0:00:00.590,0:00:03.880
Vi skal lage noen ligninger som inneholder absolutte verdier.

0:00:03.880,0:00:05.119
La oss gjenoppfriske hva det vil si,

0:00:05.119,0:00:07.650
når vi tar den absolutte verdien av et tall.

0:00:07.650,0:00:10.680
La oss si at vi skal finne den absolutte verdien av [br]minus 1.

0:00:10.680,0:00:12.263
Vi skal spørre oss selv

0:00:12.263,0:00:16.090
hvor langt tallet er fra 0.

0:00:16.090,0:00:20.620
Vi tegner en tallinje

0:00:20.620,0:00:23.310
Vi tegner en tallinje

0:00:23.310,0:00:26.230
Dette er 0.

0:00:26.230,0:00:28.470
Dette er minus 1.

0:00:28.470,0:00:30.230
Minus 1 er 1 plass fra 0.

0:00:30.230,0:00:33.250
Den absolutte verdien av minus 1 er altså 1.

0:00:33.250,0:00:38.850
Den absolutte verdien av 1 er også 1.[br]1 er også 1 plass fra 0.

0:00:38.850,0:00:40.610
Det er også lik 1.

0:00:40.610,0:00:43.500
Den absolute verdien er altså,[br]hvor mange plasser taller er fra 0.

0:00:43.500,0:00:45.587
En litt enklere måte å tenke på er

0:00:45.587,0:00:48.600
at det alltid ender med å bli[br]den positive versjonen av tallet.

0:00:48.600,0:00:59.360
Den absolutte verdien av minus 7346 er lik 7346.

0:00:59.360,0:01:00.779
Det skal vi huske

0:01:00.779,0:01:05.050
når vi løser ligninger med absolutte verdier.

0:01:05.050,0:01:06.675
Vi har ligningen

0:01:06.675,0:01:14.500
den absolutte verdi av X minus 5 er lik 10.

0:01:14.500,0:01:15.895
En måte vi kan tenke på er

0:01:15.895,0:01:18.161
at det betyr

0:01:18.161,0:01:23.120
at avstanden mellom X og 5 er lik 10.

0:01:23.120,0:01:26.750
Hvor mange taller 10 plasser fra 5?

0:01:26.750,0:01:29.430
Vi kan allerede gjette løsningen.

0:01:29.430,0:01:31.960
Men vi gjør det systematisk.

0:01:31.960,0:01:36.510
I to tilfeller vil X være 10 plasser vekk fra 5.

0:01:36.510,0:01:41.800
Enten er X lik minus 5 eller 10.

0:01:41.800,0:01:44.630
Hvis det er 10,

0:01:44.630,0:01:46.610
får vi 10

0:01:46.610,0:01:48.380
når vi tar den absolutte verdien av det.

0:01:48.380,0:01:53.130
Når X er minus 5, blir det minus 10.

0:01:53.130,0:01:58.700
Når vi tar den absolutte verdien av minus 10,

0:01:58.700,0:01:59.950
får vi igjen 10.

0:01:59.950,0:02:04.280
X minus 5 kan altså være lik minus 10.

0:02:04.280,0:02:07.730
Både 10 og minus 5 passer som løsning på ligningen.

0:02:07.730,0:02:08.958
For å løse den,

0:02:08.958,0:02:11.500
legger vi til 5 på begge sider av erliktegnet.

0:02:11.500,0:02:14.160
Vi får x er lik 15.

0:02:14.160,0:02:17.830
Vi legger altså til 5 på begge sider av denne ligningen.

0:02:17.830,0:02:20.900
X er lik minus 5.

0:02:20.900,0:02:21.963
Vi tegner en tallinje

0:02:21.963,0:02:24.910
Det er altså to x-verdier som passer [br]som løsning på ligningen.

0:02:24.910,0:02:26.890
X kan være 15.

0:02:26.890,0:02:29.502
15 minus 5 er lik 10, [br]og finner vi den absolutte verdien,

0:02:29.502,0:02:32.690
får vi 10.[br]X kan også være minus 5.

0:02:32.690,0:02:36.060
minus 5, minus 5 erlik minus 10.

0:02:36.060,0:02:39.020
Tar vi den absolutte verdien av det,[br]får vi 10.

0:02:39.020,0:02:41.632
Begge tallene er akkurat

0:02:41.632,0:02:45.750
10 plasser fra tallet 5.

0:02:45.750,0:02:48.050
La oss løse en til.

0:02:48.050,0:02:51.130
Vi lager en ligning til.

0:02:51.130,0:02:52.182
Vi har ligningen

0:02:52.182,0:02:58.580
den absolutte verdi av X pluss 2 er lik 6.

0:02:58.580,0:02:59.610
Hva forteller det oss?

0:02:59.610,0:03:03.132
Det forteller oss

0:03:03.132,0:03:07.030
at x pluss 2, som står som den absolutte verdi,[br]kan være lik 6.

0:03:07.030,0:03:10.380
Det forteller oss også

0:03:10.380,0:03:12.050
at x pluss 2 kan være lik minus 6.

0:03:12.050,0:03:13.910
Hvis det blir minus 6,

0:03:13.910,0:03:16.210
og vi tar den absolutte verdi av det,[br]får vi 6.

0:03:16.210,0:03:20.340
X pluss 2 kan altså være lik minus 6.

0:03:20.340,0:03:22.880
Vi trekker fra 2 på begge sider,

0:03:22.880,0:03:25.850
og x kan nå være lik 4.

0:03:25.850,0:03:29.780
Når vi har trukket fra 2 på begge sider,

0:03:29.780,0:03:33.690
kan X også være lik minus 8.

0:03:33.690,0:03:37.240
Det er altså de to løsningene til ligningen.

0:03:37.240,0:03:39.740
Vi skal huske at den absolutte veriden

0:03:39.740,0:03:42.500
kan ses som avstanden fra 0.

0:03:42.500,0:03:43.940
Vi kan skrive om oppgaven

0:03:43.940,0:03:50.410
til den absolutte verdi av X minus, minus 2 er lik 6.

0:03:50.410,0:03:52.759
Vi skal altså finne ut av

0:03:52.759,0:03:57.590
hvilke X-verdier som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.

0:03:57.590,0:03:59.168
Her oppe spurte vi,

0:03:59.168,0:04:03.560
hvilke X-verdier som er akkurat ti plasser vekk fra 5.

0:04:03.560,0:04:05.990
Uansett hvilket tall vi trekker fra 5,

0:04:05.990,0:04:08.560
vil begge tallene være ti plasser vekk fra 5.

0:04:08.560,0:04:09.515
Denne spør

0:04:09.515,0:04:13.080
hva som er akkurat seks plasser vekk fra minus 2.

0:04:13.080,0:04:15.510
Det vil ensten være 4 eller minus 8.

0:04:15.510,0:04:17.959
Man kan selv prøve av tallene.

0:04:17.959,0:04:20.459
La oss lage en til.

0:04:20.459,0:04:25.330
Vi lager en i lilla.

0:04:25.330,0:04:30.190
Til å begynne med har vi den absolutte verdi av 4x.

0:04:30.190,0:04:31.430
Vi føyer til litt i oppgaven.

0:04:31.430,0:04:33.390
4x minus 1.

0:04:33.390,0:04:36.583
Den absolutte verdien av 4x minus 1

0:04:36.583,0:04:40.200
er lik 19.

0:04:40.200,0:04:41.769
Akkurat som i de forrige oppgavene

0:04:41.769,0:04:47.640
kan 4x minus 1 være lik 19.

0:04:47.640,0:04:51.670
Det kan også være lik minus 19.

0:04:51.670,0:04:53.130
Når vi tar den absolutte verdi av det,

0:04:53.130,0:04:54.800
er svaret 19 igjen.

0:04:54.800,0:04:59.100
4x minus 1 kan altså også være lik minus 19.

0:04:59.100,0:05:00.970
Nå løser vi de to ligningene.

0:05:00.970,0:05:02.945
Vi legger 1 til å begge sider av erliktegnet.

0:05:02.945,0:05:04.274
Det gjør vi på begge ligningene.

0:05:04.274,0:05:08.510
Her legger vi til 1 på begge sider,[br]og nå er 4 x lik med 20.

0:05:08.510,0:05:11.005
Her legger vi også til 1 på begge sider,

0:05:11.005,0:05:15.340
og nå er 4 x lik med minus 18.

0:05:15.340,0:05:20.210
Nå dividerer vi begge sider med 4,[br]og x er lik 5.

0:05:20.210,0:05:23.920
Her dividerer vi også begge sider med 4,

0:05:23.920,0:05:31.770
og x er lik minus 18/4, [br]det er det samme som minus 9/2.

0:05:31.770,0:05:35.730
Begge x-verdiene passer inn i ligningen.

0:05:35.730,0:05:36.587
Vi prøver.

0:05:36.587,0:05:39.580
Minus 9/2 ganer 4.

0:05:39.580,0:05:41.570
Det blir minus 18.

0:05:41.570,0:05:44.200
Minus 18, minus 1 er lik minus 19.

0:05:44.200,0:05:46.740
Vi tar den absolutte verdien av minus 19, og får 19.

0:05:46.740,0:05:49.920
Vi setter inn 5 her.[br]4 ganger 5 er 20.

0:05:49.920,0:05:51.960
20 minus 1 er 19.

0:05:51.960,0:05:53.260
Vi tar den absolutte verdien av det.

0:05:53.260,0:05:55.920
Igjen blir det 19.

0:05:55.920,0:05:58.580
La oss for morro skyld tenge en av dem her.

0:05:58.580,0:05:59.283
Vi tegner en tallinje

0:05:59.283,0:06:04.990
Vi vet at Y er lik med den absolutte verdien av x pluss 3.

0:06:04.990,0:06:07.840
Det er altså en funksjon, eller en graf,

0:06:07.840,0:06:09.410
som inneholder en absolutt verdi.

0:06:09.410,0:06:11.820
La oss tenke på to muligheter.

0:06:11.820,0:06:13.136
Den ene muligheten er

0:06:13.136,0:06:16.430
at tallet i den absolutte verdien er positiv.

0:06:16.430,0:06:18.873
at tallet i den absolutte verdien er positiv.

0:06:18.873,0:06:23.420
Vi skriver det her. [br]X pluss 3 er større enn 0.

0:06:23.420,0:06:29.370
Det er også en mulighet for at x pluss 3 er mindre enn 0.

0:06:29.370,0:06:32.658
Når X plus 3 er større enn 0,

0:06:32.658,0:06:36.490
er denen Grafen eller fuksjonen

0:06:36.490,0:06:41.690
det samme som y er lik x pluss 3.

0:06:41.690,0:06:44.370
Hvis dette er større enn 0,

0:06:44.370,0:06:46.750
er den absolutte verdien irrelevant.

0:06:46.750,0:06:48.780
I så fall er dette det samme som

0:06:48.780,0:06:50.280
Y er lik X pluss 3.

0:06:50.280,0:06:52.590
Når er X pluss 3 over 0?

0:06:52.590,0:06:56.366
Vi trekker fra 3 på begge sider,[br]og så står det

0:06:56.366,0:06:59.910
at X er større enn minus 3.

0:06:59.910,0:07:02.249
Når X er større enn minus 3,

0:07:02.249,0:07:08.460
vil grafen se ut som hvis det var[br]Y er lik X pluss 3.

0:07:08.460,0:07:11.500
Nå ser vi på når X pluss 3 er mindre enn 0.

0:07:11.500,0:07:13.328
Når tallet mellom tegnene

0:07:13.328,0:07:16.509
for absolutt verdi er negativt

0:07:16.509,0:07:20.356
kommer ligningen tl å si

0:07:20.356,0:07:26.250
at Y er lik den negative versjonen av X pluss 3.

0:07:26.250,0:07:27.540
Hvordan vet vi det?

0:07:27.540,0:07:30.520
Hvis vi går ut fra

0:07:30.520,0:07:33.060
at X pluss 3 gir et negativt tall,

0:07:33.060,0:07:36.010
tar vi den absolutte verdi av det,

0:07:36.010,0:07:38.090
Og så blir det til et positivt tall.

0:07:38.090,0:07:40.050
Og så blir det til et positivt tall.

0:07:40.050,0:07:43.280
Det er akkurat som å gange med minus 1.

0:07:43.280,0:07:45.870
Hvis vi tar den absolutte verdien av et negativt tall,

0:07:45.870,0:07:48.890
er det akkurat som å gange tallet med minus 1.

0:07:48.890,0:07:51.010
På den måten blir det positivt.

0:07:51.010,0:07:53.870
Det er situasjonen her.

0:07:53.870,0:07:55.840
X pluss 3, er mindre enn 0.

0:07:55.840,0:07:59.850
Vi trekker fra 3 på begge sider,

0:07:59.850,0:08:01.280
og så er X mindre enn minus 3.

0:08:01.280,0:08:03.920
Når X er mindre enn minus 3,

0:08:03.920,0:08:05.040
ser grafen sånn ut.

0:08:05.040,0:08:08.280
Når X er større enn minus 3,

0:08:08.280,0:08:09.600
ser grafen sånn ut.

0:08:09.600,0:08:11.300
La oss se

0:08:11.300,0:08:13.670
hvordan hele grafen ser ut.

0:08:13.670,0:08:21.520
Vi tegner aksene våres.

0:08:21.520,0:08:26.070
Dette er X-aksen,[br]og dette er Y-aksen.

0:08:26.070,0:08:29.090
Vi ganger det ut,

0:08:29.090,0:08:29.870
så vi har det i forman av ax pluss b

0:08:29.870,0:08:36.070
Dette er lik minus x, minus 3.

0:08:36.070,0:08:37.409
La oss finne ut av,

0:08:37.409,0:08:38.620
hvordan hele grafen ser ut.

0:08:38.620,0:08:42.020
Minus x minus 3.

0:08:42.020,0:08:47.380
Skjæringspunktet på y aksen, [br]er minus 3. 1,2,3.

0:08:47.380,0:08:51.060
Minus x betyr at grafen helder nedover.

0:08:51.060,0:08:52.290
Den har en negativ helding på 1.

0:08:52.290,0:08:53.540
Den ser sånn ut.

0:08:56.840,0:09:02.830
Den ser sånn ut.

0:09:02.830,0:09:07.740
Hvis vi sier at Y er lik 0,

0:09:07.740,0:09:08.575
skjærer Grafen x-aksen, der for x er minus 3.

0:09:08.575,0:09:10.380
Det er altså igjennom

0:09:10.380,0:09:11.920
dette punktet.

0:09:11.920,0:09:14.190
Hvis vi ikke hadde dette kravet,

0:09:14.190,0:09:15.600
så grafen sånn ut.

0:09:19.890,0:09:22.760
Dette er hvis vi ikke begrenser den

0:09:22.760,0:09:23.880
til et bestemt interval på X-aksen.

0:09:23.880,0:09:27.080
Hvordan der grafen ut?

0:09:27.080,0:09:27.480
La oss se.

0:09:27.480,0:09:31.810
Skjæringspunktet på y-aksen er 3.

0:09:31.810,0:09:33.230
Her.

0:09:33.230,0:09:35.260
Hvor skjærer Grafen x-aksen?

0:09:35.260,0:09:37.970
Det gjør den , når y er lik 0.[br]Så x er lik minus 3.

0:09:37.970,0:09:39.760
Det går altså også igjennom dette punktet.

0:09:39.760,0:09:40.620
Og heldingen er på 1.

0:09:40.620,0:09:43.710
Den ser cirka sånn her ut.

0:09:43.710,0:09:45.330
Dette er sånn som gafen ser ut.

0:09:45.330,0:09:48.100
Nå har vi funnet ut av at denne [br]funksjonen med absolutt verdi

0:09:48.100,0:09:52.030
ser ut som denne lilla grafen,

0:09:52.030,0:09:53.830
når x er mindre enn minus 3.

0:09:53.830,0:09:57.070
Dette er der hvor X er lik minus 3.

0:09:57.070,0:09:59.593
Når x er mindre enn minus 3,

0:09:59.593,0:10:03.170
ser grafen ut som denne lilla.

0:10:03.170,0:10:04.570
ser grafen ut som denne lilla.

0:10:04.570,0:10:07.390
Dette er når X er mindre enn minus 3.

0:10:07.390,0:10:10.830
Når x er større enn minus 3,

0:10:10.830,0:10:12.160
ser funksjonen ut som den grønne grafen.

0:10:12.160,0:10:14.640
Den ser sånn ut.

0:10:14.640,0:10:17.480
Grafen ligner altså en underlig V.

0:10:17.480,0:10:21.430
Når X er større enn minus 3, [br]er denne positiv.

0:10:21.430,0:10:24.950
Heldingen er positiv.

0:10:24.950,0:10:28.270
Når X er mindre enn minus 3,

0:10:28.270,0:10:30.550
tar vi i virkeligheten den negative funksjonen.

0:10:30.550,0:10:32.280
Heldingen er negativ.

0:10:32.280,0:10:35.060
Funksjonen er altså formet som en v,

0:10:35.060,0:10:38.250
og når den er det betyr det

0:10:38.250,0:10:39.950
at det er en funksjon med en absolutt verdi.