
Dit soort dingen bestaan helemaal niet in de echte wereld.
-
En dit hier is een experiment
-
waar mensen over praten in de wereld van fracties.
-
En dat is het vinden van England,
-
Of je kunt het eigenlijk met elke eiland doen.
-
En Engeland lijkt dus hierop,
-
Weet je ik ben geen expert op de, weet je,
-
laten we zeggen het lijkt een beetje op dat.
-
Dus ten eerste schat je de omtrek,
-
en meet je de afstand.
-
Je kunt meten wat deze afstand is + deze afstand
-
+ deze afstand + deze afstand + deze afstand + deze afstand.
-
Kijk.
-
het heeft een eindige perimter.
-
Het heeft duidelijk gezien een eindige oppervlakte, maar weet je,
-
kijk dat heeft een eindige perimter.
-
Maar je zegt, nee, nee dat is niet goed.
-
Je moet het iets beter berekenen dan dat.
-
In plaats van dat je het losjes doet,
-
moet je een aantal smallere lijnen maken.
-
Je moet een aantal smallere lijnen maken
-
Zodat je de kust een beetje kan
-
En dan zeg je, Okay dat is een veel betere schatting.
-
Maar dan, laten we zeggen als we op een bepaald stuk inzoomen,
-
als we genoeg inzoomen, als we genoeg inzoomen,
-
de eigenlijk kustlijn zal iets zijn als dit.
-
De werkelijke kustlijn heeft allerlei stukjes in zich
-
En wanneer je dit deed,
-
was je gewoon aan het meten, je was gewoon aan het meten.
-
En dan zeg je. Dat is niet de omtrek van deze kustlijn.
-
Je zult meer zijdes moeten doen.
-
Je zult iets moeten doen als dit
-
om eigenlijk de echte omtrek te krijgen van de kustlijn.
-
En dan zeg je hey dat is een goede schatting van de omtrek.
-
maar als je in zoomt op dat stuk van de kust
-
dan zal het eigenlijk niet zo eruit zien als dat.
-
Het zal eigenlijk in en uitkomen als dit.
-
Misschien lijkt het als dat.
-
Dus in plaats van deze ruige lijnen te hebben, wat het meet als dat.
-
Je zult zeggen , Oh wacht,
-
nu moet ik er nog iets beter naar kijken.
-
En je kunt dit blijven doen
-
totdat je op atomisch niveau bezig bent.
-
Dus de werkelijke kustlijn van een eiland,
-
of een continent, of wat dan ook, is eigenlijk fractisch.
-
En het is, je kunt er over nadenken
-
als de ultieme oneindige omtrek
-
Natuurlijk op een gegeven moment,
-
kom je op atomisch gebied uit,
-
en zal het niet meer hetzelfde zijn,
-
maar het is eigenlijk dezelfde fenomeen.
-
het is interessant om erover na te denken.
