9:59:59.000,9:59:59.000 . 9:59:59.000,9:59:59.000 . 9:59:59.000,9:59:59.000 . 9:59:59.000,9:59:59.000 . 0:00:00.590,0:00:03.880 Haydi mutlak değer ile ilgili birkaç denklem çözelim. 0:00:03.880,0:00:05.119 Sadece küçük bir tekrar olarak, bir sayının 0:00:05.119,0:00:07.650 mutlak değerini aldığınızda. 0:00:07.650,0:00:10.680 Diyelim ki negatif 1'in mutlak değerini aldım. 0:00:10.680,0:00:12.263 Asıl yaptığımız şey, "Bu sayı 0'dan ne kadar uzak?" 0:00:12.263,0:00:16.090 sorusunu sormak. 0:00:16.090,0:00:20.620 Ve negatif 1 söz konusu olduğunda, bir sayı doğrusu çizersek 0:00:20.620,0:00:23.310 işte-- bu çok kötü çizilmiş bir sayı doğrusu oldu. 0:00:23.310,0:00:26.230 İşte buraya bir sayı doğrusu çizersek, bu 0. 0:00:26.230,0:00:28.470 Ve burada da negatif 1 var. 0:00:28.470,0:00:30.230 Ve 0'dan 1 birim uzak. 0:00:30.230,0:00:33.250 Yani, negatif 1'in mutlak değeri 1. 0:00:33.250,0:00:38.850 Ve 1 de 0'dan 1 birim uzak. 0:00:38.850,0:00:40.610 Yani, 1'in mutlak değeri de 1. 0:00:40.610,0:00:43.500 Sonuç olarak mutlak değer bir sayının 0'a olan uzaklığı. 0:00:43.500,0:00:45.587 Fakat, sanrım mutlak değeri bulmanın daha kolay bir yolu 0:00:45.587,0:00:48.600 çıkan sonucun her zaman o sayının pozitif versiyonu olduğunu düşünmek. 0:00:48.600,0:00:59.360 Mesela negatif 7346'nın mutlak değeri 7346'dır. 0:00:59.360,0:01:00.779 Şimdi öğrendiklerimizi aklımızda tutarak 0:01:00.779,0:01:05.050 mutlak değerlerle ilgili birkaç denklem çözelim. 0:01:05.050,0:01:06.675 Diyelim ki bu denklemde x eksi 5'in mutlak değeri 0:01:06.675,0:01:14.500 10'a eşit. 0:01:14.500,0:01:15.895 Aslında bunu şöyle düşünmenizi istiyorum, 0:01:15.895,0:01:18.161 bu, x ve 10 arasındaki uzaklık 0:01:18.161,0:01:23.120 10 birim demek. 0:01:23.120,0:01:26.750 Yani 10, 5'ten kaç birim uzak? 0:01:26.750,0:01:29.430 Siz şimdiden bu denklemin çözümünü düşünebiliyorsunuz, 0:01:29.430,0:01:31.960 ama ben sizlere bunun nasıl sistematik bir şekilde çözüleceğini göstereceğim. 0:01:31.960,0:01:36.510 Şimdi, bu denklemdeki eşitlik iki durumda sağlanacak. 0:01:36.510,0:01:41.800 Ya x eksi 5 pozitif 10'a eşit. 0:01:41.800,0:01:44.630 Bu, pozitif 10'a eşitse 0:01:44.630,0:01:46.610 mutlak değerini aldığımızda 0:01:46.610,0:01:48.380 pozitif 10'a eşit olacak. 0:01:48.380,0:01:53.130 Ya da, x eksi 5 negatif 10'a eşit olabilir. 0:01:53.130,0:01:58.700 Eğer x eksi 5 negatif 10'a eşitse 0:01:58.700,0:01:59.950 mutlak değerini aldığımızda yine 10 olacak. 0:01:59.950,0:02:04.280 Yani, x eksi 5 negatif 10'a da eşit olabilir. 0:02:04.280,0:02:07.730 Bunların ikisi de denklemde eşitliği sağlar. 0:02:07.730,0:02:08.958 Şimdi, bunu çözmek için, 0:02:08.958,0:02:11.500 denklemin iki tarafına da 5 ekleyin. 0:02:11.500,0:02:14.160 Cevap x eşittir 15 çıkıyor. 0:02:14.160,0:02:17.830 Bunu çözmek için de denklemin iki tarafına 5 ekleyin. 0:02:17.830,0:02:20.900 x eşittir negatif 5. 0:02:20.900,0:02:21.963 Yani sonucumuz, bu eşitliği sağlayan 0:02:21.963,0:02:24.910 iki x değeri var. 0:02:24.910,0:02:26.890 x 15 olabilir. 0:02:26.890,0:02:29.502 15 eksi 5 eşittir 10, mutlak değerini alalım 0:02:29.502,0:02:32.690 10 çıkacak, ya da x negatif 5 olabilir, 0:02:32.690,0:02:36.060 Negatif 5 eksi 5 eşittir 10. 0:02:36.060,0:02:39.020 Mutlak değerini alalım, 10 çıkıyor. 0:02:39.020,0:02:41.632 Ve farkındaysanız bu iki sayı da 0:02:41.632,0:02:45.750 5'ten 10 birim uzak. 0:02:45.750,0:02:48.050 Haydi bunlardan bir tane daha yapalım. 0:02:48.050,0:02:51.130 Bir tane daha yapalım. 0:02:51.130,0:02:52.182 Diyelim ki x artı 2'nin 0:02:52.182,0:02:58.580 mutlak değeri 6. 0:02:58.580,0:02:59.610 Peki bu ne demek? 0:02:59.610,0:03:03.132 Bu, ya mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2 0:03:03.132,0:03:07.030 6'ya eşit demek. 0:03:07.030,0:03:10.380 Ya da mutlak değer işaretinin içinde olan x artı 2 0:03:10.380,0:03:12.050 negatif 6'ya eşit demek. 0:03:12.050,0:03:13.910 Bu negatif 6'ya eşitse mutlak değerini alırız 0:03:13.910,0:03:16.210 ve 6 çıkar. 0:03:16.210,0:03:20.340 Yani, x eksi 2 negatif 6 da olabilir. 0:03:20.340,0:03:22.880 Ve bu denklemin iki tarafından da 2 çıkarırsak 0:03:22.880,0:03:25.850 cevabımız x eşittir 4 olur. 0:03:25.850,0:03:29.780 Fakat, bu denklemin iki tarafından 2 çıkarırsak 0:03:29.780,0:03:33.690 cevabımız x eşittir negatif 8 olur. 0:03:33.690,0:03:37.240 Sonuç olarak bunlar bu denklemin çözümleri. 0:03:37.240,0:03:39.740 Ve bu da aklınızda kalsın, mutlak değeri 0:03:39.740,0:03:42.500 0'a olan uzaklık olarak görebilirsiniz. 0:03:42.500,0:03:43.940 Böylece bu problemi x eksi negatif 2 0:03:43.940,0:03:50.410 eşittir 6 olarak da yazabilirsiniz. 0:03:50.410,0:03:52.759 Yani bu problem bana negatif 2'den 0:03:52.759,0:03:57.590 6 birim uzak olan x değerlerini soruyor. 0:03:57.590,0:03:59.168 Hatırlarsanız burada hangi x değerleri 0:03:59.168,0:04:03.560 pozitif 5'ten 10 birim uzak diye sormuştuk. 0:04:03.560,0:04:05.990 Pozitif 5'ten hangi sayıyı çıkarırsak çıkaralım 0:04:05.990,0:04:08.560 bu iki değer de pozitif 5'ten 10 birim uzak. 0:04:08.560,0:04:09.515 Bu da: "Hangi sayı negatif 2'den 6 birim uzak?", 0:04:09.515,0:04:13.080 diye sormak. 0:04:13.080,0:04:15.510 Ve, bu sayılar 4 ya da negatif 8 olacak. 0:04:15.510,0:04:17.959 Bu değerlerin eşitliği sağlayıp sağlamadığına siz de bakabilirsiniz. 0:04:17.959,0:04:20.459 Haydi bunlardan bir tane daha yapalım. 0:04:20.459,0:04:25.330 Bir tane daha, bu sefer de morla yapalım. 0:04:25.330,0:04:30.190 Diyelim ki 4x-- Bu problemi 0:04:30.190,0:04:31.430 biraz değiştireceğim. 0:04:31.430,0:04:33.390 4x eksi 1. 0:04:33.390,0:04:36.583 4x eksi 1'in mutlak değeri-- aslında, 0:04:36.583,0:04:40.200 yok böyle kalsın-- 19'a eşit. 0:04:40.200,0:04:41.769 Yani, geçen problemdeki gibi 4x eksi 1 0:04:41.769,0:04:47.640 19'a eşit olabilir. 0:04:47.640,0:04:51.670 Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir. 0:04:51.670,0:04:53.130 Çünkü bu durumda mutlak değeri aldığımızda 0:04:53.130,0:04:54.800 yine 19 çıkacak. 0:04:54.800,0:04:59.100 Ya da 4x eksi 1 negatif 19'a eşit olabilir. 0:04:59.100,0:05:00.970 Sonra sadece bu denklemleri çözüyoruz. 0:05:00.970,0:05:02.945 Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin-- bunları 0:05:02.945,0:05:04.274 eşanlı olarak bile çözebiliriz. 0:05:04.274,0:05:08.510 İki tarafa da 1 ekleyin, 4x eşittir 20 çıkacak. 0:05:08.510,0:05:11.005 Denklemin iki tarafına da 1 ekleyin, 4x eşittir 0:05:11.005,0:05:15.340 negatif 18 çıkacak. 0:05:15.340,0:05:20.210 Bunun iki tarafını da 4'e bölün, x eşittir 5. 0:05:20.210,0:05:23.920 Bunun da iki tarafını 4'e bölün, x eşittir 0:05:23.920,0:05:31.770 negatif 18/4, yani negatif 9/2. 0:05:31.770,0:05:35.730 Yani x'in bu iki değeri de eşitliği sağlıyor. 0:05:35.730,0:05:36.587 Deneyelim. 0:05:36.587,0:05:39.580 Negatif 9/2 çarpı 4. 0:05:39.580,0:05:41.570 Bu da negatif 18 olacak. 0:05:41.570,0:05:44.200 Negatif 18 eksi 1 eşittir negatif 19. 0:05:44.200,0:05:46.740 Bunun mutlak değerini alalım, 19 oluyor. 0:05:46.740,0:05:49.920 Burada ise x yerine 5 koyuyoruz, 4 kere 5 eşittir 20. 0:05:49.920,0:05:51.960 20 eksi 1 eşittir pozitif 19. 0:05:51.960,0:05:53.260 Mutlak değerini alalım. 0:05:53.260,0:05:55.920 Yine, 19 çıkacak. 0:05:55.920,0:05:58.580 Şimdi de bunlardan birinin grafiğini çizelim, eğlencesine. 0:05:58.580,0:05:59.283 Diyelim ki elimde y'nin x artı 3'ün mutlak değerine eşit olduğu 0:05:59.283,0:06:04.990 bir denklem var. 0:06:04.990,0:06:07.840 Yani bu içinde mutlak değer olan 0:06:07.840,0:06:09.410 bir grafik ya da fonksiyon. 0:06:09.410,0:06:11.820 Şimdi, iki durum olduğunu düşünelim. 0:06:11.820,0:06:13.136 Bir durumda mutlak değer işaretinin içindeki değer 0:06:13.136,0:06:16.430 pozitif olacak. 0:06:16.430,0:06:18.873 Bu durumda ise x artı 3-- bu tarafa 0:06:18.873,0:06:23.420 yazalım-- x artı 3, 0'dan büyük olacak. 0:06:23.420,0:06:29.370 Ve bir de x artı 3'ün 0'dan küçük olduğu durum var. 0:06:29.370,0:06:32.658 x artı 3 0'dan büyük olduğunda bu grafik ya da 0:06:32.658,0:06:36.490 bu çizgi, yok çizgi değil fonksiyon 0:06:36.490,0:06:41.690 y eşittir x artı 3 ile aynı şey. 0:06:41.690,0:06:44.370 Eğer buradaki şey 0'dan büyükse, o zaman 0:06:44.370,0:06:46.750 mutlak değer işareti anlamsız. 0:06:46.750,0:06:48.780 O zaman da bu, 0:06:48.780,0:06:50.280 y eşittir x artı 3 ile aynı şey. 0:06:50.280,0:06:52.590 Fakat ne zaman x artı 3, 0'dan büyük? 0:06:52.590,0:06:56.366 Eşitsizliğin iki tarafından da 3 çıkarırsak cevap 0:06:56.366,0:06:59.910 x büyüktür negatif 3 çıkar. 0:06:59.910,0:07:02.249 Yani x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu grafik 0:07:02.249,0:07:08.460 y eşittir x artı 3 gibi gözükecek. 0:07:08.460,0:07:11.500 Şimdi, x artı 3, 0'dan küçük olunca. 0:07:11.500,0:07:13.328 Böyle bir durumda-- yani mutlak değer işaretinin içindeki 0:07:13.328,0:07:16.509 değer negatif olduğunda-- 0:07:16.509,0:07:20.356 bu grafiğin denklemi 0:07:20.356,0:07:26.250 y, x artı 3'ün negatifine eşit olacak. 0:07:26.250,0:07:27.540 Bunu nasıl bulabiliriz? 0:07:27.540,0:07:30.520 Bakın eğer bu değer, x artı 3 0:07:30.520,0:07:33.060 negatif bir sayı olacaksa-- 0:07:33.060,0:07:36.010 ki bizim de şu an tahminimiz bu-- 0:07:36.010,0:07:38.090 o zaman biz negatif bir sayının mutlak değerini aldığımızda 0:07:38.090,0:07:40.050 onu pozitif yapmış olacağız. 0:07:40.050,0:07:43.280 Negatif 1'le çarpmak gibi. 0:07:43.280,0:07:45.870 Eğer negatif bir sayının mutlak değerini aldığınızı biliyorsanız 0:07:45.870,0:07:48.890 bu, o sayıyı negatif 1'le çarpmak gibidir 0:07:48.890,0:07:51.010 çünkü o negatif değeri pozitif yapacaksınız. 0:07:51.010,0:07:53.870 Ve durum böyle olacak, 0:07:53.870,0:07:55.840 x artı 3 küçüktür 0 0:07:55.840,0:07:59.850 Eğer iki taraftan da 3 çıkarırsak, 0:07:59.850,0:08:01.280 x küçüktür negatif 3. 0:08:01.280,0:08:03.920 Yani x negatif 3'ten küçük olduğunda 0:08:03.920,0:08:05.040 grafik böyle gözükecek. 0:08:05.040,0:08:08.280 x negatif 3'ten büyük olduğunda ise 0:08:08.280,0:08:09.600 grafik böyle gözükecek. 0:08:09.600,0:08:11.300 Şimdi bu denklemlerin 0:08:11.300,0:08:13.670 bütün grafiği nasıl göstereceğine bakalım. 0:08:13.670,0:08:21.520 Eksenleri çizeyim. 0:08:21.520,0:08:26.070 Bu x ekseni, bu da y ekseni. 0:08:26.070,0:08:29.090 Şimdi, bunu çarpalım ki denklem 0:08:29.090,0:08:29.870 y = mx + b formunda olsun. 0:08:29.870,0:08:36.070 Yani bu, negatif x eksi 3'e eşit. 0:08:36.070,0:08:37.409 Şimdi grafik genel olarak nasıl görünecek 0:08:37.409,0:08:38.620 bir bakalım. 0:08:38.620,0:08:42.020 Negatif x eksi 3. 0:08:42.020,0:08:47.380 y kesişimi negatif 3, yani-- 1, 2, 3. 0:08:47.380,0:08:51.060 Ve negatif x grafiğin eğimi aşağıya doğru demek yani 0:08:51.060,0:08:52.290 1'in aşağıya doğru eğimi. 0:08:52.290,0:08:53.540 Yani grafik böyle gözükecek. 0:08:56.840,0:09:02.830 x kesişimi ise-- 0:09:02.830,0:09:07.740 Eğer y, 0'a eşit dersek, bu eşitlik 0:09:07.740,0:09:08.575 x negatif 3 'e eşit olursa sağlanır. 0:09:08.575,0:09:10.380 Yani değerlerimiz bu çizgiden geçip 0:09:10.380,0:09:11.920 tam bu noktada kesişecek. 0:09:11.920,0:09:14.190 Ve eğer buradaki kısıtlama olmasaydı grafik 0:09:14.190,0:09:15.600 buna benzer bir görünüme sahip olacaktı. 0:09:19.890,0:09:22.760 Bu, eğer x ekseni belli bir aralıkla kısıtlı olmaması halinde 0:09:22.760,0:09:23.880 grafiğin grafiğin görüntüsü 0:09:23.880,0:09:27.080 Peki bu grafik nasıl görünüyor? 0:09:27.080,0:09:27.480 Bakalım... 0:09:27.480,0:09:31.810 y kesişimi pozitif 3'te. 0:09:31.810,0:09:33.230 İşte böyle. 0:09:33.230,0:09:35.260 Peki bunun x kesişimi neresi? 0:09:35.260,0:09:37.970 y 0'a eşitken x eşittir negatif 3. 0:09:37.970,0:09:39.760 Yani bu da aynı noktadan geçiyor ve 0:09:39.760,0:09:40.620 eğimi 1. 0:09:40.620,0:09:43.710 Yani çizdiğimizde böyle gözükecek. 0:09:43.710,0:09:45.330 Grafik böyle gözüküyor. 0:09:45.330,0:09:48.100 Şimdi bulduğumuz şey, içinde mutlak değer olan bir 0:09:48.100,0:09:52.030 fonksiyonda, x negatif 3'ten küçük olduğunda 0:09:52.030,0:09:53.830 mor grafik ortaya çıkıyor. 0:09:53.830,0:09:57.070 Yani, x negatif üçten küçük olduğunda-- bu x eşittir 0:09:57.070,0:09:59.593 negatif 3-- x negatif 3'ten 0:09:59.593,0:10:03.170 küçük olduğunda buradaki mor grafik gibi gözükecek. 0:10:03.170,0:10:04.570 İşte burada. 0:10:04.570,0:10:07.390 Bu, x negatif 3'ten küçük olduğunda. 0:10:07.390,0:10:10.830 Fakat x negatif 3'ten büyük olduğunda bu, 0:10:10.830,0:10:12.160 yeşil grafik gibi gözükecek. 0:10:12.160,0:10:14.640 Bunun gibi gözükecek. 0:10:14.640,0:10:17.480 Yani bu grafik, garip bir v gibi gözüküyor. 0:10:17.480,0:10:21.430 x negatif 3'ten büyük olduğunda, bu pozitif. 0:10:21.430,0:10:24.950 Yani elimizdeki grafikte bir pozitif eğimli denklem var. 0:10:24.950,0:10:28.270 Yani x negatif 3'ten küçük olunca, 0:10:28.270,0:10:30.550 kısaca fonksiyonun negatifini alıyoruz 0:10:30.550,0:10:32.280 ve bu negatif eğimli denklemi elde ediyoruz. 0:10:32.280,0:10:35.060 Yani elimizdeki v şekilli fonksiyon, 0:10:35.060,0:10:38.250 v şekilli grafik, bu fonksiyonun mutlak değer 0:10:38.250,0:10:39.950 içeren bir fonksiyon olduğunu gösterir.