1
00:00:00,000 --> 00:00:00,480
在这个视频中 我想使用上个视频中的结论

2
00:00:00,480 --> 00:00:03,140
来做一些巧妙的事情

3
00:00:03,140 --> 00:00:05,960
比如这是一个圆

4
00:00:05,960 --> 00:00:10,000
并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中

5
00:00:10,000 --> 00:00:12,130
所以这个三角形的所有顶点

6
00:00:12,130 --> 00:00:17,340
都在圆的周长上

7
00:00:17,340 --> 00:00:18,825
我尽力尝试画一个等边三角形

8
00:00:18,825 --> 00:00:24,170
我想这大概是我能画得最好的了

9
00:00:24,170 --> 00:00:26,960
当我说等边的时候就表示所有的边都一样长

10
00:00:26,960 --> 00:00:28,620
所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A

11
00:00:28,620 --> 00:00:29,910
剩下的一条边长也是A

12
00:00:29,910 --> 00:00:33,060
我们假设这个的半径

13
00:00:33,060 --> 00:00:36,610
这个圆的半径是2

14
00:00:36,610 --> 00:00:44,010
我只是随意选择一个数字 来解决这个问题

15
00:00:44,010 --> 00:00:45,925
假设这个圆的半径是2

16
00:00:45,925 --> 00:00:49,600
从圆心到圆周上的任意一点

17
00:00:49,600 --> 00:00:51,700
这个距离 就是半径 等于2

18
00:00:51,700 --> 00:00:55,910
现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果

19
00:00:55,910 --> 00:01:01,780
和一些基础的三角知识

20
00:01:01,780 --> 00:01:04,020
如果"三角学"吓到你了

21
00:01:04,020 --> 00:01:06,940
你只需要大概了解播放列表中前两三个

22
00:01:06,940 --> 00:01:09,570
有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么

23
00:01:09,570 --> 00:01:11,710
我想做的事就是算出在圆内三角形外的

24
00:01:11,710 --> 00:01:12,840
区域的面积

25
00:01:12,840 --> 00:01:18,830
所以是计算出这小块区域 那小块区域

26
00:01:18,830 --> 00:01:21,080
和这块区域合并而成的面积

27
00:01:21,080 --> 00:01:25,690
解决这个问题的明显方法是

28
00:01:25,690 --> 00:01:30,940
我能轻松算出圆的面积

29
00:01:30,940 --> 00:01:33,490
圆的面积就等于∏乘以r的平方
Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2

30
00:01:33,490 --> 00:01:36,670
或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏

31
00:01:36,670 --> 00:01:40,215
我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
And I could subtract from 4∏ the area of the triangle

32
00:01:40,215 --> 00:01:43,740
因此我需要算出三角形的面积

33
00:01:43,740 --> 00:01:48,840
那么三角形的面积是

34
00:01:48,840 --> 00:01:53,040
三角形的面积 前几个视频中

35
00:01:53,040 --> 00:01:55,450
我演示给你们看过海伦公式

36
00:01:55,450 --> 00:02:00,760
如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积

37
00:02:00,760 --> 00:02:03,930
但我们暂时还不知道边的长度

38
00:02:03,930 --> 00:02:07,260
一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积

39
00:02:07,260 --> 00:02:10,720
让我们在不知边长的情况下使用海伦公式

40
00:02:10,720 --> 00:02:12,070
让我们假设这个等边三角形的边长

41
00:02:12,070 --> 00:02:14,180
边长是A

42
00:02:14,180 --> 00:02:16,560
应用海伦公式

43
00:02:16,560 --> 00:02:18,740
我们首先明确海伦公式变量s

44
00:02:18,740 --> 00:02:21,950
s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a

45
00:02:21,950 --> 00:02:23,760
这个三角形的面积用A来表示

46
00:02:23,760 --> 00:02:31,450
所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值

47
00:02:31,450 --> 00:02:38,220
就是2分之3a减去a

48
00:02:38,220 --> 00:02:42,070
或者我可以写成2分之2a对么

49
00:02:42,070 --> 00:02:46,380
a就等于2分之2a你可以抵消2得到a

50
00:02:46,380 --> 00:02:52,910
接着我要重复三次得出的结果再开平方

51
00:02:52,910 --> 00:02:59,310
为了避免重复 每一边乘三次

52
00:02:59,310 --> 00:03:03,820
根据海伦公式

53
00:03:03,820 --> 00:03:07,060
我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方

54
00:03:07,060 --> 00:03:08,970
那么这个结果是什么呢

55
00:03:08,970 --> 00:03:10,740
这个等于平方根里左边是2分之3a

56
00:03:10,740 --> 00:03:13,170
右边等于3a减去2a也就是a

57
00:03:13,170 --> 00:03:16,000
所以就是2分之a的三次方

58
00:03:16,000 --> 00:03:18,640
换一种颜色

59
00:03:18,640 --> 00:03:20,700
2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方

60
00:03:20,700 --> 00:03:22,000
也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16

61
00:03:22,000 --> 00:03:31,050
对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16

62
00:03:31,050 --> 00:03:34,070
如果我们把分子和分母开根号

63
00:03:34,070 --> 00:03:36,810
这就是在算a的四次方的开根是a的平方

64
00:03:36,810 --> 00:03:42,010
a的平方乘以 我们这里写成根号3

65
00:03:42,010 --> 00:03:44,860
在分母的开根号 也就是4的上面做分子

66
00:03:44,860 --> 00:03:46,490
所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式

67
00:03:46,490 --> 00:03:53,560
知道这个等边三角形的面积

68
00:03:53,560 --> 00:03:58,170
我们怎么计算出a的值

69
00:03:58,170 --> 00:04:03,400
我们还知道等边三角形的其他什么特性

70
00:04:03,400 --> 00:04:03,680
我们知道所有这些角都相等

71
00:04:03,680 --> 00:04:07,100
又因为它们加起来必须是180度

72
00:04:07,100 --> 00:04:07,890
所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角

73
00:04:07,890 --> 00:04:10,660
那个也是60度的角

74
00:04:10,660 --> 00:04:14,150
现在看看我们是否能利用上个视频的知识

75
00:04:14,150 --> 00:04:16,690
其中我提到了圆周角和圆心角

76
00:04:16,690 --> 00:04:21,390
的关系

77
00:04:21,390 --> 00:04:24,860
这是一个圆周角

78
00:04:24,860 --> 00:04:30,130
它的顶点在圆周上

79
00:04:30,130 --> 00:04:32,720
所以它对着

80
00:04:32,720 --> 00:04:35,080
它对着这段弧 那个对着那段弧

81
00:04:35,080 --> 00:04:37,770
所对的同一段圆弧的圆心角

82
00:04:37,770 --> 00:04:42,690
是这个

83
00:04:42,690 --> 00:04:45,720
这个正是对着同一段圆弧的圆心角

84
00:04:45,720 --> 00:04:48,210
根据我们在上个视频中看到的

85
00:04:48,210 --> 00:04:51,890
对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的

86
00:04:51,890 --> 00:04:54,090
两倍

87
00:04:54,090 --> 00:04:56,980
因此这个圆心角就是120度

88
00:04:56,980 --> 00:05:01,720
让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍

89
00:05:01,720 --> 00:05:02,800
如果我恰好平分这个角

90
00:05:02,800 --> 00:05:04,560
我从角的中间画一条线 像这样直直地到底

91
00:05:04,560 --> 00:05:09,620
那么这两个角分别是多少度

92
00:05:09,620 --> 00:05:16,630
它们将都是60度我均分了这个角

93
00:05:16,630 --> 00:05:20,500
这个是60度角 另一个也是60度

94
00:05:20,500 --> 00:05:25,000
并且我们知道我把它分成了两份

95
00:05:25,000 --> 00:05:26,330
这是一个等腰三角形 这是一条半径

96
00:05:26,330 --> 00:05:29,880
半径等于2这是一条长度为2的半径

97
00:05:29,880 --> 00:05:33,740
所以这整个三角形是对称的 如果我从中间

98
00:05:33,740 --> 00:05:34,960
一直往下延伸 这条的长度是

99
00:05:34,960 --> 00:05:39,170
边长的一半

100
00:05:39,170 --> 00:05:41,980
另一条也是如此

101
00:05:41,980 --> 00:05:43,040
让我在边上演示 如果我取

102
00:05:43,040 --> 00:05:47,230
任意一个等腰三角形

103
00:05:47,230 --> 00:05:48,860
它的两条腰的长度相同

104
00:05:48,860 --> 00:05:50,860
在这个例子中两条腰是圆的半径

105
00:05:50,860 --> 00:05:52,440
这个角等于另一个角

106
00:05:52,440 --> 00:05:56,110
如果我再从中间这个角切开

107
00:05:56,110 --> 00:05:58,140
我会把对边切成两条

108
00:05:58,140 --> 00:06:01,260
这两条长度相同

109
00:06:01,260 --> 00:06:03,310
在这种情况下 如果这条边长是a

110
00:06:03,310 --> 00:06:04,440
每一个半条的长度就是2分之a

111
00:06:04,440 --> 00:06:05,760
现在我们能否利用这个和一些

112
00:06:05,760 --> 00:06:10,480
三角知识来找出a和r的关系

113
00:06:10,480 --> 00:06:14,450
因为如果我们能用r算出a

114
00:06:14,450 --> 00:06:17,080
那么我们就能在等式中带入a的值

115
00:06:17,080 --> 00:06:19,040
从而得到三角形的面积 接着我们能

116
00:06:19,040 --> 00:06:21,030
从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了

117
00:06:21,030 --> 00:06:24,530
我们会解决这个问题

118
00:06:24,530 --> 00:06:26,090
让我们试试看

119
00:06:26,090 --> 00:06:28,540
已经知道这个角是60度

120
00:06:28,540 --> 00:06:33,100
是整个圆心角的一半

121
00:06:33,100 --> 00:06:36,280
这个角是60度 而且2分之a

122
00:06:36,280 --> 00:06:37,240
是这个角的对边长 已知对边长是

123
00:06:37,240 --> 00:06:39,890
2分之a

124
00:06:39,890 --> 00:06:44,850
我们知道斜边 对不

125
00:06:44,850 --> 00:06:47,300
这是一个直角三角形 你从上到下

126
00:06:47,300 --> 00:06:49,530
二等分三角形所对的边

127
00:06:49,530 --> 00:06:51,790
得到一个直角三角形 从三角形几何关系

128
00:06:51,790 --> 00:06:55,260
对边是2分之a

129
00:06:55,260 --> 00:06:56,880
斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边

130
00:06:56,880 --> 00:06:59,120
半径是2

131
00:06:59,120 --> 00:07:01,140
所以三角比率等于角的对边比上

132
00:07:01,140 --> 00:07:04,420
斜边的比率

133
00:07:04,420 --> 00:07:08,620
有人可能

134
00:07:08,620 --> 00:07:12,050
已经厌倦我一直在做的 但是

135
00:07:12,050 --> 00:07:14,640
一个角的正弦值等于它的对边比上

136
00:07:14,640 --> 00:07:15,690
让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了

137
00:07:15,690 --> 00:07:17,600
所以这个角的正弦值

138
00:07:17,600 --> 00:07:20,070
60度角的正弦值

139
00:07:20,070 --> 00:07:22,050
等于斜边分之 也就是半径

140
00:07:22,050 --> 00:07:24,610
2分之a

141
00:07:24,610 --> 00:07:29,340
2分之半径 也就是等于2分之a除以2

142
00:07:29,340 --> 00:07:32,050
等于4分之a

143
00:07:32,050 --> 00:07:35,890
那么60度角的正弦值是多少

144
00:07:35,890 --> 00:07:37,380
如果你完全不了解"正弦值

145
00:07:37,380 --> 00:07:43,480
那么去看前几个

146
00:07:43,480 --> 00:07:44,860
在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步

147
00:07:44,860 --> 00:07:45,040
60度角的正弦值

148
00:07:45,040 --> 00:07:46,870
你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来

149
00:07:46,870 --> 00:07:49,830
让我画一个这样的三角形

150
00:07:49,830 --> 00:07:50,840
这就是一个30 60 90度角的三角形

151
00:07:50,840 --> 00:07:52,640
如果这个是60度角

152
00:07:52,640 --> 00:07:54,000
那个就是30度角 另一个是90度的

153
00:07:54,000 --> 00:08:02,550
你可能记得这个是长度1的话

154
00:08:02,550 --> 00:08:05,020
那么那条边长是2分之1

155
00:08:05,020 --> 00:08:06,360
另一条长则为2分之根号3

156
00:08:06,360 --> 00:08:12,440
所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值

157
00:08:12,440 --> 00:08:14,920
2分之根号3除以1

158
00:08:14,920 --> 00:08:18,910
60度角的正弦值 如果你没有一个计算器

159
00:08:18,910 --> 00:08:22,030
你可以就使用这个值 2分之根号3

160
00:08:22,030 --> 00:08:27,070
因此这个就是2分之根号3

161
00:08:27,070 --> 00:08:28,620
我们可以算出a的值 4分之a

162
00:08:28,620 --> 00:08:29,580
等于2分之根号3 两边同时乘以4

163
00:08:29,580 --> 00:08:31,270
你把这个4消去了 在这儿乘以4

164
00:08:31,270 --> 00:08:38,700
它就变成了2 另一边是1

165
00:08:38,700 --> 00:08:42,070
得到结果是2乘以根号3

166
00:08:42,070 --> 00:08:45,800
我们快接近结果了

167
00:08:45,800 --> 00:08:48,140
我们刚刚计算出每条边的长度

168
00:08:48,140 --> 00:08:54,510
我们用海伦公式得出以边长表示的

169
00:08:54,510 --> 00:08:56,880
三角形的面积

170
00:08:56,880 --> 00:08:59,720
我们只需要带入这个值来得到实际的面积

171
00:08:59,720 --> 00:09:04,150
所以我们三角形的面积表达式中有a的平方

172
00:09:04,150 --> 00:09:06,240
a的平方是

173
00:09:06,240 --> 00:09:08,310
面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3

174
00:09:08,310 --> 00:09:10,680
这是a的平方乘以4分之根号3

175
00:09:10,680 --> 00:09:13,210
也是4乘以3

176
00:09:13,210 --> 00:09:15,705
也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去

177
00:09:15,705 --> 00:09:21,540
最后三角形的面积就是3乘以根号3

178
00:09:21,540 --> 00:09:26,660
这儿的面积就是3乘以根号3

179
00:09:26,660 --> 00:09:29,520
这是整个三角形的面积

180
00:09:29,520 --> 00:09:31,370
现在 回到问题所问的地方

181
00:09:31,370 --> 00:09:35,300
桔色部分的面积 也就是在三角形之外

182
00:09:35,300 --> 00:09:37,770
而在圆内的部分 圆的面积是4∏
And inside of the circle well the area of our circle is 4∏

183
00:09:37,770 --> 00:09:40,940
我们从中减去三角形的面积

184
00:09:40,940 --> 00:09:42,840
3倍的根号3 我们已经完成了任务

185
00:09:42,840 --> 00:09:44,930
这就是我们的答案

186
00:09:44,930 --> 00:09:48,890
就是桔色部分的面积

187
00:09:48,890 --> 00:09:51,280
最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣