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Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.48,Default,,0000,0000,0000,,在这个视频中 我想使用上个视频中的结论
Dialogue: 0,0:00:00.48,0:00:03.14,Default,,0000,0000,0000,,来做一些巧妙的事情
Dialogue: 0,0:00:03.14,0:00:05.96,Default,,0000,0000,0000,,比如这是一个圆
Dialogue: 0,0:00:05.96,0:00:10.00,Default,,0000,0000,0000,,并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中
Dialogue: 0,0:00:10.00,0:00:12.13,Default,,0000,0000,0000,,所以这个三角形的所有顶点
Dialogue: 0,0:00:12.13,0:00:17.34,Default,,0000,0000,0000,,都在圆的周长上
Dialogue: 0,0:00:17.34,0:00:18.82,Default,,0000,0000,0000,,我尽力尝试画一个等边三角形
Dialogue: 0,0:00:18.82,0:00:24.17,Default,,0000,0000,0000,,我想这大概是我能画得最好的了
Dialogue: 0,0:00:24.17,0:00:26.96,Default,,0000,0000,0000,,当我说等边的时候就表示所有的边都一样长
Dialogue: 0,0:00:26.96,0:00:28.62,Default,,0000,0000,0000,,所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A
Dialogue: 0,0:00:28.62,0:00:29.91,Default,,0000,0000,0000,,剩下的一条边长也是A
Dialogue: 0,0:00:29.91,0:00:33.06,Default,,0000,0000,0000,,我们假设这个的半径
Dialogue: 0,0:00:33.06,0:00:36.61,Default,,0000,0000,0000,,这个圆的半径是2
Dialogue: 0,0:00:36.61,0:00:44.01,Default,,0000,0000,0000,,我只是随意选择一个数字 来解决这个问题
Dialogue: 0,0:00:44.01,0:00:45.92,Default,,0000,0000,0000,,假设这个圆的半径是2
Dialogue: 0,0:00:45.92,0:00:49.60,Default,,0000,0000,0000,,从圆心到圆周上的任意一点
Dialogue: 0,0:00:49.60,0:00:51.70,Default,,0000,0000,0000,,这个距离 就是半径 等于2
Dialogue: 0,0:00:51.70,0:00:55.91,Default,,0000,0000,0000,,现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果
Dialogue: 0,0:00:55.91,0:01:01.78,Default,,0000,0000,0000,,和一些基础的三角知识
Dialogue: 0,0:01:01.78,0:01:04.02,Default,,0000,0000,0000,,如果"三角学"吓到你了
Dialogue: 0,0:01:04.02,0:01:06.94,Default,,0000,0000,0000,,你只需要大概了解播放列表中前两三个
Dialogue: 0,0:01:06.94,0:01:09.57,Default,,0000,0000,0000,,有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么
Dialogue: 0,0:01:09.57,0:01:11.71,Default,,0000,0000,0000,,我想做的事就是算出在圆内三角形外的
Dialogue: 0,0:01:11.71,0:01:12.84,Default,,0000,0000,0000,,区域的面积
Dialogue: 0,0:01:12.84,0:01:18.83,Default,,0000,0000,0000,,所以是计算出这小块区域 那小块区域
Dialogue: 0,0:01:18.83,0:01:21.08,Default,,0000,0000,0000,,和这块区域合并而成的面积
Dialogue: 0,0:01:21.08,0:01:25.69,Default,,0000,0000,0000,,解决这个问题的明显方法是
Dialogue: 0,0:01:25.69,0:01:30.94,Default,,0000,0000,0000,,我能轻松算出圆的面积
Dialogue: 0,0:01:30.94,0:01:33.49,Default,,0000,0000,0000,,圆的面积就等于∏乘以r的平方\NArea of the circle that's gonna be equal to ∏r2
Dialogue: 0,0:01:33.49,0:01:36.67,Default,,0000,0000,0000,,或者是∏乘以2的平方 也就是4∏\NOr ∏ times 22 which is equal to 4 ∏
Dialogue: 0,0:01:36.67,0:01:40.22,Default,,0000,0000,0000,,我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积\NAnd I could subtract from 4∏ the area of the triangle
Dialogue: 0,0:01:40.22,0:01:43.74,Default,,0000,0000,0000,,因此我需要算出三角形的面积
Dialogue: 0,0:01:43.74,0:01:48.84,Default,,0000,0000,0000,,那么三角形的面积是
Dialogue: 0,0:01:48.84,0:01:53.04,Default,,0000,0000,0000,,三角形的面积 前几个视频中
Dialogue: 0,0:01:53.04,0:01:55.45,Default,,0000,0000,0000,,我演示给你们看过海伦公式
Dialogue: 0,0:01:55.45,0:02:00.76,Default,,0000,0000,0000,,如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积
Dialogue: 0,0:02:00.76,0:02:03.93,Default,,0000,0000,0000,,但我们暂时还不知道边的长度
Dialogue: 0,0:02:03.93,0:02:07.26,Default,,0000,0000,0000,,一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积
Dialogue: 0,0:02:07.26,0:02:10.72,Default,,0000,0000,0000,,让我们在不知边长的情况下使用海伦公式
Dialogue: 0,0:02:10.72,0:02:12.07,Default,,0000,0000,0000,,让我们假设这个等边三角形的边长
Dialogue: 0,0:02:12.07,0:02:14.18,Default,,0000,0000,0000,,边长是A
Dialogue: 0,0:02:14.18,0:02:16.56,Default,,0000,0000,0000,,应用海伦公式
Dialogue: 0,0:02:16.56,0:02:18.74,Default,,0000,0000,0000,,我们首先明确海伦公式变量s
Dialogue: 0,0:02:18.74,0:02:21.95,Default,,0000,0000,0000,,s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a
Dialogue: 0,0:02:21.95,0:02:23.76,Default,,0000,0000,0000,,这个三角形的面积用A来表示
Dialogue: 0,0:02:23.76,0:02:31.45,Default,,0000,0000,0000,,所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值
Dialogue: 0,0:02:31.45,0:02:38.22,Default,,0000,0000,0000,,就是2分之3a减去a
Dialogue: 0,0:02:38.22,0:02:42.07,Default,,0000,0000,0000,,或者我可以写成2分之2a对么
Dialogue: 0,0:02:42.07,0:02:46.38,Default,,0000,0000,0000,,a就等于2分之2a你可以抵消2得到a
Dialogue: 0,0:02:46.38,0:02:52.91,Default,,0000,0000,0000,,接着我要重复三次得出的结果再开平方
Dialogue: 0,0:02:52.91,0:02:59.31,Default,,0000,0000,0000,,为了避免重复 每一边乘三次
Dialogue: 0,0:02:59.31,0:03:03.82,Default,,0000,0000,0000,,根据海伦公式
Dialogue: 0,0:03:03.82,0:03:07.06,Default,,0000,0000,0000,,我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方
Dialogue: 0,0:03:07.06,0:03:08.97,Default,,0000,0000,0000,,那么这个结果是什么呢
Dialogue: 0,0:03:08.97,0:03:10.74,Default,,0000,0000,0000,,这个等于平方根里左边是2分之3a
Dialogue: 0,0:03:10.74,0:03:13.17,Default,,0000,0000,0000,,右边等于3a减去2a也就是a
Dialogue: 0,0:03:13.17,0:03:16.00,Default,,0000,0000,0000,,所以就是2分之a的三次方
Dialogue: 0,0:03:16.00,0:03:18.64,Default,,0000,0000,0000,,换一种颜色
Dialogue: 0,0:03:18.64,0:03:20.70,Default,,0000,0000,0000,,2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方
Dialogue: 0,0:03:20.70,0:03:22.00,Default,,0000,0000,0000,,也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16
Dialogue: 0,0:03:22.00,0:03:31.05,Default,,0000,0000,0000,,对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16
Dialogue: 0,0:03:31.05,0:03:34.07,Default,,0000,0000,0000,,如果我们把分子和分母开根号
Dialogue: 0,0:03:34.07,0:03:36.81,Default,,0000,0000,0000,,这就是在算a的四次方的开根是a的平方
Dialogue: 0,0:03:36.81,0:03:42.01,Default,,0000,0000,0000,,a的平方乘以 我们这里写成根号3
Dialogue: 0,0:03:42.01,0:03:44.86,Default,,0000,0000,0000,,在分母的开根号 也就是4的上面做分子
Dialogue: 0,0:03:44.86,0:03:46.49,Default,,0000,0000,0000,,所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式
Dialogue: 0,0:03:46.49,0:03:53.56,Default,,0000,0000,0000,,知道这个等边三角形的面积
Dialogue: 0,0:03:53.56,0:03:58.17,Default,,0000,0000,0000,,我们怎么计算出a的值
Dialogue: 0,0:03:58.17,0:04:03.40,Default,,0000,0000,0000,,我们还知道等边三角形的其他什么特性
Dialogue: 0,0:04:03.40,0:04:03.68,Default,,0000,0000,0000,,我们知道所有这些角都相等
Dialogue: 0,0:04:03.68,0:04:07.10,Default,,0000,0000,0000,,又因为它们加起来必须是180度
Dialogue: 0,0:04:07.10,0:04:07.89,Default,,0000,0000,0000,,所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角
Dialogue: 0,0:04:07.89,0:04:10.66,Default,,0000,0000,0000,,那个也是60度的角
Dialogue: 0,0:04:10.66,0:04:14.15,Default,,0000,0000,0000,,现在看看我们是否能利用上个视频的知识
Dialogue: 0,0:04:14.15,0:04:16.69,Default,,0000,0000,0000,,其中我提到了圆周角和圆心角
Dialogue: 0,0:04:16.69,0:04:21.39,Default,,0000,0000,0000,,的关系
Dialogue: 0,0:04:21.39,0:04:24.86,Default,,0000,0000,0000,,这是一个圆周角
Dialogue: 0,0:04:24.86,0:04:30.13,Default,,0000,0000,0000,,它的顶点在圆周上
Dialogue: 0,0:04:30.13,0:04:32.72,Default,,0000,0000,0000,,所以它对着
Dialogue: 0,0:04:32.72,0:04:35.08,Default,,0000,0000,0000,,它对着这段弧 那个对着那段弧
Dialogue: 0,0:04:35.08,0:04:37.77,Default,,0000,0000,0000,,所对的同一段圆弧的圆心角
Dialogue: 0,0:04:37.77,0:04:42.69,Default,,0000,0000,0000,,是这个
Dialogue: 0,0:04:42.69,0:04:45.72,Default,,0000,0000,0000,,这个正是对着同一段圆弧的圆心角
Dialogue: 0,0:04:45.72,0:04:48.21,Default,,0000,0000,0000,,根据我们在上个视频中看到的
Dialogue: 0,0:04:48.21,0:04:51.89,Default,,0000,0000,0000,,对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的
Dialogue: 0,0:04:51.89,0:04:54.09,Default,,0000,0000,0000,,两倍
Dialogue: 0,0:04:54.09,0:04:56.98,Default,,0000,0000,0000,,因此这个圆心角就是120度
Dialogue: 0,0:04:56.98,0:05:01.72,Default,,0000,0000,0000,,让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍
Dialogue: 0,0:05:01.72,0:05:02.80,Default,,0000,0000,0000,,如果我恰好平分这个角
Dialogue: 0,0:05:02.80,0:05:04.56,Default,,0000,0000,0000,,我从角的中间画一条线 像这样直直地到底
Dialogue: 0,0:05:04.56,0:05:09.62,Default,,0000,0000,0000,,那么这两个角分别是多少度
Dialogue: 0,0:05:09.62,0:05:16.63,Default,,0000,0000,0000,,它们将都是60度我均分了这个角
Dialogue: 0,0:05:16.63,0:05:20.50,Default,,0000,0000,0000,,这个是60度角 另一个也是60度
Dialogue: 0,0:05:20.50,0:05:25.00,Default,,0000,0000,0000,,并且我们知道我把它分成了两份
Dialogue: 0,0:05:25.00,0:05:26.33,Default,,0000,0000,0000,,这是一个等腰三角形 这是一条半径
Dialogue: 0,0:05:26.33,0:05:29.88,Default,,0000,0000,0000,,半径等于2这是一条长度为2的半径
Dialogue: 0,0:05:29.88,0:05:33.74,Default,,0000,0000,0000,,所以这整个三角形是对称的 如果我从中间
Dialogue: 0,0:05:33.74,0:05:34.96,Default,,0000,0000,0000,,一直往下延伸 这条的长度是
Dialogue: 0,0:05:34.96,0:05:39.17,Default,,0000,0000,0000,,边长的一半
Dialogue: 0,0:05:39.17,0:05:41.98,Default,,0000,0000,0000,,另一条也是如此
Dialogue: 0,0:05:41.98,0:05:43.04,Default,,0000,0000,0000,,让我在边上演示 如果我取
Dialogue: 0,0:05:43.04,0:05:47.23,Default,,0000,0000,0000,,任意一个等腰三角形
Dialogue: 0,0:05:47.23,0:05:48.86,Default,,0000,0000,0000,,它的两条腰的长度相同
Dialogue: 0,0:05:48.86,0:05:50.86,Default,,0000,0000,0000,,在这个例子中两条腰是圆的半径
Dialogue: 0,0:05:50.86,0:05:52.44,Default,,0000,0000,0000,,这个角等于另一个角
Dialogue: 0,0:05:52.44,0:05:56.11,Default,,0000,0000,0000,,如果我再从中间这个角切开
Dialogue: 0,0:05:56.11,0:05:58.14,Default,,0000,0000,0000,,我会把对边切成两条
Dialogue: 0,0:05:58.14,0:06:01.26,Default,,0000,0000,0000,,这两条长度相同
Dialogue: 0,0:06:01.26,0:06:03.31,Default,,0000,0000,0000,,在这种情况下 如果这条边长是a
Dialogue: 0,0:06:03.31,0:06:04.44,Default,,0000,0000,0000,,每一个半条的长度就是2分之a
Dialogue: 0,0:06:04.44,0:06:05.76,Default,,0000,0000,0000,,现在我们能否利用这个和一些
Dialogue: 0,0:06:05.76,0:06:10.48,Default,,0000,0000,0000,,三角知识来找出a和r的关系
Dialogue: 0,0:06:10.48,0:06:14.45,Default,,0000,0000,0000,,因为如果我们能用r算出a
Dialogue: 0,0:06:14.45,0:06:17.08,Default,,0000,0000,0000,,那么我们就能在等式中带入a的值
Dialogue: 0,0:06:17.08,0:06:19.04,Default,,0000,0000,0000,,从而得到三角形的面积 接着我们能
Dialogue: 0,0:06:19.04,0:06:21.03,Default,,0000,0000,0000,,从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了
Dialogue: 0,0:06:21.03,0:06:24.53,Default,,0000,0000,0000,,我们会解决这个问题
Dialogue: 0,0:06:24.53,0:06:26.09,Default,,0000,0000,0000,,让我们试试看
Dialogue: 0,0:06:26.09,0:06:28.54,Default,,0000,0000,0000,,已经知道这个角是60度
Dialogue: 0,0:06:28.54,0:06:33.10,Default,,0000,0000,0000,,是整个圆心角的一半
Dialogue: 0,0:06:33.10,0:06:36.28,Default,,0000,0000,0000,,这个角是60度 而且2分之a
Dialogue: 0,0:06:36.28,0:06:37.24,Default,,0000,0000,0000,,是这个角的对边长 已知对边长是
Dialogue: 0,0:06:37.24,0:06:39.89,Default,,0000,0000,0000,,2分之a
Dialogue: 0,0:06:39.89,0:06:44.85,Default,,0000,0000,0000,,我们知道斜边 对不
Dialogue: 0,0:06:44.85,0:06:47.30,Default,,0000,0000,0000,,这是一个直角三角形 你从上到下
Dialogue: 0,0:06:47.30,0:06:49.53,Default,,0000,0000,0000,,二等分三角形所对的边
Dialogue: 0,0:06:49.53,0:06:51.79,Default,,0000,0000,0000,,得到一个直角三角形 从三角形几何关系
Dialogue: 0,0:06:51.79,0:06:55.26,Default,,0000,0000,0000,,对边是2分之a
Dialogue: 0,0:06:55.26,0:06:56.88,Default,,0000,0000,0000,,斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边
Dialogue: 0,0:06:56.88,0:06:59.12,Default,,0000,0000,0000,,半径是2
Dialogue: 0,0:06:59.12,0:07:01.14,Default,,0000,0000,0000,,所以三角比率等于角的对边比上
Dialogue: 0,0:07:01.14,0:07:04.42,Default,,0000,0000,0000,,斜边的比率
Dialogue: 0,0:07:04.42,0:07:08.62,Default,,0000,0000,0000,,有人可能
Dialogue: 0,0:07:08.62,0:07:12.05,Default,,0000,0000,0000,,已经厌倦我一直在做的 但是
Dialogue: 0,0:07:12.05,0:07:14.64,Default,,0000,0000,0000,,一个角的正弦值等于它的对边比上
Dialogue: 0,0:07:14.64,0:07:15.69,Default,,0000,0000,0000,,让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了
Dialogue: 0,0:07:15.69,0:07:17.60,Default,,0000,0000,0000,,所以这个角的正弦值
Dialogue: 0,0:07:17.60,0:07:20.07,Default,,0000,0000,0000,,60度角的正弦值
Dialogue: 0,0:07:20.07,0:07:22.05,Default,,0000,0000,0000,,等于斜边分之 也就是半径
Dialogue: 0,0:07:22.05,0:07:24.61,Default,,0000,0000,0000,,2分之a
Dialogue: 0,0:07:24.61,0:07:29.34,Default,,0000,0000,0000,,2分之半径 也就是等于2分之a除以2
Dialogue: 0,0:07:29.34,0:07:32.05,Default,,0000,0000,0000,,等于4分之a
Dialogue: 0,0:07:32.05,0:07:35.89,Default,,0000,0000,0000,,那么60度角的正弦值是多少
Dialogue: 0,0:07:35.89,0:07:37.38,Default,,0000,0000,0000,,如果你完全不了解"正弦值
Dialogue: 0,0:07:37.38,0:07:43.48,Default,,0000,0000,0000,,那么去看前几个
Dialogue: 0,0:07:43.48,0:07:44.86,Default,,0000,0000,0000,,在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步
Dialogue: 0,0:07:44.86,0:07:45.04,Default,,0000,0000,0000,,60度角的正弦值
Dialogue: 0,0:07:45.04,0:07:46.87,Default,,0000,0000,0000,,你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来
Dialogue: 0,0:07:46.87,0:07:49.83,Default,,0000,0000,0000,,让我画一个这样的三角形
Dialogue: 0,0:07:49.83,0:07:50.84,Default,,0000,0000,0000,,这就是一个30 60 90度角的三角形
Dialogue: 0,0:07:50.84,0:07:52.64,Default,,0000,0000,0000,,如果这个是60度角
Dialogue: 0,0:07:52.64,0:07:54.00,Default,,0000,0000,0000,,那个就是30度角 另一个是90度的
Dialogue: 0,0:07:54.00,0:08:02.55,Default,,0000,0000,0000,,你可能记得这个是长度1的话
Dialogue: 0,0:08:02.55,0:08:05.02,Default,,0000,0000,0000,,那么那条边长是2分之1
Dialogue: 0,0:08:05.02,0:08:06.36,Default,,0000,0000,0000,,另一条长则为2分之根号3
Dialogue: 0,0:08:06.36,0:08:12.44,Default,,0000,0000,0000,,所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值
Dialogue: 0,0:08:12.44,0:08:14.92,Default,,0000,0000,0000,,2分之根号3除以1
Dialogue: 0,0:08:14.92,0:08:18.91,Default,,0000,0000,0000,,60度角的正弦值 如果你没有一个计算器
Dialogue: 0,0:08:18.91,0:08:22.03,Default,,0000,0000,0000,,你可以就使用这个值 2分之根号3
Dialogue: 0,0:08:22.03,0:08:27.07,Default,,0000,0000,0000,,因此这个就是2分之根号3
Dialogue: 0,0:08:27.07,0:08:28.62,Default,,0000,0000,0000,,我们可以算出a的值 4分之a
Dialogue: 0,0:08:28.62,0:08:29.58,Default,,0000,0000,0000,,等于2分之根号3 两边同时乘以4
Dialogue: 0,0:08:29.58,0:08:31.27,Default,,0000,0000,0000,,你把这个4消去了 在这儿乘以4
Dialogue: 0,0:08:31.27,0:08:38.70,Default,,0000,0000,0000,,它就变成了2 另一边是1
Dialogue: 0,0:08:38.70,0:08:42.07,Default,,0000,0000,0000,,得到结果是2乘以根号3
Dialogue: 0,0:08:42.07,0:08:45.80,Default,,0000,0000,0000,,我们快接近结果了
Dialogue: 0,0:08:45.80,0:08:48.14,Default,,0000,0000,0000,,我们刚刚计算出每条边的长度
Dialogue: 0,0:08:48.14,0:08:54.51,Default,,0000,0000,0000,,我们用海伦公式得出以边长表示的
Dialogue: 0,0:08:54.51,0:08:56.88,Default,,0000,0000,0000,,三角形的面积
Dialogue: 0,0:08:56.88,0:08:59.72,Default,,0000,0000,0000,,我们只需要带入这个值来得到实际的面积
Dialogue: 0,0:08:59.72,0:09:04.15,Default,,0000,0000,0000,,所以我们三角形的面积表达式中有a的平方
Dialogue: 0,0:09:04.15,0:09:06.24,Default,,0000,0000,0000,,a的平方是
Dialogue: 0,0:09:06.24,0:09:08.31,Default,,0000,0000,0000,,面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3
Dialogue: 0,0:09:08.31,0:09:10.68,Default,,0000,0000,0000,,这是a的平方乘以4分之根号3
Dialogue: 0,0:09:10.68,0:09:13.21,Default,,0000,0000,0000,,也是4乘以3
Dialogue: 0,0:09:13.21,0:09:15.70,Default,,0000,0000,0000,,也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去
Dialogue: 0,0:09:15.70,0:09:21.54,Default,,0000,0000,0000,,最后三角形的面积就是3乘以根号3
Dialogue: 0,0:09:21.54,0:09:26.66,Default,,0000,0000,0000,,这儿的面积就是3乘以根号3
Dialogue: 0,0:09:26.66,0:09:29.52,Default,,0000,0000,0000,,这是整个三角形的面积
Dialogue: 0,0:09:29.52,0:09:31.37,Default,,0000,0000,0000,,现在 回到问题所问的地方
Dialogue: 0,0:09:31.37,0:09:35.30,Default,,0000,0000,0000,,桔色部分的面积 也就是在三角形之外
Dialogue: 0,0:09:35.30,0:09:37.77,Default,,0000,0000,0000,,而在圆内的部分 圆的面积是4∏\NAnd inside of the circle well the area of our circle is 4∏
Dialogue: 0,0:09:37.77,0:09:40.94,Default,,0000,0000,0000,,我们从中减去三角形的面积
Dialogue: 0,0:09:40.94,0:09:42.84,Default,,0000,0000,0000,,3倍的根号3 我们已经完成了任务
Dialogue: 0,0:09:42.84,0:09:44.93,Default,,0000,0000,0000,,这就是我们的答案
Dialogue: 0,0:09:44.93,0:09:48.89,Default,,0000,0000,0000,,就是桔色部分的面积
Dialogue: 0,0:09:48.89,0:09:51.28,Default,,0000,0000,0000,,最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣