絶対値を含む方程式問題をやってみましょう。 ちょっと復習しますが、数字の絶対値を 考えるとき 例えば、-１の絶対値の考えましょう。 絶対値の計算は ０からその数字までの距離を測ることになりますので -１の場合では、数直線で表すと あ、絵がへたくそですみません。 これが数直線、ここは０ですね。 -1はここですね。 ０から１単位離れています。 つまり、-1の絶対値は１です。 １の絶対値も０から１単位離れていますので、 １に等しいです。 絶対値は０からの距離とのことで けれど、もっと簡単に説明すると、 絶対値は常にその数字を正にして取り出した数です。 なので、-7,346の絶対値は7,346ですね。 それを覚えて、次の絶対値方程式を 解いてみましょう。 例えば、この方程式。 ｜x - ５ ｜= １０ これを解釈すると ｘと５の間の距離は １０になります、ということですね。 では、５から１０離れている数字は何個ありますか？ みなさんにはすぐ答えが分かると思いますが ここでは方程式をゆっくり解いていこうと思います。 この式は二つの場合に成り立ちます。 ｘ－５＝１０か 計算して１０を得て、 それを絶対値にすると １０を得ることができます。 そして、ｘ－５＝ -１０の場合には、 ｘ－５＝ -10 絶対値にするとまた１０になりますので つまり、ｘ－５＝ -１０というのも可能です。 どちらの場合でも成り立ちます。 これを解くには 方程式の両辺に５を足して ｘ＝１５という答えが出ます。 で、こっちを解くには、また両辺に５を足して ｘ＝ -５という答えが出てきます。 なので、答えとして、xの値は二つ 存在します。 ｘは１５のときだと、 １５－５＝１０、それを絶対値にして １０になりますね。もしくは、ｘ＝ -５の場合だと -５-５＝ -10 それを絶対値にすると、また１０になります。 注意して欲しいのは、この二つの数字はどちらも５から １０、だけ離れているということです。 ではでは、次の問題に移りましょう。 つぎ～の問題っと。 例えばこの問題。 ｜ｘ＋２｜＝６ この方程式はどういう意味でしょうか。 それは、絶対値記号の中の “ｘ＋２”が ６に等しいということですね。 もしくは記号の中の “ｘ＋２”は －６に等しい、ということを意味しています。 この“ｘ＋２”の部分が－６に等しければ 絶対値を取ったら６になります。 なので、ｘ＋２＝ -６ で、この方程式の両辺から２を引くと ｘ＝４という答えが出ますね。 この方程式の両辺から２を引くと ｘ＝ -８という答えが出ます。 この二つが方程式の答えです。 覚えて欲しいのは 絶対値は「距離」で この問題を ｜ｘ- （-２）｜＝６に書き換えることができます。 では、-２から６離れているときの ｘの数値は何になるでしょうか。 さっきの問題で、５から１０離れているとき ｘの数値は何だったでしょうか。 どの数字を引いても ５から１０だけ離れなければならないんですよ。 では、-2 から６離れているのは 何でしょうか。 答えは４か -８ですね。 以上の数字を使って試してみてくださいね。 他の問題やってみましょう。 次に行きましょう。紫色で行きましょう。 この絶対値問題｜４ｘ－１｜を ちょっと書き直します。 ４ｘ－１ ｜４ｘ－１｜＝… そのままにしよう。…＝19 先ほどの問題と同じように、４ｘ－１＝… …＝19 もしくは、４ｘ－１を計算して、 -19を得ます。 絶対値にするということで また１９を得ます。 もしくは、４ｘ－１＝ -19 そして、この二つの方程式を解いて この方程式の両辺に１を足して まあ、同時にやってもいいですね。 この方程式の両辺に１を足して、４ｘ＝ 20になりますね。 で、この方程式の両辺にまた１を足して ４ｘ＝ -18というのが出てきます。 両辺を４で割って、ｘ＝５になります。 で、この方程式の両辺を４で割って ｘ＝ - 18/4になります。つまり - 9/2ですね。 この二つのｘの値はどちらも方程式を満たせますよ。 やってみましょう。 - 9/2 × ４ - 18になりますね。 -18から１を引いたら -19になります。 で、絶対値にすると、１９を得ることができます。 で、ここに５を入れて、４×５＝２０なので １を引けば19になります。 で、絶対値にすると また１９を得られます。 ちょっとグラフを描いてみましょう。 ｙ＝｜ｘ＋３｜という式を 考えてみましょう。 これは絶対値の含んだ 関数、あるいはグラフです。 絶対値記号があるので、２通りに分けて考えてみます。 まずは、絶対値記号の中身が 正のとき。 つまり、えっと、ここに書きますね。ｘ＋３＞０ のときです。 そして、ｘ＋３＜０のとき。 ｘ＋３＞０のときは、関数は ｙ＝ｘ＋３　と 同じものになるということです。 この｜ｘ＋３｜というものものが＞０だと 絶対値記号が要らなくなってしまうから、 この部分は、ｙ＝ｘ＋３ と一緒だと考えていいです。 では、ｘ＋３＞０のときとは、どういう時でしょうか。 これを判断するには、両辺から３を引いて ｘ＞－３のとき、ということが分かります。 なので、ｘ＞－３のとき、関数は ｙ＝ｘ＋３の関数と同じものになります。 では次に、ｘ＋３＜０のときを考えてみましょう。 絶対値記号の中身が負のときは 絶対値記号を外すときに正にする必要があるので ｙ＝－（ｘ＋３） となります。 というのも、 ここが負になるとき、つまり　ｘ＋３　が負になるときは、 ここで私たちが仮定しているわけですけども、 この部分が負になるときには 絶対値記号を取り外す際に 正にして取り出さなければなりません。 つまり、－１を掛ければいいんです。 負のものの絶対値記号を外すときは －１を掛ける、と。 だって（負）×（負）＝（正）ですからね。 そして、こうなります。 ｘ＋３＜０ 両辺から３を引くと ｘ＜－３となりますね。 だから、ｘ＜－３　のとき、関数は このようになります。 ｘ＞－３のときには、 これですね。 では、実際に二つ合わせたグラフを 描いてみましょう。 軸を描いて、と。 これがｘ軸、そしてこれがｙ軸です。 この式を少し整理して書きなおしてみますね。 カッコをとります。 そうすると、ｙ＝－ｘ－３　となりますね。 では、この式がどのような直線になるか 描いてみましょう。 －ｘ－３なので ｙ切片は－３ですね、１、２、３、と。 －ｘ　というのは、右下がりに傾き－１の直線 を描きます。 なので、このような感じですね。 ｘ切片を求めるには、 ｙが０のときを考えたらいいので、 ｘ＝－３ですね。 なので、ｙ＝－ｘ－３は、この点と この点を通ります。 ここにあるｘの条件がなければ、 グラフはこのようになりますよ。 ｘ軸上でのｘの条件が何も 無い場合です。 では、この関数はどうなるでしょうか？ 考えてみましょう。 ｙ切片は３ですね。 こんなもんかな。 では、ｘ切片は？ ｙ＝０の時なので、ｘ＝－３　となりますよ。 だから、この直線もこの点を通ることになって 傾きは１です。 こんな感じの直線になりますね。 こんな感じですね。 以上、ここで解いたのは、絶対値を含んだ関数の グラフで、ｘ＜－３だと この紫色のグラフになります。 で、ｘ＜－３だと ここはｘ＝－３ですね。 ｘ＜－３の場合は、この紫色のグラフのようになります。 ここですね。 ｘ＜－３のときはこうなります。 けど、ｘ＞－３だと 緑のグラフになります。 こんな感じです。 このグラフは、このVの形になります。 ｘ＞－３の場合、正数になります。 ここに右上がり傾きのグラフがあります。 けど、ｘ＜－３の場合だと 関数を負数にして 右下がりの傾きを得ることができます。 このようなVの形の関数グラフは 絶対値関数であることを 示している。