علم الاحتمالات هو أحد فروع الرياضيات المنتشرة في كل مكان
نسمع عنه دوماً عند التنبؤ بحالة الطقس،
على سبيل المثال، إن احتمال أن تثلج غداً هو 80 بالمئة
كما أنه يستخدم أيضاً في التنبؤ في مجال الرياضة،
مثلاً، تحديد احتمال فوز فريق ما في نهائي دوري كرة القدم الأمريكية
تستخدم الإحتمالات أيضاً في المساعدة بتحديد معدلات التأمين على السيارات.
بالإضافة إلى أنها عامل استمرار للكازينوهات والقمار.
كيف يمكن للاحتمالات أن تؤثر عليك؟
دعونا نلق النظر على قضية احتمالية بسيطة.
ماذا لو خمنت عشوائيا عند إجابتك على 10 أسئلة
أسئلة من النمط صحيح أم خطأ؟
بعبارة أخرى، لو أنك قمت برمي قطعة نقدية
10 مرات، واستخدمتها لاختيار إجابة السؤال بدل التفكير فيه،
ما هو احتمال أن تحصل على معدل ممتاز بهذه الطريقة؟
يبدو الأمر بسيطاً نوعاً ما، هناك فقط احتمالان لكل سؤال
لكن باختبار بـ10 أسئلة صحيح أم خطأ،
هناك العديد من الطرق لكتابة كل هذه المجموعات المختلفة من الاحتمالات
للأجوبة الصحيحة والخاطئة. لفهم عدد التركيبات المختلفة،
دعونا نفكر فقط حالياً باختبار صحيح أم خطأ أصغر
بسؤالين فقط. يمكنك الإجابة
بـ"صحيح صحيح"، أو "خطأ خطأ" ، أو واحدة من كل منها.
"خطأ" أولا ثم "صحيح" أو "صحيح" أولا ثم "خطأ".
إذاً فتلك 4 طرق مختلفة لكتابة الإجابات من أجل اختبار بسؤالين فقط.
إذا ما عدد الطرق المختلفة من أجل 10 أسئلة؟
حسناً، الآن من الصعب جدا ً أن تعد الاحتمالات ل 10 أسئلة يدوياً.
للإجابة على هذا السؤال ـ علينا معرفة مبادئ العد الأساسية.
ينص مبدأ الحساب الأساسي على ما يلي:
إذا كان هناك "أ" نتيجة محتملة لحدث واحد
و"ب" نتيجة محتملة لحدث أخر،
إذا هناك "أ" ضرب "ب" من الطرق للتعبير عن النتائج.
ومن الواضح أن هذا يصلح لاختبار من سؤالي صحيح أم خطأ.
هناك إجابتان يمكن أن تكتبهما للسؤال الأول
وهناك أيضاً إجابتان ممكنتان للسؤال الثاني.
إذا بالمحصلة هناك 2 ضرب 2 أي 4 طرق مختلف لكتابة الإجابات لسؤالين.
الآن لنضع في الحسبان اختبارا من 10 أسئلة.
لحساب ذلك، عليك توسعة مبدأ الحساب قليلاً.
علينا أن ندرك أنه لدينا إجابتان محتملتان لكل من تلك الأسئلة الـ10.
إذاً عدد الاحتمالات الناتجة الكلي هو
2 ضرب 2، ضرب 2 ،ضرب 2، ضرب 2، ضرب 2،
2 ضرب 2، ضرب 2 ،ضرب 2، ضرب 2، ضرب 2
بشكل مختصر 2 ضرب 2 لـ 10 مرات أي 2 أس 10
والذي يساوي 1024
أي أنه من بين جميع الطرق التي يمكنك بها كتابة إجابات صحيح أم خطأ
فقط واحدة من أصل 1024 طريقة ستكون مطابقة تماماً لجواب الأستاذ.
وبالتالي فاحتمال أن تحصل على العلامة التامة عبر التخمين هو
فقط 1 من 1024،
وبعبارة أخرى عشر واحد في المئة تقريبا.
و بعبارة أوضح، التخمين ليس فكرة جيدة.
وفي الواقع، ماذا ستكون أكثر درجة دارجة
إذا كنت أنت وأصدقاءك تستخدمون التخمين العشوائي دائماً
في كل مرة لكل سؤال من أسئلة صحيح أم خطأ العشرة؟
حسناً، لن يحصل الجميع بالضبط على 5 من 10.
لكن المتوسط الحسابي العام في المدى الطويل،
سيكون 5.
في هذه الحالة كما قلنا هناك احتمالان لكل سؤال:
السؤال إما إن يكون صحيحا أم خاطئا،
واحتمال أن يكون صحيحا بالتخمين
هو دائما نفسه: 1 من 2.
لإيجاد معدل ما ستحصل عليه صحيحا بالتخمين،
يتم ضرب عدد الأسئلة
باحتمالية الحصول على جواب صحيح.
بهذه الحالة، 10 مرات مضروبة ب 0.5 أي الجواب هو 5.
نتمنى أن تذاكر لاختباراتك،
لأنه من الواضح أن التخمين لن يجدي نفعا.
قد تكون قد أخذت اختبارا موحدا في مرحلة ما كاختبار "سات "
ومعظم الناس عليهم تخمين بضعة أسئلة.
فمثلا لو كان عدد الأسئلة الكلية هو 20، وهناك 5 أجوبة محتملة
لكل سؤال، ما احتمال أن تجيب عن العشرين سؤالا بشكل صحيح
بالتخمين العشوائي البحت؟
وكم تتوقع أن تكون علامتك بالتخمين؟
سنستخدم نفس الطريقة سابقاُ للحل.
بداية، احتمال الحصول على إجابة صحيحة لكل سؤال هي 1 من 5،
يمكن أن نتوقع أن نجيب على خمس الأسئلة العشرين بشكل صحيح.
أوه، تلك فقط أربعة أسئلة!
هل تعتقد أن احتمال الإجابة على ال20 سؤال بشكل صحيح هو احتمال صغير؟
لنرى ما مدى صغره.
هل تتذكرون مبدأ الحساب الأساسي الذي ذُكر من قبل؟
مع 5 نتائج محتملة لكل سؤال،
سنضرب 5 في 5 في 5 في 5 في 5 في 5 ...
أي بعبارة سنستخدم 5 كعامل
ل20 مرة، و5 أس 20
هي 95 بليون و365 مليار و431 مليون
و648 ألف و625. واو - ذلك رقم كبير!
إذا احتمال الحصول على الإجابات جميعها صحيحة بالتخمين العشوائي هو
هو 1 من 95 بليون.