WEBVTT

00:00:00.590 --> 00:00:03.880
მოდით რამდენიმე 
მოდულიანი განტოლება გავაკეთოთ.

00:00:03.880 --> 00:00:07.629
ამასთანავე, ცოტათი მიმოვიხილოთ
რიცხვის მოდული.

00:00:07.659 --> 00:00:10.680
ვთქვათ გვაქვს მინუს ერთი მოდულში,

00:00:10.680 --> 00:00:16.053
სინამდვილეში მოდულში ჩაწერა გვეუბნება, თუ
რამდენად შორს არის ეს რიცხვი ნულიდან

00:00:16.090 --> 00:00:20.620
განვიხილოთ მინუს ერთი, რისთვისაც
დავხაზოთ რიცხვითი წრფე.

00:00:20.620 --> 00:00:23.310
ეს ძალიან ცუდად დახატული რიცხვითი წრფეა.

00:00:23.310 --> 00:00:26.230
თუ აქ დავხაზავ რიცხვით წრფეს,
ეს იქნება ნული,

00:00:26.230 --> 00:00:28.470
მინუს ერთი გვექნება აქ.

00:00:28.470 --> 00:00:30.230
გამოვა, ის ნულიდან
ერთითაა დაშორებული.

00:00:30.230 --> 00:00:33.250
გამოვიდა, რომ მინუს ერთი
მოდულში არის ერთი.

00:00:33.250 --> 00:00:38.850
ერთი მოდულში ასევე ერთი 
ერთეულითაა დაშირებული ნულიდან.

00:00:38.850 --> 00:00:40.610
ის ასევე ერთს უდრის.

00:00:40.610 --> 00:00:43.500
მოდული არის მანძილი ნულიდან.

00:00:43.500 --> 00:00:45.587
ვფიქრობ, არსებობს უფრო მარტივი განმარტება,

00:00:45.587 --> 00:00:48.790
შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის ყოველთვის
ასახავს რიცხვის დადებითი ვერსიას.

00:00:48.790 --> 00:00:59.360
მინუს 7,346-ის მოდული უდრის 7,346-ს.

00:00:59.360 --> 00:01:05.029
მოდით ვცადოთ მოდულიანი
განტოლებების ამოხსნა.

00:01:05.059 --> 00:01:06.675
ვთქვათ მაქვს შემდეგი განტოლება:

00:01:06.675 --> 00:01:14.500
x–ს მინუს ხუთის მოდული უდრის ათს.

00:01:14.500 --> 00:01:16.285
შეგვიძლია ეს განტოლება გავამარტივოთ.

00:01:16.285 --> 00:01:23.121
დაფიქრდით ამაზე, ეს განტოლება გვეუბნება,
რომ მანძილი x -სა და ხუთს შორის არის ათი.

00:01:23.121 --> 00:01:26.750
ზუსტად რამდენი რიცხვია 
ხუთიდან ათი ერთეულით დაშორებული?

00:01:26.750 --> 00:01:29.430
შეგიძლიათ უკვე იფიქროთ 
ამ განტოლების ამონახსენზე,

00:01:29.430 --> 00:01:31.960
მაგრამ გაჩვენებთ, თუ როგორ 
ამოხსნათ იგი სისტემურად.

00:01:31.960 --> 00:01:36.510
ეს განტოლება ჭეშმარიტია ორ შემთხვევაში.

00:01:36.510 --> 00:01:44.630
x მინუს ხუთი უდრის დადებით ათს, მაშინ,
როდესაც მოდული გამოსახავს დადებით ათს.

00:01:44.630 --> 00:01:48.350
დადებითი ათის აღებისას,
მისი მოდული ათი იქნება.

00:01:48.380 --> 00:01:53.130
x–ს მინუს ხუთი მოდულში
შეიძლება გამოსახავდეს მინუს ათსაც.

00:01:53.130 --> 00:01:59.890
თუკი x–ს მინუს ხუთი გამოსახავს მინუს ათს,
მისი მოდული ათი იქნება.

00:01:59.950 --> 00:02:04.280
x–ს მინუს ხუთი მოდულში,
ასევე შეიძლება უდრიდეს მინუს ათს.

00:02:04.280 --> 00:02:07.730
ორივე მათგანი 
დააკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

00:02:07.730 --> 00:02:11.468
განტოლების ამოსახსნელად, განტოლების
ორივე მხარეს დავუმატოთ ხუთი.

00:02:11.500 --> 00:02:14.160
მივიღებთ, რომ x უდრის 15-ს.

00:02:14.160 --> 00:02:17.830
ამის ამოსახსნელად განტოლების
ორივე მხარეს დავუმატოთ ხუთი.

00:02:17.830 --> 00:02:20.900
x უდრის მინუს ხუთს.

00:02:20.900 --> 00:02:24.883
მაშ ასე, ჩვენი ამონახსნი აქ არის ორი x და
ეს აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

00:02:24.910 --> 00:02:26.890
x შეიძლება იყოს 15.

00:02:26.890 --> 00:02:29.502
15–ს მინუს ხუთი არის ათი, 
ავიღოთ მისი მოდული.

00:02:29.502 --> 00:02:32.690
მივიღებთ ათს ან 
x შეიძლება იყოს მინუს ხუთს.

00:02:32.690 --> 00:02:36.060
მინუს ხუთს მინუსხუთი არის მინუს ათი.

00:02:36.060 --> 00:02:39.020
ამის მოდულის აღებისას ვიღებთ ათს.

00:02:39.020 --> 00:02:45.702
ორივე ეს რიცხვი, ზუსტად ათი ერთეულითაა
დაშორებული ხუთიდან.

00:02:45.770 --> 00:02:51.130
სხვა განტოლება გავაკეთოთ.

00:02:51.130 --> 00:02:58.562
ვთქვათ გვაქვს შემდეგი განტოლება:
x-ს ოლუს ორის მოდული უდრის ექვსს.

00:02:58.580 --> 00:02:59.610
რას გვეუბნება ეს?

00:02:59.610 --> 00:03:06.962
ეს გვეუბნება რომ x–ს პლუს ორის
მოდულის შიდა რიცხვუ უდრის ექვსს.

00:03:07.030 --> 00:03:11.990
ან მოდულის შიგნითა რიცხვი:
x–ს პლუს ორი შეიძლება უდრიდეს მინუს ექვსს.

00:03:12.050 --> 00:03:16.130
თუკი ეს მთლიანი რიცხვი გამოსახავს 
მინუს ექვსს, მისი მოდული ექვსი იქნება.

00:03:16.210 --> 00:03:20.340
x–ს პლუს ორი შეიძლება უდრიდს მინუს ექვსს.

00:03:20.340 --> 00:03:25.770
თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ
ორს, მივიღებთ, რომ x შეიძლება იყოს ოთხი.

00:03:25.850 --> 00:03:33.540
ან თუ ამ განტოლების ორივე მხარეს
გამოვაკლებთ ორს, x შეიძლება მინუს რვა იყოს

00:03:33.690 --> 00:03:37.240
ეს არის ამ განტოლების ორი ამონახსნი.

00:03:37.240 --> 00:03:42.410
რათა უფრო ნათელი გახდეს, თუ რა არის
მოდული, ის მანძილად შეიძლება განვიხილოთ.

00:03:42.500 --> 00:03:52.680
შეგიძლიათ ხელახლა ჩაწეროთ ეს ამოცანა:
x–ს მინუს მინუს ორი უდრის ექვსს.

00:03:52.759 --> 00:03:57.590
რა რიცხვია x, რომელიც ზუსტად ექვსი
ერთეულითაა დაშორებული მინუს ორიდან?

00:03:57.590 --> 00:04:03.418
დაიმახსოვრეთ, ჩვენ ვთქვით, თუ რა რიცხვია
ზუსტად ათი ერთეულით დაშორებული ხუთიდან.

00:04:03.560 --> 00:04:05.990
ნებისმიერი რიცხვი, რომელსაც
გამოაკლებთ ხუთს.

00:04:05.990 --> 00:04:08.560
ორივე ამონახსნი ხუთიდან
დაშორებული იქნება ათი ერთეულით.

00:04:08.560 --> 00:04:09.515
ამოცანა მეკითხება:

00:04:09.515 --> 00:04:13.080
რა რიცხვია X, რომელიც ზუსტად
ექვსი ერთეულითაა დაშორებული მინუს ორიდან?

00:04:13.080 --> 00:04:15.510
ესენი იქნება ოთხი ან მინუს რვა.

00:04:15.510 --> 00:04:17.959
შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ეს რიცხვები.

00:04:17.959 --> 00:04:20.459
მოდით კიდევ გავაკეთოთ ერთ–ერთი მათგანი.

00:04:20.459 --> 00:04:25.330
მეორე ამოცანა გავაკეთოთ,
დავწეროთ ის წითლად.

00:04:25.330 --> 00:04:30.190
ვთქვათ რომ ჩვენ გვაქვს 4x-ის მოდული.

00:04:30.190 --> 00:04:31.430
ოდნავ შევცვალოთ ეს ამოცანა.

00:04:31.430 --> 00:04:33.390
4x მინუს ერთი.

00:04:33.390 --> 00:04:40.113
4x–ს მინუს ერთის მოდული უდრის 19–ს.

00:04:40.200 --> 00:04:47.549
ბოლო ამოცანის მსგავსად,
4x–ს მინუს ერთი შეიძლება იყოს 19,

00:04:47.640 --> 00:04:51.670
ან 4x–ს მინუს ერთი 
შეიძლება იყოს მინუს 19.

00:04:51.670 --> 00:04:54.730
ორივე შემთხვევაში მისი მოდული 19 იქნება

00:04:54.800 --> 00:04:59.100
ანუ 4x–ს მინუს ერთი იქნება 
ან 19 ან მინუს 19.

00:04:59.100 --> 00:05:00.970
უბრალოდ უნდა ამოვხსნათ ეს ორ განტოლება.

00:05:00.970 --> 00:05:02.945
დავუმატოთ ერთი განტოლების ორივე მხარეს

00:05:02.945 --> 00:05:04.674
შეგვიძლია ეს ერთდროულადაც გავაკეთოთ.

00:05:04.674 --> 00:05:08.510
ამ განტოლების ორივე მხარისთვის 
ერთის დამატებით ვიღებთ: 4x უდრის 20–ს.

00:05:08.510 --> 00:05:15.275
ამ განტოლების ორივე მხარისთვის ერთის
დამატებით ვღებთ: 4x უდრის მინუს 18–ს.

00:05:15.340 --> 00:05:20.210
ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ ოთხზე,
მივიღებთ რომ ის არის ხუთის ტოლი.

00:05:20.210 --> 00:05:23.920
ამ განტოლების ორივე მხარის ოთხზე თუ 
გავყოფთ, მივიღებთ: x უდრის მინუს 18/4–ს.

00:05:23.920 --> 00:05:31.770
მინუს 18/4 იგივე მინუს 9/2–ია.

00:05:31.770 --> 00:05:35.730
x–ის ორივე სიდიდე
აკმაყოფოლიებს განტოლებას.

00:05:35.730 --> 00:05:36.587
შევამოწმოთ.

00:05:36.587 --> 00:05:41.520
მინუს 9/2 გამრავლებული ოთხზე
იქნება მინუს 18.

00:05:41.610 --> 00:05:44.200
მინუს 18–ს გამოვაკლოთ
ერთი არის მინუს 19.

00:05:44.200 --> 00:05:46.740
ავიღოთ მინუს 19-ის მოდული,
მივიღებთ 19-ს.

00:05:46.740 --> 00:05:49.920
დავსვათ აქ ხუთი:
ოთხჯერ ხუთი არის 20.

00:05:49.920 --> 00:05:51.960
20–ს მინუს ერთი არის დადებითი 19.

00:05:51.960 --> 00:05:55.870
აქაც ავიღოთ ამის მოდული
და ისევ მივიღებთ 19–ს.

00:05:55.920 --> 00:05:58.580
მოდით გართობის მიზნით ვცადოთ
და გრაფიკი დავხაზოთ.

00:05:58.580 --> 00:06:04.983
ვთქვათ გვაქვს y არის 
x-ს პლუს სამის მოდული.

00:06:04.990 --> 00:06:09.360
მაშ ასე, ეს არის ფუნქცია ან გრაფიკი,
რომელშიც გვაქვს მოდული.

00:06:09.410 --> 00:06:11.820
მოდით ვიფიქროთ ორ შემთხვევაზე.

00:06:11.820 --> 00:06:18.786
ეს არის პირველი შემთხვევა:
მოდულის შიგნით სიდიდე დადებითია.

00:06:18.873 --> 00:06:23.420
აი აქ ჩავწერ:
x–ს პლუს სამი მეტია ნულზე.

00:06:23.420 --> 00:06:29.370
სხვა შემთხვევაში,
x პლუს სამი ნაკლებია ნულზე.

00:06:29.370 --> 00:06:36.478
როდესაც x–ს პლუს სამი მეტია ნულზე,
ეს გრაფიკი, ან ეს ხაზი––

00:06:36.508 --> 00:06:41.690
ეს ფუნქცია იგივეა, 
რაც y უდრის x–ს პლუს სამს.

00:06:41.690 --> 00:06:46.710
თუკი ეს რაღაცა მეტია ნულზე,
მაშინ მოდულის ნიშანი უმნიშვნელოა.

00:06:46.750 --> 00:06:50.200
ეს იგივეა, რაც y უდრის x–ს პლუს სამი.

00:06:50.280 --> 00:06:52.590
მაგრამ, როდესაც x–ს პლუს სამი ნულზე მეტია?

00:06:52.590 --> 00:06:59.846
თუ ორივე მხარეს გამოვაკლებთ სამს,
მივიღებთ, რომ x მეტია მინუს სამზე.

00:06:59.910 --> 00:07:08.429
როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ეს გრაფიკი
გამოიყურება როგორც y უდრის x–ს პლუს სამს.

00:07:08.460 --> 00:07:11.500
ახლა, როდესაც x–ს პლუს 
სამი ნაკლებია ნულზე.

00:07:11.500 --> 00:07:16.448
იმ შემთხვევაში, როდესაც მოდულის ნიშნების
შიგნითა რიცხვი უარყოფითია,

00:07:16.509 --> 00:07:26.186
ეს განტოლებაა: 
y უდრის მინუს x–ს პლუს სამი.

00:07:26.250 --> 00:07:27.540
როგორ მივხვდი ამას?

00:07:27.540 --> 00:07:32.990
შეხედეთ, თუ ეს უარყოფოთი რიცხვია, თუ x-ს
პლუს სამი უარყოფითია, ჩვენ ვამბობთ––

00:07:33.060 --> 00:07:36.010
ჩვენ აქ ვამბობთ - 
თუ ის უარყოფითი რიცხვია,

00:07:36.010 --> 00:07:40.020
უარყოფითი რიცხვის მოდულში ჩასმისას
ის დადებითი ხდება.

00:07:40.050 --> 00:07:43.280
ეს მინუს ერთზე გამრავლებას ჰგავს.

00:07:43.280 --> 00:07:48.820
უარყოფითი რიცხვის მოდულის აღებისას,
ჩვენ თითქოს მინუს ერთზე ვამრავლებთ რიცხვს,

00:07:48.890 --> 00:07:51.010
რადგან უარყოფით რიცხვს დადებითად ვაქცევთ.

00:07:51.010 --> 00:07:55.750
ეს სწორედ ის შემთხვევაა, როდესაც
x–ს პლუს სამი ნაკლები იქნება ნულზე.

00:07:55.840 --> 00:08:01.170
თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ 
სამს, მივიღებთ, რომ x ნაკლებია მინუს სამზე

00:08:01.280 --> 00:08:04.990
როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე,
გრაფიკი ასე გამოიყურება.

00:08:05.040 --> 00:08:09.560
როდესაც x უფრო დიდია ვიდრე მინუს სამი,
გრაფიკი ასე გამოიყურება.

00:08:09.600 --> 00:08:13.610
მოდით ვნახოთ როგორ გამოიყურება
მთლიანი გრაფიკი.

00:08:13.670 --> 00:08:21.520
დავხატავ საკოორდინატო სიბრტყეს.

00:08:21.520 --> 00:08:26.070
ეს არის ჩემი X-ღერძი, ეს კი არის y-ღეძი.

00:08:26.070 --> 00:08:29.820
მოდით უბრალოთ გადავამრავლოთ იგი,
mx-ს პლუს b ფორმაში რომ გვქონდეს.

00:08:29.870 --> 00:08:36.070
ეს უდრის მინუს x–ს მინუს სამს.

00:08:36.070 --> 00:08:38.709
უბრალოდ გამოვსახოთ,
თუ როგორი იქნება ეს გრაფიკი ზოგადად.

00:08:38.709 --> 00:08:42.020
მინუს x–ს მინუს სამი.

00:08:42.020 --> 00:08:47.380
y კოორდინატი არის მინუს სამი,
გვექნება 1,2,3.

00:08:47.380 --> 00:08:50.760
უარყოფითი x ნიშნავს,
რომ იგი იხრება ქვევით,

00:08:50.760 --> 00:08:52.290
მას აქვს ერთის ტოლი დახრილობა.

00:08:52.290 --> 00:08:56.700
იგი აი ასე გამოიყურება.

00:08:56.840 --> 00:09:02.830
X-კოორდინატი იქნება X- ღერძზე --

00:09:02.830 --> 00:09:08.540
y იმ შემთხვევაში უდრის ნულს,
როდესაც x უდრის მინუს სამს.

00:09:08.575 --> 00:09:11.890
ის ამ ხაზის გასწვრივ წავა ამ წერტილამდე.

00:09:11.920 --> 00:09:19.850
თუ ჩვენ არ გვაქვს შეზღუდვა, მაშინ
გრაფიკი ასეთი იქნება.

00:09:19.890 --> 00:09:23.790
ეს იმ შემთხვევაში, თუ მას x–ღერძზე,
განსაზღვრულ ინტერვალში არ ავაგებთ.

00:09:23.880 --> 00:09:27.420
ახლა კი ეს გრაფიკი.
როგორ გამოიყურება ის?

00:09:27.480 --> 00:09:31.810
y-კოორდინატი მას დადებით 3-ზე აქვს.

00:09:31.810 --> 00:09:33.230
აი ამის მსგავსად.

00:09:33.230 --> 00:09:35.260
სად არის მისი X-კოორდინატი?

00:09:35.260 --> 00:09:37.970
როდესაც y ნულის ტოლია,
x იქნება მინუს სამი.

00:09:37.970 --> 00:09:41.410
ასე რომ იგი ასევე მიდის აი ამ 
წერტილამდე და აქვს ერთის ტოლი დახრილობა.

00:09:41.410 --> 00:09:43.710
იგი აი ასე გამოიყურება.

00:09:43.710 --> 00:09:45.330
ასეთია ეს გრაფიკი.

00:09:45.330 --> 00:09:48.100
ის რაც ჩვენ ახლა გამოვსახეთ 
მოდულის ფუნქციაა.

00:09:48.100 --> 00:09:53.780
იგი გავს ამ წითელ გრაფიკს,
სადაც x ნაკლებია მინუს სამზე.

00:09:53.830 --> 00:09:57.070
როდსაც x ნაკლებია მინუს სამზე –- 
x მინუს სამის ტოლია აქ––

00:09:57.070 --> 00:10:03.023
როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე,
ის ამ წითელ გრაფიკს ჰგავს.

00:10:03.170 --> 00:10:04.570
აი აქ.

00:10:04.570 --> 00:10:07.390
ეს არის ის შემთხვევა,
როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე.

00:10:07.390 --> 00:10:12.110
როდესაც x მეტია მინუს სამზე,
ის ჰგავს ამ მწვანე გრაფიკს.

00:10:12.160 --> 00:10:14.640
ის გამოიყურება აი ასე.

00:10:14.640 --> 00:10:17.480
ეს გრაფიკი ჰგავს უცნაურ v-ს.

00:10:17.480 --> 00:10:21.430
როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ეს დადებითია.

00:10:21.430 --> 00:10:24.950
ჩვენ გვაქვს გრაფიკი და
გვაქვს დადებითი დახრილობა.

00:10:24.950 --> 00:10:30.480
მაგრამ როდესაც x ნაკლებია 
მინუს სამზე, უარყოფით ფუნქციას ვღებულობთ,

00:10:30.560 --> 00:10:32.280
გვაქვს უარყოფითი დახრილობა.

00:10:32.280 --> 00:10:40.244
აქაა v-ს ფორმის ფუნქცია,v-ს ფორმის გრაფიკი
რომელიც მიუთითებს მოდულის ფუნქციაზე.