讓我們來學習解絕對值方程式
先來複習下
當計算一個數值的絕對值時
以-1爲例 來計算絕對值
你需要做的是
計算出1與0之間的距離
對-1來說 下面以數軸示例
這個沒畫好
這是數軸 這是0
這是-1
-1與0之間的距離是1
那-1的絕對值就是1
1和0之間的距離也是1
所以1的絕對值同樣是1
也就是說 絕對值爲與0之間的距離
來換一種更簡單的方式來理解
絕對值其實就是取數值的正值
-7346的絕對值是7346.
理解這點以後 下面
開始學習解絕對值方程式
來看這個方程式
x-5的絕對值等於10
可以這樣解讀這個等式
也希望能夠這樣理解 這就是說
x與5之間的距離爲10
與5之間的距離是10的數值有幾個
大家應該已經想到解法了
不過下面要學習更係統的解法
這個方程式有兩種情況
一種是x-5等於10
如果假定絕對值裏面的值爲10
取絕對值後
會得到10
或者假設x-5等於-10
如果x-5等於-10 取絕對值後
也是10
所以第二種情況是 x-5等於-10
兩種情況同時滿足這個方程式
先解這個
等式兩邊加5
得到x=15
再解這個 等式兩邊加5
x等於-5
得出計算結果
有兩個x值滿足這個方程式
x可以是15
15-5等於10 取絕對值後
得到10 或者x爲-5
-5減5等於-10
取絕對值後 還是10
注意 這兩個值
與5之間的距離都是10
再解一個
再來一個
現在有
x+2的絕對值等於6
這說明什麽呢
也就是說 要麽x+2
也就是絕對值符號裏的這個值 它等於6
或者絕對值符號裏的這個值
x+2 它等於-6
假設等於-6時
取絕對值後 得到6
那麽 假設x+2等於-6
然後 等式兩邊減2
得到 x等於4
再看這個方程式 兩邊減2
得到x等於-8
這就是方程式的兩種解法
爲了加深理解
對於絕對值 可以把它看成是距離
這樣重寫這個絕對值方程式
x減-2的絕對值等於6
其實就是說
哪些值與-2之間的距離剛好是6呢
還記得嗎 在這裡講過
哪些值與5之間的距離是10
不管被5減的值是幾
它們與5之間的距離肯定是10
這邊呢
哪些值與-2之間的距離是6
那就是4 或-8
自己試著驗證下結果
再做一個
再來一個 這次用紫色
這有4x的絕對值
來計算一個有難度的
4x減1
4x-1的絕對值 等於--
這裡讓它等於19
這樣 跟之前的解法一樣
一種情況是4x減1等於19
另一種情況是4x減1等於-19
因爲當取絕對值以後
都會得到19
或者4x減1等於-19
現在只需要解這兩個方程式
等式兩邊加1
兩個同時做
兩邊加1後 得到4x等於20
這兩邊加1後
得到4x等於-18
等式兩邊除4 得到x等於5
這個等式兩邊除4 得到x等於-18/4
也等於-9/2
這兩個x值同時滿足這個絕對值方程式
試試看
-9/2乘4
等於-18
-18再減1就是-19
取絕對值後 得到19
等於5時 4乘5是20
減1等於19
再取絕對值以後
還是等於19
下面來畫絕對值方程式的圖形 增加趣味性
現在有
y等於x+3的絕對值
這是個函數 或者說圖形
並包含絕對值在裏面
這要考慮兩種情況
一種情況是
絕對值符號裏的這個值爲正
也就是x+3
寫這邊 x+3>0
另一種情況是x+3<0
當x+3>0時
這個圖形 或這條直線 這裡可能還不能稱爲一條直線
這個函數 就等同於y=x+3
如果這邊這個值是大於0的話
那麽絕對值符號就形同虛設
那麽這個就完全等同於
y=x+3
那麽什麽情況下x+3>0
不等式兩邊減3
得到x>-3
那麽當x>-3時
這個圖形與y=x+3是等同的
當x+3<0時
在這種情況下
絕對值符號裏的值爲負
在這種情況下等式就變成
y等於-（x+3）
爲什麽呢
仔細聽 現在這裡是負值 如果
x+3是負值
在這個前提下 如果它是負值的話
那麽當取負值的絕對值後
它肯定是得到正值
就相當於把它與-1相乘
如果知道是取負值的絕對值
就相當於用這個值乘-1
因爲絕對值都是正值
也就是這裡所討論的情況
x+3少於0
兩邊減3 當x少於-3
當x少於-3
那麽當x<-3時
圖形應該是這樣
當x>-3
圖形是這樣
下面一起來看
完整的圖形
先畫數軸
這是x軸 這是y軸
先把這個函數乘出來 這樣可以得到mx
加b的函數格式
這個等於-x-3
先看看這種函數圖形
的一般形式
-x-3
y軸截距是-3 所以1 2 3
-x那就應該是向下傾斜 也就是
向下斜率爲1
看起來就是這樣
x軸的截距應該是x等於
當假設y等於0時 這邊x
等於-3
穿過這條線
這個點
這個圖形 如果沒有這裡這個限制條件
應該是這樣
如果沒有區間限制條件
x軸的這個區間限制條件
那麽這個圖形 應該是怎樣的
來看看
y軸截距是3
像這樣
x軸的截距呢
當y等於0時 x等於-3
還是一樣穿過這個點
斜率爲1
那就應該是這樣的
這就是這個函數的圖形
現在 可以得出結論 絕對值
函數爲紫色直線
當x<-3時
當x<-3 這裡是x等於
-3 當x<-3
它就是這條紫線
就是這條
上面是當x<-3時的圖形
但是如果x>-3時 就應該是
這條綠線了
就是這條
圖形看起來很像奇怪的V
當x>-3時 應該是正值
所以這個圖形 斜率爲正
但當x<-3時 本質上
其實是取這個函數的負值 如果想要
這麽理解的話 所以這裡是負斜率
如果看到這種V型函數 或是
V型圖 那就表明它是
絕對值函數