1
00:00:00,590 --> 00:00:03,880
მოდით რამდენიმე 
მოდულიანი განტოლება გავაკეთოთ.

2
00:00:03,880 --> 00:00:07,629
ამასთანავე, ცოტათი მიმოვიხილოთ
რიცხვის მოდული.

3
00:00:07,659 --> 00:00:10,680
ვთქვათ გვაქვს მინუს ერთი მოდულში,

4
00:00:10,680 --> 00:00:16,053
სინამდვილეში მოდულში ჩაწერა გვეუბნება, თუ
რამდენად შორს არის ეს რიცხვი ნულიდან

5
00:00:16,090 --> 00:00:20,620
განვიხილოთ მინუს ერთი, რისთვისაც
დავხაზოთ რიცხვითი წრფე.

6
00:00:20,620 --> 00:00:23,310
ეს ძალიან ცუდად დახატული რიცხვითი წრფეა.

7
00:00:23,310 --> 00:00:26,230
თუ აქ დავხაზავ რიცხვით წრფეს,
ეს იქნება ნული,

8
00:00:26,230 --> 00:00:28,470
მინუს ერთი გვექნება აქ.

9
00:00:28,470 --> 00:00:30,230
გამოვა, ის ნულიდან
ერთითაა დაშორებული.

10
00:00:30,230 --> 00:00:33,250
გამოვიდა, რომ მინუს ერთი
მოდულში არის ერთი.

11
00:00:33,250 --> 00:00:38,850
ერთი მოდულში ასევე ერთი 
ერთეულითაა დაშირებული ნულიდან.

12
00:00:38,850 --> 00:00:40,610
ის ასევე ერთს უდრის.

13
00:00:40,610 --> 00:00:43,500
მოდული არის მანძილი ნულიდან.

14
00:00:43,500 --> 00:00:45,587
ვფიქრობ, არსებობს უფრო მარტივი განმარტება,

15
00:00:45,587 --> 00:00:48,790
შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის ყოველთვის
ასახავს რიცხვის დადებითი ვერსიას.

16
00:00:48,790 --> 00:00:59,360
მინუს 7,346-ის მოდული უდრის 7,346-ს.

17
00:00:59,360 --> 00:01:05,029
მოდით ვცადოთ მოდულიანი
განტოლებების ამოხსნა.

18
00:01:05,059 --> 00:01:06,675
ვთქვათ მაქვს შემდეგი განტოლება:

19
00:01:06,675 --> 00:01:14,500
x–ს მინუს ხუთის მოდული უდრის ათს.

20
00:01:14,500 --> 00:01:16,285
შეგვიძლია ეს განტოლება გავამარტივოთ.

21
00:01:16,285 --> 00:01:23,121
დაფიქრდით ამაზე, ეს განტოლება გვეუბნება,
რომ მანძილი x -სა და ხუთს შორის არის ათი.

22
00:01:23,121 --> 00:01:26,750
ზუსტად რამდენი რიცხვია 
ხუთიდან ათი ერთეულით დაშორებული?

23
00:01:26,750 --> 00:01:29,430
შეგიძლიათ უკვე იფიქროთ 
ამ განტოლების ამონახსენზე,

24
00:01:29,430 --> 00:01:31,960
მაგრამ გაჩვენებთ, თუ როგორ 
ამოხსნათ იგი სისტემურად.

25
00:01:31,960 --> 00:01:36,510
ეს განტოლება ჭეშმარიტია ორ შემთხვევაში.

26
00:01:36,510 --> 00:01:44,630
x მინუს ხუთი უდრის დადებით ათს, მაშინ,
როდესაც მოდული გამოსახავს დადებით ათს.

27
00:01:44,630 --> 00:01:48,350
დადებითი ათის აღებისას,
მისი მოდული ათი იქნება.

28
00:01:48,380 --> 00:01:53,130
x–ს მინუს ხუთი მოდულში
შეიძლება გამოსახავდეს მინუს ათსაც.

29
00:01:53,130 --> 00:01:59,890
თუკი x–ს მინუს ხუთი გამოსახავს მინუს ათს,
მისი მოდული ათი იქნება.

30
00:01:59,950 --> 00:02:04,280
x–ს მინუს ხუთი მოდულში,
ასევე შეიძლება უდრიდეს მინუს ათს.

31
00:02:04,280 --> 00:02:07,730
ორივე მათგანი 
დააკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

32
00:02:07,730 --> 00:02:11,468
განტოლების ამოსახსნელად, განტოლების
ორივე მხარეს დავუმატოთ ხუთი.

33
00:02:11,500 --> 00:02:14,160
მივიღებთ, რომ x უდრის 15-ს.

34
00:02:14,160 --> 00:02:17,830
ამის ამოსახსნელად განტოლების
ორივე მხარეს დავუმატოთ ხუთი.

35
00:02:17,830 --> 00:02:20,900
x უდრის მინუს ხუთს.

36
00:02:20,900 --> 00:02:24,883
მაშ ასე, ჩვენი ამონახსნი აქ არის ორი x და
ეს აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

37
00:02:24,910 --> 00:02:26,890
x შეიძლება იყოს 15.

38
00:02:26,890 --> 00:02:29,502
15–ს მინუს ხუთი არის ათი, 
ავიღოთ მისი მოდული.

39
00:02:29,502 --> 00:02:32,690
მივიღებთ ათს ან 
x შეიძლება იყოს მინუს ხუთს.

40
00:02:32,690 --> 00:02:36,060
მინუს ხუთს მინუსხუთი არის მინუს ათი.

41
00:02:36,060 --> 00:02:39,020
ამის მოდულის აღებისას ვიღებთ ათს.

42
00:02:39,020 --> 00:02:45,702
ორივე ეს რიცხვი, ზუსტად ათი ერთეულითაა
დაშორებული ხუთიდან.

43
00:02:45,770 --> 00:02:51,130
სხვა განტოლება გავაკეთოთ.

44
00:02:51,130 --> 00:02:58,562
ვთქვათ გვაქვს შემდეგი განტოლება:
x-ს ოლუს ორის მოდული უდრის ექვსს.

45
00:02:58,580 --> 00:02:59,610
რას გვეუბნება ეს?

46
00:02:59,610 --> 00:03:06,962
ეს გვეუბნება რომ x–ს პლუს ორის
მოდულის შიდა რიცხვუ უდრის ექვსს.

47
00:03:07,030 --> 00:03:11,990
ან მოდულის შიგნითა რიცხვი:
x–ს პლუს ორი შეიძლება უდრიდეს მინუს ექვსს.

48
00:03:12,050 --> 00:03:16,130
თუკი ეს მთლიანი რიცხვი გამოსახავს 
მინუს ექვსს, მისი მოდული ექვსი იქნება.

49
00:03:16,210 --> 00:03:20,340
x–ს პლუს ორი შეიძლება უდრიდს მინუს ექვსს.

50
00:03:20,340 --> 00:03:25,770
თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ
ორს, მივიღებთ, რომ x შეიძლება იყოს ოთხი.

51
00:03:25,850 --> 00:03:33,540
ან თუ ამ განტოლების ორივე მხარეს
გამოვაკლებთ ორს, x შეიძლება მინუს რვა იყოს

52
00:03:33,690 --> 00:03:37,240
ეს არის ამ განტოლების ორი ამონახსნი.

53
00:03:37,240 --> 00:03:42,410
რათა უფრო ნათელი გახდეს, თუ რა არის
მოდული, ის მანძილად შეიძლება განვიხილოთ.

54
00:03:42,500 --> 00:03:52,680
შეგიძლიათ ხელახლა ჩაწეროთ ეს ამოცანა:
x–ს მინუს მინუს ორი უდრის ექვსს.

55
00:03:52,759 --> 00:03:57,590
რა რიცხვია x, რომელიც ზუსტად ექვსი
ერთეულითაა დაშორებული მინუს ორიდან?

56
00:03:57,590 --> 00:04:03,418
დაიმახსოვრეთ, ჩვენ ვთქვით, თუ რა რიცხვია
ზუსტად ათი ერთეულით დაშორებული ხუთიდან.

57
00:04:03,560 --> 00:04:05,990
ნებისმიერი რიცხვი, რომელსაც
გამოაკლებთ ხუთს.

58
00:04:05,990 --> 00:04:08,560
ორივე ამონახსნი ხუთიდან
დაშორებული იქნება ათი ერთეულით.

59
00:04:08,560 --> 00:04:09,515
ამოცანა მეკითხება:

60
00:04:09,515 --> 00:04:13,080
რა რიცხვია X, რომელიც ზუსტად
ექვსი ერთეულითაა დაშორებული მინუს ორიდან?

61
00:04:13,080 --> 00:04:15,510
ესენი იქნება ოთხი ან მინუს რვა.

62
00:04:15,510 --> 00:04:17,959
შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ეს რიცხვები.

63
00:04:17,959 --> 00:04:20,459
მოდით კიდევ გავაკეთოთ ერთ–ერთი მათგანი.

64
00:04:20,459 --> 00:04:25,330
მეორე ამოცანა გავაკეთოთ,
დავწეროთ ის წითლად.

65
00:04:25,330 --> 00:04:30,190
ვთქვათ რომ ჩვენ გვაქვს 4x-ის მოდული.

66
00:04:30,190 --> 00:04:31,430
ოდნავ შევცვალოთ ეს ამოცანა.

67
00:04:31,430 --> 00:04:33,390
4x მინუს ერთი.

68
00:04:33,390 --> 00:04:40,113
4x–ს მინუს ერთის მოდული უდრის 19–ს.

69
00:04:40,200 --> 00:04:47,549
ბოლო ამოცანის მსგავსად,
4x–ს მინუს ერთი შეიძლება იყოს 19,

70
00:04:47,640 --> 00:04:51,670
ან 4x–ს მინუს ერთი 
შეიძლება იყოს მინუს 19.

71
00:04:51,670 --> 00:04:54,730
ორივე შემთხვევაში მისი მოდული 19 იქნება

72
00:04:54,800 --> 00:04:59,100
ანუ 4x–ს მინუს ერთი იქნება 
ან 19 ან მინუს 19.

73
00:04:59,100 --> 00:05:00,970
უბრალოდ უნდა ამოვხსნათ ეს ორ განტოლება.

74
00:05:00,970 --> 00:05:02,945
დავუმატოთ ერთი განტოლების ორივე მხარეს

75
00:05:02,945 --> 00:05:04,674
შეგვიძლია ეს ერთდროულადაც გავაკეთოთ.

76
00:05:04,674 --> 00:05:08,510
ამ განტოლების ორივე მხარისთვის 
ერთის დამატებით ვიღებთ: 4x უდრის 20–ს.

77
00:05:08,510 --> 00:05:15,275
ამ განტოლების ორივე მხარისთვის ერთის
დამატებით ვღებთ: 4x უდრის მინუს 18–ს.

78
00:05:15,340 --> 00:05:20,210
ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ ოთხზე,
მივიღებთ რომ ის არის ხუთის ტოლი.

79
00:05:20,210 --> 00:05:23,920
ამ განტოლების ორივე მხარის ოთხზე თუ 
გავყოფთ, მივიღებთ: x უდრის მინუს 18/4–ს.

80
00:05:23,920 --> 00:05:31,770
მინუს 18/4 იგივე მინუს 9/2–ია.

81
00:05:31,770 --> 00:05:35,730
x–ის ორივე სიდიდე
აკმაყოფოლიებს განტოლებას.

82
00:05:35,730 --> 00:05:36,587
შევამოწმოთ.

83
00:05:36,587 --> 00:05:41,520
მინუს 9/2 გამრავლებული ოთხზე
იქნება მინუს 18.

84
00:05:41,610 --> 00:05:44,200
მინუს 18–ს გამოვაკლოთ
ერთი არის მინუს 19.

85
00:05:44,200 --> 00:05:46,740
ავიღოთ მინუს 19-ის მოდული,
მივიღებთ 19-ს.

86
00:05:46,740 --> 00:05:49,920
დავსვათ აქ ხუთი:
ოთხჯერ ხუთი არის 20.

87
00:05:49,920 --> 00:05:51,960
20–ს მინუს ერთი არის დადებითი 19.

88
00:05:51,960 --> 00:05:55,870
აქაც ავიღოთ ამის მოდული
და ისევ მივიღებთ 19–ს.

89
00:05:55,920 --> 00:05:58,580
მოდით გართობის მიზნით ვცადოთ
და გრაფიკი დავხაზოთ.

90
00:05:58,580 --> 00:06:04,983
ვთქვათ გვაქვს y არის 
x-ს პლუს სამის მოდული.

91
00:06:04,990 --> 00:06:09,360
მაშ ასე, ეს არის ფუნქცია ან გრაფიკი,
რომელშიც გვაქვს მოდული.

92
00:06:09,410 --> 00:06:11,820
მოდით ვიფიქროთ ორ შემთხვევაზე.

93
00:06:11,820 --> 00:06:18,786
ეს არის პირველი შემთხვევა:
მოდულის შიგნით სიდიდე დადებითია.

94
00:06:18,873 --> 00:06:23,420
აი აქ ჩავწერ:
x–ს პლუს სამი მეტია ნულზე.

95
00:06:23,420 --> 00:06:29,370
სხვა შემთხვევაში,
x პლუს სამი ნაკლებია ნულზე.

96
00:06:29,370 --> 00:06:36,478
როდესაც x–ს პლუს სამი მეტია ნულზე,
ეს გრაფიკი, ან ეს ხაზი––

97
00:06:36,508 --> 00:06:41,690
ეს ფუნქცია იგივეა, 
რაც y უდრის x–ს პლუს სამს.

98
00:06:41,690 --> 00:06:46,710
თუკი ეს რაღაცა მეტია ნულზე,
მაშინ მოდულის ნიშანი უმნიშვნელოა.

99
00:06:46,750 --> 00:06:50,200
ეს იგივეა, რაც y უდრის x–ს პლუს სამი.

100
00:06:50,280 --> 00:06:52,590
მაგრამ, როდესაც x–ს პლუს სამი ნულზე მეტია?

101
00:06:52,590 --> 00:06:59,846
თუ ორივე მხარეს გამოვაკლებთ სამს,
მივიღებთ, რომ x მეტია მინუს სამზე.

102
00:06:59,910 --> 00:07:08,429
როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ეს გრაფიკი
გამოიყურება როგორც y უდრის x–ს პლუს სამს.

103
00:07:08,460 --> 00:07:11,500
ახლა, როდესაც x–ს პლუს 
სამი ნაკლებია ნულზე.

104
00:07:11,500 --> 00:07:16,448
იმ შემთხვევაში, როდესაც მოდულის ნიშნების
შიგნითა რიცხვი უარყოფითია,

105
00:07:16,509 --> 00:07:26,186
ეს განტოლებაა: 
y უდრის მინუს x–ს პლუს სამი.

106
00:07:26,250 --> 00:07:27,540
როგორ მივხვდი ამას?

107
00:07:27,540 --> 00:07:32,990
შეხედეთ, თუ ეს უარყოფოთი რიცხვია, თუ x-ს
პლუს სამი უარყოფითია, ჩვენ ვამბობთ––

108
00:07:33,060 --> 00:07:36,010
ჩვენ აქ ვამბობთ - 
თუ ის უარყოფითი რიცხვია,

109
00:07:36,010 --> 00:07:40,020
უარყოფითი რიცხვის მოდულში ჩასმისას
ის დადებითი ხდება.

110
00:07:40,050 --> 00:07:43,280
ეს მინუს ერთზე გამრავლებას ჰგავს.

111
00:07:43,280 --> 00:07:48,820
უარყოფითი რიცხვის მოდულის აღებისას,
ჩვენ თითქოს მინუს ერთზე ვამრავლებთ რიცხვს,

112
00:07:48,890 --> 00:07:51,010
რადგან უარყოფით რიცხვს დადებითად ვაქცევთ.

113
00:07:51,010 --> 00:07:55,750
ეს სწორედ ის შემთხვევაა, როდესაც
x–ს პლუს სამი ნაკლები იქნება ნულზე.

114
00:07:55,840 --> 00:08:01,170
თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ 
სამს, მივიღებთ, რომ x ნაკლებია მინუს სამზე

115
00:08:01,280 --> 00:08:04,990
როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე,
გრაფიკი ასე გამოიყურება.

116
00:08:05,040 --> 00:08:09,560
როდესაც x უფრო დიდია ვიდრე მინუს სამი,
გრაფიკი ასე გამოიყურება.

117
00:08:09,600 --> 00:08:13,610
მოდით ვნახოთ როგორ გამოიყურება
მთლიანი გრაფიკი.

118
00:08:13,670 --> 00:08:21,520
დავხატავ საკოორდინატო სიბრტყეს.

119
00:08:21,520 --> 00:08:26,070
ეს არის ჩემი X-ღერძი, ეს კი არის y-ღეძი.

120
00:08:26,070 --> 00:08:29,820
მოდით უბრალოთ გადავამრავლოთ იგი,
mx-ს პლუს b ფორმაში რომ გვქონდეს.

121
00:08:29,870 --> 00:08:36,070
ეს უდრის მინუს x–ს მინუს სამს.

122
00:08:36,070 --> 00:08:38,709
უბრალოდ გამოვსახოთ,
თუ როგორი იქნება ეს გრაფიკი ზოგადად.

123
00:08:38,709 --> 00:08:42,020
მინუს x–ს მინუს სამი.

124
00:08:42,020 --> 00:08:47,380
y კოორდინატი არის მინუს სამი,
გვექნება 1,2,3.

125
00:08:47,380 --> 00:08:50,760
უარყოფითი x ნიშნავს,
რომ იგი იხრება ქვევით,

126
00:08:50,760 --> 00:08:52,290
მას აქვს ერთის ტოლი დახრილობა.

127
00:08:52,290 --> 00:08:56,700
იგი აი ასე გამოიყურება.

128
00:08:56,840 --> 00:09:02,830
X-კოორდინატი იქნება X- ღერძზე --

129
00:09:02,830 --> 00:09:08,540
y იმ შემთხვევაში უდრის ნულს,
როდესაც x უდრის მინუს სამს.

130
00:09:08,575 --> 00:09:11,890
ის ამ ხაზის გასწვრივ წავა ამ წერტილამდე.

131
00:09:11,920 --> 00:09:19,850
თუ ჩვენ არ გვაქვს შეზღუდვა, მაშინ
გრაფიკი ასეთი იქნება.

132
00:09:19,890 --> 00:09:23,790
ეს იმ შემთხვევაში, თუ მას x–ღერძზე,
განსაზღვრულ ინტერვალში არ ავაგებთ.

133
00:09:23,880 --> 00:09:27,420
ახლა კი ეს გრაფიკი.
როგორ გამოიყურება ის?

134
00:09:27,480 --> 00:09:31,810
y-კოორდინატი მას დადებით 3-ზე აქვს.

135
00:09:31,810 --> 00:09:33,230
აი ამის მსგავსად.

136
00:09:33,230 --> 00:09:35,260
სად არის მისი X-კოორდინატი?

137
00:09:35,260 --> 00:09:37,970
როდესაც y ნულის ტოლია,
x იქნება მინუს სამი.

138
00:09:37,970 --> 00:09:41,410
ასე რომ იგი ასევე მიდის აი ამ 
წერტილამდე და აქვს ერთის ტოლი დახრილობა.

139
00:09:41,410 --> 00:09:43,710
იგი აი ასე გამოიყურება.

140
00:09:43,710 --> 00:09:45,330
ასეთია ეს გრაფიკი.

141
00:09:45,330 --> 00:09:48,100
ის რაც ჩვენ ახლა გამოვსახეთ 
მოდულის ფუნქციაა.

142
00:09:48,100 --> 00:09:53,780
იგი გავს ამ წითელ გრაფიკს,
სადაც x ნაკლებია მინუს სამზე.

143
00:09:53,830 --> 00:09:57,070
როდსაც x ნაკლებია მინუს სამზე –- 
x მინუს სამის ტოლია აქ––

144
00:09:57,070 --> 00:10:03,023
როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე,
ის ამ წითელ გრაფიკს ჰგავს.

145
00:10:03,170 --> 00:10:04,570
აი აქ.

146
00:10:04,570 --> 00:10:07,390
ეს არის ის შემთხვევა,
როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე.

147
00:10:07,390 --> 00:10:12,110
როდესაც x მეტია მინუს სამზე,
ის ჰგავს ამ მწვანე გრაფიკს.

148
00:10:12,160 --> 00:10:14,640
ის გამოიყურება აი ასე.

149
00:10:14,640 --> 00:10:17,480
ეს გრაფიკი ჰგავს უცნაურ v-ს.

150
00:10:17,480 --> 00:10:21,430
როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ეს დადებითია.

151
00:10:21,430 --> 00:10:24,950
ჩვენ გვაქვს გრაფიკი და
გვაქვს დადებითი დახრილობა.

152
00:10:24,950 --> 00:10:30,480
მაგრამ როდესაც x ნაკლებია 
მინუს სამზე, უარყოფით ფუნქციას ვღებულობთ,

153
00:10:30,560 --> 00:10:32,280
გვაქვს უარყოფითი დახრილობა.

154
00:10:32,280 --> 00:10:40,244
აქაა v-ს ფორმის ფუნქცია,v-ს ფორმის გრაფიკი
რომელიც მიუთითებს მოდულის ფუნქციაზე.