WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.480
在这个视频中 我想使用上个视频中的结论

00:00:00.480 --> 00:00:03.140
来做一些巧妙的事情

00:00:03.140 --> 00:00:05.960
比如这是一个圆

00:00:05.960 --> 00:00:10.000
并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中

00:00:10.000 --> 00:00:12.130
所以这个三角形的所有顶点

00:00:12.130 --> 00:00:17.340
都在圆的周长上

00:00:17.340 --> 00:00:18.825
我尽力尝试画一个等边三角形

00:00:18.825 --> 00:00:24.170
我想这大概是我能画得最好的了

00:00:24.170 --> 00:00:26.960
当我说等边的时候就表示所有的边都一样长

00:00:26.960 --> 00:00:28.620
所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A

00:00:28.620 --> 00:00:29.910
剩下的一条边长也是A

00:00:29.910 --> 00:00:33.060
我们假设这个的半径

00:00:33.060 --> 00:00:36.610
这个圆的半径是2

00:00:36.610 --> 00:00:44.010
我只是随意选择一个数字 来解决这个问题

00:00:44.010 --> 00:00:45.925
假设这个圆的半径是2

00:00:45.925 --> 00:00:49.600
从圆心到圆周上的任意一点

00:00:49.600 --> 00:00:51.700
这个距离 就是半径 等于2

00:00:51.700 --> 00:00:55.910
现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果

00:00:55.910 --> 00:01:01.780
和一些基础的三角知识

00:01:01.780 --> 00:01:04.020
如果"三角学"吓到你了

00:01:04.020 --> 00:01:06.940
你只需要大概了解播放列表中前两三个

00:01:06.940 --> 00:01:09.570
有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么

00:01:09.570 --> 00:01:11.710
我想做的事就是算出在圆内三角形外的

00:01:11.710 --> 00:01:12.840
区域的面积

00:01:12.840 --> 00:01:18.830
所以是计算出这小块区域 那小块区域

00:01:18.830 --> 00:01:21.080
和这块区域合并而成的面积

00:01:21.080 --> 00:01:25.690
解决这个问题的明显方法是

00:01:25.690 --> 00:01:30.940
我能轻松算出圆的面积

00:01:30.940 --> 00:01:33.490
圆的面积就等于∏乘以r的平方
Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2

00:01:33.490 --> 00:01:36.670
或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏

00:01:36.670 --> 00:01:40.215
我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
And I could subtract from 4∏ the area of the triangle

00:01:40.215 --> 00:01:43.740
因此我需要算出三角形的面积

00:01:43.740 --> 00:01:48.840
那么三角形的面积是

00:01:48.840 --> 00:01:53.040
三角形的面积 前几个视频中

00:01:53.040 --> 00:01:55.450
我演示给你们看过海伦公式

00:01:55.450 --> 00:02:00.760
如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积

00:02:00.760 --> 00:02:03.930
但我们暂时还不知道边的长度

00:02:03.930 --> 00:02:07.260
一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积

00:02:07.260 --> 00:02:10.720
让我们在不知边长的情况下使用海伦公式

00:02:10.720 --> 00:02:12.070
让我们假设这个等边三角形的边长

00:02:12.070 --> 00:02:14.180
边长是A

00:02:14.180 --> 00:02:16.560
应用海伦公式

00:02:16.560 --> 00:02:18.740
我们首先明确海伦公式变量s

00:02:18.740 --> 00:02:21.950
s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a

00:02:21.950 --> 00:02:23.760
这个三角形的面积用A来表示

00:02:23.760 --> 00:02:31.450
所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值

00:02:31.450 --> 00:02:38.220
就是2分之3a减去a

00:02:38.220 --> 00:02:42.070
或者我可以写成2分之2a对么

00:02:42.070 --> 00:02:46.380
a就等于2分之2a你可以抵消2得到a

00:02:46.380 --> 00:02:52.910
接着我要重复三次得出的结果再开平方

00:02:52.910 --> 00:02:59.310
为了避免重复 每一边乘三次

00:02:59.310 --> 00:03:03.820
根据海伦公式

00:03:03.820 --> 00:03:07.060
我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方

00:03:07.060 --> 00:03:08.970
那么这个结果是什么呢

00:03:08.970 --> 00:03:10.740
这个等于平方根里左边是2分之3a

00:03:10.740 --> 00:03:13.170
右边等于3a减去2a也就是a

00:03:13.170 --> 00:03:16.000
所以就是2分之a的三次方

00:03:16.000 --> 00:03:18.640
换一种颜色

00:03:18.640 --> 00:03:20.700
2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方

00:03:20.700 --> 00:03:22.000
也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16

00:03:22.000 --> 00:03:31.050
对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16

00:03:31.050 --> 00:03:34.070
如果我们把分子和分母开根号

00:03:34.070 --> 00:03:36.810
这就是在算a的四次方的开根是a的平方

00:03:36.810 --> 00:03:42.010
a的平方乘以 我们这里写成根号3

00:03:42.010 --> 00:03:44.860
在分母的开根号 也就是4的上面做分子

00:03:44.860 --> 00:03:46.490
所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式

00:03:46.490 --> 00:03:53.560
知道这个等边三角形的面积

00:03:53.560 --> 00:03:58.170
我们怎么计算出a的值

00:03:58.170 --> 00:04:03.400
我们还知道等边三角形的其他什么特性

00:04:03.400 --> 00:04:03.680
我们知道所有这些角都相等

00:04:03.680 --> 00:04:07.100
又因为它们加起来必须是180度

00:04:07.100 --> 00:04:07.890
所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角

00:04:07.890 --> 00:04:10.660
那个也是60度的角

00:04:10.660 --> 00:04:14.150
现在看看我们是否能利用上个视频的知识

00:04:14.150 --> 00:04:16.690
其中我提到了圆周角和圆心角

00:04:16.690 --> 00:04:21.390
的关系

00:04:21.390 --> 00:04:24.860
这是一个圆周角

00:04:24.860 --> 00:04:30.130
它的顶点在圆周上

00:04:30.130 --> 00:04:32.720
所以它对着

00:04:32.720 --> 00:04:35.080
它对着这段弧 那个对着那段弧

00:04:35.080 --> 00:04:37.770
所对的同一段圆弧的圆心角

00:04:37.770 --> 00:04:42.690
是这个

00:04:42.690 --> 00:04:45.720
这个正是对着同一段圆弧的圆心角

00:04:45.720 --> 00:04:48.210
根据我们在上个视频中看到的

00:04:48.210 --> 00:04:51.890
对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的

00:04:51.890 --> 00:04:54.090
两倍

00:04:54.090 --> 00:04:56.980
因此这个圆心角就是120度

00:04:56.980 --> 00:05:01.720
让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍

00:05:01.720 --> 00:05:02.800
如果我恰好平分这个角

00:05:02.800 --> 00:05:04.560
我从角的中间画一条线 像这样直直地到底

00:05:04.560 --> 00:05:09.620
那么这两个角分别是多少度

00:05:09.620 --> 00:05:16.630
它们将都是60度我均分了这个角

00:05:16.630 --> 00:05:20.500
这个是60度角 另一个也是60度

00:05:20.500 --> 00:05:25.000
并且我们知道我把它分成了两份

00:05:25.000 --> 00:05:26.330
这是一个等腰三角形 这是一条半径

00:05:26.330 --> 00:05:29.880
半径等于2这是一条长度为2的半径

00:05:29.880 --> 00:05:33.740
所以这整个三角形是对称的 如果我从中间

00:05:33.740 --> 00:05:34.960
一直往下延伸 这条的长度是

00:05:34.960 --> 00:05:39.170
边长的一半

00:05:39.170 --> 00:05:41.980
另一条也是如此

00:05:41.980 --> 00:05:43.040
让我在边上演示 如果我取

00:05:43.040 --> 00:05:47.230
任意一个等腰三角形

00:05:47.230 --> 00:05:48.860
它的两条腰的长度相同

00:05:48.860 --> 00:05:50.860
在这个例子中两条腰是圆的半径

00:05:50.860 --> 00:05:52.440
这个角等于另一个角

00:05:52.440 --> 00:05:56.110
如果我再从中间这个角切开

00:05:56.110 --> 00:05:58.140
我会把对边切成两条

00:05:58.140 --> 00:06:01.260
这两条长度相同

00:06:01.260 --> 00:06:03.310
在这种情况下 如果这条边长是a

00:06:03.310 --> 00:06:04.440
每一个半条的长度就是2分之a

00:06:04.440 --> 00:06:05.760
现在我们能否利用这个和一些

00:06:05.760 --> 00:06:10.480
三角知识来找出a和r的关系

00:06:10.480 --> 00:06:14.450
因为如果我们能用r算出a

00:06:14.450 --> 00:06:17.080
那么我们就能在等式中带入a的值

00:06:17.080 --> 00:06:19.040
从而得到三角形的面积 接着我们能

00:06:19.040 --> 00:06:21.030
从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了

00:06:21.030 --> 00:06:24.530
我们会解决这个问题

00:06:24.530 --> 00:06:26.090
让我们试试看

00:06:26.090 --> 00:06:28.540
已经知道这个角是60度

00:06:28.540 --> 00:06:33.100
是整个圆心角的一半

00:06:33.100 --> 00:06:36.280
这个角是60度 而且2分之a

00:06:36.280 --> 00:06:37.240
是这个角的对边长 已知对边长是

00:06:37.240 --> 00:06:39.890
2分之a

00:06:39.890 --> 00:06:44.850
我们知道斜边 对不

00:06:44.850 --> 00:06:47.300
这是一个直角三角形 你从上到下

00:06:47.300 --> 00:06:49.530
二等分三角形所对的边

00:06:49.530 --> 00:06:51.790
得到一个直角三角形 从三角形几何关系

00:06:51.790 --> 00:06:55.260
对边是2分之a

00:06:55.260 --> 00:06:56.880
斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边

00:06:56.880 --> 00:06:59.120
半径是2

00:06:59.120 --> 00:07:01.140
所以三角比率等于角的对边比上

00:07:01.140 --> 00:07:04.420
斜边的比率

00:07:04.420 --> 00:07:08.620
有人可能

00:07:08.620 --> 00:07:12.050
已经厌倦我一直在做的 但是

00:07:12.050 --> 00:07:14.640
一个角的正弦值等于它的对边比上

00:07:14.640 --> 00:07:15.690
让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了

00:07:15.690 --> 00:07:17.600
所以这个角的正弦值

00:07:17.600 --> 00:07:20.070
60度角的正弦值

00:07:20.070 --> 00:07:22.050
等于斜边分之 也就是半径

00:07:22.050 --> 00:07:24.610
2分之a

00:07:24.610 --> 00:07:29.340
2分之半径 也就是等于2分之a除以2

00:07:29.340 --> 00:07:32.050
等于4分之a

00:07:32.050 --> 00:07:35.890
那么60度角的正弦值是多少

00:07:35.890 --> 00:07:37.380
如果你完全不了解"正弦值

00:07:37.380 --> 00:07:43.480
那么去看前几个

00:07:43.480 --> 00:07:44.860
在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步

00:07:44.860 --> 00:07:45.040
60度角的正弦值

00:07:45.040 --> 00:07:46.870
你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来

00:07:46.870 --> 00:07:49.830
让我画一个这样的三角形

00:07:49.830 --> 00:07:50.840
这就是一个30 60 90度角的三角形

00:07:50.840 --> 00:07:52.640
如果这个是60度角

00:07:52.640 --> 00:07:54.000
那个就是30度角 另一个是90度的

00:07:54.000 --> 00:08:02.550
你可能记得这个是长度1的话

00:08:02.550 --> 00:08:05.020
那么那条边长是2分之1

00:08:05.020 --> 00:08:06.360
另一条长则为2分之根号3

00:08:06.360 --> 00:08:12.440
所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值

00:08:12.440 --> 00:08:14.920
2分之根号3除以1

00:08:14.920 --> 00:08:18.910
60度角的正弦值 如果你没有一个计算器

00:08:18.910 --> 00:08:22.030
你可以就使用这个值 2分之根号3

00:08:22.030 --> 00:08:27.070
因此这个就是2分之根号3

00:08:27.070 --> 00:08:28.620
我们可以算出a的值 4分之a

00:08:28.620 --> 00:08:29.580
等于2分之根号3 两边同时乘以4

00:08:29.580 --> 00:08:31.270
你把这个4消去了 在这儿乘以4

00:08:31.270 --> 00:08:38.700
它就变成了2 另一边是1

00:08:38.700 --> 00:08:42.070
得到结果是2乘以根号3

00:08:42.070 --> 00:08:45.800
我们快接近结果了

00:08:45.800 --> 00:08:48.140
我们刚刚计算出每条边的长度

00:08:48.140 --> 00:08:54.510
我们用海伦公式得出以边长表示的

00:08:54.510 --> 00:08:56.880
三角形的面积

00:08:56.880 --> 00:08:59.720
我们只需要带入这个值来得到实际的面积

00:08:59.720 --> 00:09:04.150
所以我们三角形的面积表达式中有a的平方

00:09:04.150 --> 00:09:06.240
a的平方是

00:09:06.240 --> 00:09:08.310
面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3

00:09:08.310 --> 00:09:10.680
这是a的平方乘以4分之根号3

00:09:10.680 --> 00:09:13.210
也是4乘以3

00:09:13.210 --> 00:09:15.705
也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去

00:09:15.705 --> 00:09:21.540
最后三角形的面积就是3乘以根号3

00:09:21.540 --> 00:09:26.660
这儿的面积就是3乘以根号3

00:09:26.660 --> 00:09:29.520
这是整个三角形的面积

00:09:29.520 --> 00:09:31.370
现在 回到问题所问的地方

00:09:31.370 --> 00:09:35.300
桔色部分的面积 也就是在三角形之外

00:09:35.300 --> 00:09:37.770
而在圆内的部分 圆的面积是4∏
And inside of the circle well the area of our circle is 4∏

00:09:37.770 --> 00:09:40.940
我们从中减去三角形的面积

00:09:40.940 --> 00:09:42.840
3倍的根号3 我们已经完成了任务

00:09:42.840 --> 00:09:44.930
这就是我们的答案

00:09:44.930 --> 00:09:48.890
就是桔色部分的面积

00:09:48.890 --> 00:09:51.280
最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣