1 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 . 2 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 . 3 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 . 4 99:59:59,999 --> 99:59:59,999 . 5 00:00:00,590 --> 00:00:03,880 Haydi mutlak değer ile ilgili birkaç denklem çözelim. 6 00:00:03,880 --> 00:00:05,119 Sadece küçük bir tekrar olarak, bir sayının 7 00:00:05,119 --> 00:00:07,650 mutlak değerini aldığınızda. 8 00:00:07,650 --> 00:00:10,680 Diyelim ki negatif 1'in mutlak değerini aldım. 9 00:00:10,680 --> 00:00:12,263 Asıl yaptığımız şey, "Bu sayı 0'dan ne kadar uzak?" 10 00:00:12,263 --> 00:00:16,090 sorusunu sormak. 11 00:00:16,090 --> 00:00:20,620 Ve negatif 1 söz konusu olduğunda, bir sayı doğrusu çizersek 12 00:00:20,620 --> 00:00:23,310 işte-- bu çok kötü çizilmiş bir sayı doğrusu oldu. 13 00:00:23,310 --> 00:00:26,230 İşte buraya bir sayı doğrusu çizersek, bu 0. 14 00:00:26,230 --> 00:00:28,470 Ve burada da negatif 1 var. 15 00:00:28,470 --> 00:00:30,230 Ve 0'dan 1 birim uzak. 16 00:00:30,230 --> 00:00:33,250 Yani, negatif 1'in mutlak değeri 1. 17 00:00:33,250 --> 00:00:38,850 Ve 1 de 0'dan 1 birim uzak. 18 00:00:38,850 --> 00:00:40,610 Yani, 1'in mutlak değeri de 1. 19 00:00:40,610 --> 00:00:43,500 Sonuç olarak mutlak değer bir sayının 0'a olan uzaklığı. 20 00:00:43,500 --> 00:00:45,587 Fakat, sanrım mutlak değeri bulmanın daha kolay bir yolu 21 00:00:45,587 --> 00:00:48,600 çıkan sonucun her zaman o sayının pozitif versiyonu olduğunu düşünmek. 22 00:00:48,600 --> 00:00:59,360 Mesela negatif 7346'nın mutlak değeri 7346'dır. 23 00:00:59,360 --> 00:01:00,779 Şimdi öğrendiklerimizi aklımızda tutarak 24 00:01:00,779 --> 00:01:05,050 mutlak değerlerle ilgili birkaç denklem çözelim. 25 00:01:05,050 --> 00:01:06,675 Diyelim ki bu denklemde x eksi 5'in mutlak değeri 26 00:01:06,675 --> 00:01:14,500 10'a eşit. 27 00:01:14,500 --> 00:01:15,895 Aslında bunu şöyle düşünmenizi istiyorum, 28 00:01:15,895 --> 00:01:18,161 bu, x ve 10 arasındaki uzaklık 29 00:01:18,161 --> 00:01:23,120 10 birim demek. 30 00:01:23,120 --> 00:01:26,750 Yani 10, 5'ten kaç birim uzak? 31 00:01:26,750 --> 00:01:29,430 Siz şimdiden bu denklemin çözümünü düşünebiliyorsunuz, 32 00:01:29,430 --> 00:01:31,960 ama ben sizlere bunun nasıl sistematik bir şekilde çözüleceğini göstereceğim. 33 00:01:31,960 --> 00:01:36,510 Şimdi, bu denklemdeki eşitlik iki durumda sağlanacak. 34 00:01:36,510 --> 00:01:41,800 Ya x eksi 5 pozitif 10'a eşit. 35 00:01:41,800 --> 00:01:44,630 Bu, pozitif 10'a eşitse 36 00:01:44,630 --> 00:01:46,610 mutlak değerini aldığımızda 37 00:01:46,610 --> 00:01:48,380 pozitif 10'a eşit olacak. 38 00:01:48,380 --> 00:01:53,130 Ya da, x eksi 5 negatif 10'a eşit olabilir. 39 00:01:53,130 --> 00:01:58,700 Eğer x eksi 5 negatif 10'a eşitse 40 00:01:58,700 --> 00:01:59,950 mutlak değerini aldığımızda yine 10 olacak. 41 00:01:59,950 --> 00:02:04,280 Yani, x eksi 5 negatif 10'a da eşit olabilir. 42 00:02:04,280 --> 00:02:07,730 Bunların ikisi de denklemde eşitliği sağlar. 43 00:02:07,730 --> 00:02:08,958 Şimdi, bunu çözmek için, 44 00:02:08,958 --> 00:02:11,500 denklemin iki tarafına da 5 ekleyin. 45 00:02:11,500 --> 00:02:14,160 Cevap x eşittir 15 çıkıyor. 46 00:02:14,160 --> 00:02:17,830 Bunu çözmek için de denklemin iki tarafına 5 ekleyin. 47 00:02:17,830 --> 00:02:20,900 x eşittir negatif 5. 48 00:02:20,900 --> 00:02:21,963 Yani sonucumuz, bu eşitliği sağlayan 49 00:02:21,963 --> 00:02:24,910 iki x değeri var. 50 00:02:24,910 --> 00:02:26,890 x 15 olabilir. 51 00:02:26,890 --> 00:02:29,502 15 eksi 5 eşittir 10, mutlak değerini alalım 52 00:02:29,502 --> 00:02:32,690 10 çıkacak, ya da x negatif 5 olabilir, 53 00:02:32,690 --> 00:02:36,060 Negatif 5 eksi 5 eşittir 10. 54 00:02:36,060 --> 00:02:39,020 Mutlak değerini alalım, 10 çıkıyor. 55 00:02:39,020 --> 00:02:41,632 Ve farkındaysanız bu iki sayı da 56 00:02:41,632 --> 00:02:45,750 5'ten 10 birim uzak. 57 00:02:45,750 --> 00:02:48,050 Haydi bunlardan bir tane daha yapalım. 58 00:02:48,050 --> 00:02:51,130 Bir tane daha yapalım. 59 00:02:51,130 --> 00:02:52,182 Diyelim ki x artı 2'nin 60 00:02:52,182 --> 00:02:58,580 mutlak değeri 6. 61 00:02:58,580 --> 00:02:59,610 Peki bu ne demek? 62 00:02:59,610 --> 00:03:03,132 Bu, ya mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2 63 00:03:03,132 --> 00:03:07,030 6'ya eşit demek. 64 00:03:07,030 --> 00:03:10,380 Ya da mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2 65 00:03:10,380 --> 00:03:12,050 negatif 6'ya eşit demek. 66 00:03:12,050 --> 00:03:13,910 Bu negatif 6'ya eşitse mutlak değerini alırız 67 00:03:13,910 --> 00:03:16,210 ve 6 çıkar. 68 00:03:16,210 --> 00:03:20,340 Yani, x eksi 2 negatif 6 da olabilir. 69 00:03:20,340 --> 00:03:22,880 Ve bu denklemin iki tarafından da 2 çıkarırsak 70 00:03:22,880 --> 00:03:25,850 cevabımız x eşittir 4 olur. 71 00:03:25,850 --> 00:03:29,780 Fakat, bu denklemin iki tarafından 2 çıkarırsak 72 00:03:29,780 --> 00:03:33,690 cevabımız x eşittir negatif 8 olur. 73 00:03:33,690 --> 00:03:37,240 Sonuç olarak bunlar bu denklemin çözümleri. 74 00:03:37,240 --> 00:03:39,740 Ve bu da aklınızda kalsın, mutlak değeri 75 00:03:39,740 --> 00:03:42,500 0'a olan uzaklık olarak görebilirsiniz. 76 00:03:42,500 --> 00:03:43,940 Böylece bu problemi x eksi negatif 2 77 00:03:43,940 --> 00:03:50,410 eşittir 6 olarak da yazabilirsiniz. 78 00:03:50,410 --> 00:03:52,759 Yani bu problem bana negatif 2'den 79 00:03:52,759 --> 00:03:57,590 6 birim uzak olan x değerlerini soruyor. 80 00:03:57,590 --> 00:03:59,168 Hatırlarsanız burada hangi x değerleri 81 00:03:59,168 --> 00:04:03,560 pozitif 5'ten 10 birim uzak diye sormuştuk. 82 00:04:03,560 --> 00:04:05,990 Pozitif 5'ten hangi sayıyı çıkarırsak çıkaralım 83 00:04:05,990 --> 00:04:08,560 bu iki değer de pozitif 5'ten 10 birim uzak. 84 00:04:08,560 --> 00:04:09,515 Bu da: "Hangi sayı negatif 2'den 6 birim uzak?", 85 00:04:09,515 --> 00:04:13,080 diye sormak. 86 00:04:13,080 --> 00:04:15,510 Ve, bu sayılar 4 ya da negatif 8 olacak. 87 00:04:15,510 --> 00:04:17,959 Bu değerlerin eşitliği sağlayıp sağlamadığına siz de bakabilirsiniz. 88 00:04:17,959 --> 00:04:20,459 Haydi bunlardan bir tane daha yapalım. 89 00:04:20,459 --> 00:04:25,330 Bir tane daha, bu sefer de morla yapalım. 90 00:04:25,330 --> 00:04:30,190 Diyelim ki 4x-- Bu problemi 91 00:04:30,190 --> 00:04:31,430 biraz değiştireceğim. 92 00:04:31,430 --> 00:04:33,390 4x eksi 1. 93 00:04:33,390 --> 00:04:36,583 4x eksi 1'in mutlak değeri-- aslında, 94 00:04:36,583 --> 00:04:40,200 yok böyle kalsın-- 19'a eşit. 95 00:04:40,200 --> 00:04:41,769 Yani, geçen problemdeki gibi 4x eksi 1 96 00:04:41,769 --> 00:04:47,640 19'a eşit olabilir. 97 00:04:47,640 --> 00:04:51,670 Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir. 98 00:04:51,670 --> 00:04:53,130 Çünkü bu durumda mutlak değeri aldığımızda 99 00:04:53,130 --> 00:04:54,800 yine 19 çıkacak. 100 00:04:54,800 --> 00:04:59,100 Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir. 101 00:04:59,100 --> 00:05:00,970 Sonra sadece bu denklemleri çözüyoruz. 102 00:05:00,970 --> 00:05:02,945 Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin-- bunları 103 00:05:02,945 --> 00:05:04,274 eşanlı olarak bile çözebiliriz. 104 00:05:04,274 --> 00:05:08,510 İki tarafa da 1 ekleyin, 4x eşittir 20 çıkacak. 105 00:05:08,510 --> 00:05:11,005 Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin, 4x eşittir 106 00:05:11,005 --> 00:05:15,340 negatif 18 çıkacak. 107 00:05:15,340 --> 00:05:20,210 Bunun iki tarafını da 4'e bölün, x eşittir 5. 108 00:05:20,210 --> 00:05:23,920 Bunun da iki tarafını 4'e bölün, x eşittir 109 00:05:23,920 --> 00:05:31,770 negatif 18/4, yani negatif 9/2. 110 00:05:31,770 --> 00:05:35,730 Yani x'in bu iki değeri de eşitliği sağlıyor. 111 00:05:35,730 --> 00:05:36,587 Deneyelim. 112 00:05:36,587 --> 00:05:39,580 Negatif 9/2 çarpı 4. 113 00:05:39,580 --> 00:05:41,570 Bu da negatif 18 olacak. 114 00:05:41,570 --> 00:05:44,200 Negatif 18 eksi 1 eşittir negatif 19. 115 00:05:44,200 --> 00:05:46,740 Bunun mutlak değerini alalım, 19 oluyor. 116 00:05:46,740 --> 00:05:49,920 Burada ise x yerine 5 koyuyoruz, 4 kere 5 eşittir 20. 117 00:05:49,920 --> 00:05:51,960 20 eksi 1 eşittir pozitif 19. 118 00:05:51,960 --> 00:05:53,260 Mutlak değerini alalım. 119 00:05:53,260 --> 00:05:55,920 Yine, 19 çıkacak. 120 00:05:55,920 --> 00:05:58,580 Şimdi de bunlardan birinin grafiğini çizelim, eğlencesine. 121 00:05:58,580 --> 00:05:59,283 Diyelim ki elimde y'nin x artı 3'ün mutlak değerine eşit olduğu 122 00:05:59,283 --> 00:06:04,990 bir denklem var. 123 00:06:04,990 --> 00:06:07,840 Yani bu içinde mutlak değer olan 124 00:06:07,840 --> 00:06:09,410 bir grafik ya da fonksiyon. 125 00:06:09,410 --> 00:06:11,820 Şimdi, iki durum olduğunu düşünelim. 126 00:06:11,820 --> 00:06:13,136 Bir durumda mutlak değer işaretinin içindeki değer 127 00:06:13,136 --> 00:06:16,430 pozitif olacak. 128 00:06:16,430 --> 00:06:18,873 Bu durumda ise x artı 3-- bu tarafa 129 00:06:18,873 --> 00:06:23,420 yazalım-- x artı 3, 0'dan büyük olacak. 130 00:06:23,420 --> 00:06:29,370 Ve bir de x artı 3'ün 0'dan küçük olduğu durum var. 131 00:06:29,370 --> 00:06:32,658 x artı 3 0'dan büyük olduğunda bu grafik ya da 132 00:06:32,658 --> 00:06:36,490 bu çizgi, yok çizgi değil fonksiyon 133 00:06:36,490 --> 00:06:41,690 y eşittir x artı 3 ile aynı şey. 134 00:06:41,690 --> 00:06:44,370 Eğer buradaki şey 0'dan büyükse, o zaman 135 00:06:44,370 --> 00:06:46,750 mutlak değer işareti anlamsız. 136 00:06:46,750 --> 00:06:48,780 O zaman da bu, 137 00:06:48,780 --> 00:06:50,280 y eşittir x artı 3 ile aynı şey. 138 00:06:50,280 --> 00:06:52,590 Fakat ne zaman x artı 3, 0'dan büyük? 139 00:06:52,590 --> 00:06:56,366 Eşitsizliğin iki tarafından da 3 çıkarırsak cevap 140 00:06:56,366 --> 00:06:59,910 x büyüktür negatif 3 çıkar. 141 00:06:59,910 --> 00:07:02,249 Yani x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu grafik 142 00:07:02,249 --> 00:07:08,460 y eşittir x artı 3 gibi gözükecek. 143 00:07:08,460 --> 00:07:11,500 Şimdi, x artı 3, 0'dan küçük olunca. 144 00:07:11,500 --> 00:07:13,328 Böyle bir durumda-- yani mutlak değer işaretinin içindeki 145 00:07:13,328 --> 00:07:16,509 değer negatif olduğunda-- 146 00:07:16,509 --> 00:07:20,356 bu grafiğin denklemi 147 00:07:20,356 --> 00:07:26,250 y, x artı 3'ün negatifine eşit olacak. 148 00:07:26,250 --> 00:07:27,540 Bunu nasıl bulabiliriz? 149 00:07:27,540 --> 00:07:30,520 Bakın eğer bu değer, x artı 3 150 00:07:30,520 --> 00:07:33,060 negatif bir sayı olacaksa-- 151 00:07:33,060 --> 00:07:36,010 ki bizim de şu an tahminimiz bu-- 152 00:07:36,010 --> 00:07:38,090 o zaman biz negatif bir sayının mutlak değerini aldığımızda 153 00:07:38,090 --> 00:07:40,050 onu pozitif yapmış olacağız. 154 00:07:40,050 --> 00:07:43,280 Negatif 1'le çarpmak gibi. 155 00:07:43,280 --> 00:07:45,870 Eğer negatif bir sayının mutlak değerini aldığınızı biliyorsanız 156 00:07:45,870 --> 00:07:48,890 bu, o sayıyı negatif 1'le çarpmak gibidir 157 00:07:48,890 --> 00:07:51,010 çünkü o negatif değeri pozitif yapacaksınız. 158 00:07:51,010 --> 00:07:53,870 Ve durum böyle olacak, 159 00:07:53,870 --> 00:07:55,840 x artı 3 küçüktür 0 160 00:07:55,840 --> 00:07:59,850 Eğer iki taraftan da 3 çıkarırsak, 161 00:07:59,850 --> 00:08:01,280 x küçüktür negatif 3. 162 00:08:01,280 --> 00:08:03,920 Yani x negatif 3'ten küçük olduğunda 163 00:08:03,920 --> 00:08:05,040 grafik böyle gözükecek. 164 00:08:05,040 --> 00:08:08,280 x negatif 3'ten büyük olduğunda ise 165 00:08:08,280 --> 00:08:09,600 grafik böyle gözükecek. 166 00:08:09,600 --> 00:08:11,300 Şimdi bu denklemlerin 167 00:08:11,300 --> 00:08:13,670 bütün grafiği nasıl göstereceğine bakalım. 168 00:08:13,670 --> 00:08:21,520 Eksenleri çizeyim. 169 00:08:21,520 --> 00:08:26,070 Bu x ekseni, bu da y ekseni. 170 00:08:26,070 --> 00:08:29,090 Şimdi, bunu çarpalım ki denklem 171 00:08:29,090 --> 00:08:29,870 y = mx + b formunda olsun. 172 00:08:29,870 --> 00:08:36,070 Yani bu, negatif x eksi 3'e eşit. 173 00:08:36,070 --> 00:08:37,409 Şimdi grafik genel olarak nasıl görünecek 174 00:08:37,409 --> 00:08:38,620 bir bakalım. 175 00:08:38,620 --> 00:08:42,020 Negatif x eksi 3. 176 00:08:42,020 --> 00:08:47,380 y kesişimi negatif 3, yani-- 1, 2, 3. 177 00:08:47,380 --> 00:08:51,060 Ve negatif x grafiğin eğimi aşağıya doğru demek yani 178 00:08:51,060 --> 00:08:52,290 1'in aşağıya doğru eğimi. 179 00:08:52,290 --> 00:08:53,540 Yani grafik böyle gözükecek. 180 00:08:56,840 --> 00:09:02,830 x kesişimi ise-- 181 00:09:02,830 --> 00:09:07,740 Eğer y, 0'a eşit dersek, bu eşitlik 182 00:09:07,740 --> 00:09:08,575 x negatif 3 'e eşit olursa sağlanır. 183 00:09:08,575 --> 00:09:10,380 Yani değerlerimiz bu çizgiden geçip 184 00:09:10,380 --> 00:09:11,920 tam bu noktada kesişecek. 185 00:09:11,920 --> 00:09:14,190 Ve eğer buradaki kısıtlama olmasaydı grafik 186 00:09:14,190 --> 00:09:15,600 buna benzer bir görünüme sahip olacaktı. 187 00:09:19,890 --> 00:09:22,760 Bu, eğer x ekseni belli bir aralıkla kısıtlı olmaması halinde 188 00:09:22,760 --> 00:09:23,880 grafiğin grafiğin görüntüsü 189 00:09:23,880 --> 00:09:27,080 Peki bu grafik nasıl görünüyor? 190 00:09:27,080 --> 00:09:27,480 Bakalım... 191 00:09:27,480 --> 00:09:31,810 y kesişimi pozitif 3'te. 192 00:09:31,810 --> 00:09:33,230 İşte böyle. 193 00:09:33,230 --> 00:09:35,260 Peki bunun x kesişimi neresi? 194 00:09:35,260 --> 00:09:37,970 y 0'a eşitken x eşittir negatif 3. 195 00:09:37,970 --> 00:09:39,760 Yani bu da aynı noktadan geçiyor ve 196 00:09:39,760 --> 00:09:40,620 eğimi 1. 197 00:09:40,620 --> 00:09:43,710 Yani çizdiğimizde böyle gözükecek. 198 00:09:43,710 --> 00:09:45,330 Grafik böyle gözüküyor. 199 00:09:45,330 --> 00:09:48,100 Şimdi bulduğumuz şey, içinde mutlak değer olan bir 200 00:09:48,100 --> 00:09:52,030 fonksiyonda, x negatif 3'ten küçük olduğunda 201 00:09:52,030 --> 00:09:53,830 mor grafik ortaya çıkıyor. 202 00:09:53,830 --> 00:09:57,070 Yani, x negatif üçten küçük olduğunda-- bu x eşittir 203 00:09:57,070 --> 00:09:59,593 negatif 3-- x negatif 3'ten 204 00:09:59,593 --> 00:10:03,170 küçük olduğunda buradaki mor grafik gibi gözükecek. 205 00:10:03,170 --> 00:10:04,570 İşte burada. 206 00:10:04,570 --> 00:10:07,390 Bu, x negatif 3'ten küçük olduğunda. 207 00:10:07,390 --> 00:10:10,830 Fakat x negatif 3'ten büyük olduğunda bu, 208 00:10:10,830 --> 00:10:12,160 yeşil grafik gibi gözükecek. 209 00:10:12,160 --> 00:10:14,640 Bunun gibi gözükecek. 210 00:10:14,640 --> 00:10:17,480 Yani bu grafik, garip bir v gibi gözüküyor. 211 00:10:17,480 --> 00:10:21,430 x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu pozitif. 212 00:10:21,430 --> 00:10:24,950 Yani elimizdeki grafikte bir pozitif eğimli denklem var. 213 00:10:24,950 --> 00:10:28,270 Yani x negatif 3'ten küçük olunca, 214 00:10:28,270 --> 00:10:30,550 kısaca fonksiyonun negatifini alıyoruz 215 00:10:30,550 --> 00:10:32,280 ve bu negatif eğimli denklemi elde ediyoruz. 216 00:10:32,280 --> 00:10:35,060 Yani elimizdeki v şekilli fonksiyon, 217 00:10:35,060 --> 00:10:38,250 v şekilli grafik, bu fonksiyonun mutlak değer 218 00:10:38,250 --> 00:10:39,950 içeren bir fonksiyon olduğunu gösterir.