在这个视频中 我想使用上个视频中的结论
来做一些巧妙的事情
比如这是一个圆
并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中
所以这个三角形的所有顶点
都在圆的周长上
我尽力尝试画一个等边三角形
我想这大概是我能画得最好的了
当我说等边的时候就表示所有的边都一样长
所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A
剩下的一条边长也是A
我们假设这个的半径
这个圆的半径是2
我只是随意选择一个数字 来解决这个问题
假设这个圆的半径是2
从圆心到圆周上的任意一点
这个距离 就是半径 等于2
现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果
和一些基础的三角知识
如果"三角学"吓到你了
你只需要大概了解播放列表中前两三个
有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么
我想做的事就是算出在圆内三角形外的
区域的面积
所以是计算出这小块区域 那小块区域
和这块区域合并而成的面积
解决这个问题的明显方法是
我能轻松算出圆的面积
圆的面积就等于∏乘以r的平方
Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2
或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏
我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
And I could subtract from 4∏ the area of the triangle
因此我需要算出三角形的面积
那么三角形的面积是
三角形的面积 前几个视频中
我演示给你们看过海伦公式
如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积
但我们暂时还不知道边的长度
一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积
让我们在不知边长的情况下使用海伦公式
让我们假设这个等边三角形的边长
边长是A
应用海伦公式
我们首先明确海伦公式变量s
s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a
这个三角形的面积用A来表示
所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值
就是2分之3a减去a
或者我可以写成2分之2a对么
a就等于2分之2a你可以抵消2得到a
接着我要重复三次得出的结果再开平方
为了避免重复 每一边乘三次
根据海伦公式
我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方
那么这个结果是什么呢
这个等于平方根里左边是2分之3a
右边等于3a减去2a也就是a
所以就是2分之a的三次方
换一种颜色
2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方
也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16
对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16
如果我们把分子和分母开根号
这就是在算a的四次方的开根是a的平方
a的平方乘以 我们这里写成根号3
在分母的开根号 也就是4的上面做分子
所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式
知道这个等边三角形的面积
我们怎么计算出a的值
我们还知道等边三角形的其他什么特性
我们知道所有这些角都相等
又因为它们加起来必须是180度
所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角
那个也是60度的角
现在看看我们是否能利用上个视频的知识
其中我提到了圆周角和圆心角
的关系
这是一个圆周角
它的顶点在圆周上
所以它对着
它对着这段弧 那个对着那段弧
所对的同一段圆弧的圆心角
是这个
这个正是对着同一段圆弧的圆心角
根据我们在上个视频中看到的
对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的
两倍
因此这个圆心角就是120度
让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍
如果我恰好平分这个角
我从角的中间画一条线 像这样直直地到底
那么这两个角分别是多少度
它们将都是60度我均分了这个角
这个是60度角 另一个也是60度
并且我们知道我把它分成了两份
这是一个等腰三角形 这是一条半径
半径等于2这是一条长度为2的半径
所以这整个三角形是对称的 如果我从中间
一直往下延伸 这条的长度是
边长的一半
另一条也是如此
让我在边上演示 如果我取
任意一个等腰三角形
它的两条腰的长度相同
在这个例子中两条腰是圆的半径
这个角等于另一个角
如果我再从中间这个角切开
我会把对边切成两条
这两条长度相同
在这种情况下 如果这条边长是a
每一个半条的长度就是2分之a
现在我们能否利用这个和一些
三角知识来找出a和r的关系
因为如果我们能用r算出a
那么我们就能在等式中带入a的值
从而得到三角形的面积 接着我们能
从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了
我们会解决这个问题
让我们试试看
已经知道这个角是60度
是整个圆心角的一半
这个角是60度 而且2分之a
是这个角的对边长 已知对边长是
2分之a
我们知道斜边 对不
这是一个直角三角形 你从上到下
二等分三角形所对的边
得到一个直角三角形 从三角形几何关系
对边是2分之a
斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边
半径是2
所以三角比率等于角的对边比上
斜边的比率
有人可能
已经厌倦我一直在做的 但是
一个角的正弦值等于它的对边比上
让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了
所以这个角的正弦值
60度角的正弦值
等于斜边分之 也就是半径
2分之a
2分之半径 也就是等于2分之a除以2
等于4分之a
那么60度角的正弦值是多少
如果你完全不了解"正弦值
那么去看前几个
在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步
60度角的正弦值
你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来
让我画一个这样的三角形
这就是一个30 60 90度角的三角形
如果这个是60度角
那个就是30度角 另一个是90度的
你可能记得这个是长度1的话
那么那条边长是2分之1
另一条长则为2分之根号3
所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值
2分之根号3除以1
60度角的正弦值 如果你没有一个计算器
你可以就使用这个值 2分之根号3
因此这个就是2分之根号3
我们可以算出a的值 4分之a
等于2分之根号3 两边同时乘以4
你把这个4消去了 在这儿乘以4
它就变成了2 另一边是1
得到结果是2乘以根号3
我们快接近结果了
我们刚刚计算出每条边的长度
我们用海伦公式得出以边长表示的
三角形的面积
我们只需要带入这个值来得到实际的面积
所以我们三角形的面积表达式中有a的平方
a的平方是
面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3
这是a的平方乘以4分之根号3
也是4乘以3
也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去
最后三角形的面积就是3乘以根号3
这儿的面积就是3乘以根号3
这是整个三角形的面积
现在 回到问题所问的地方
桔色部分的面积 也就是在三角形之外
而在圆内的部分 圆的面积是4∏
And inside of the circle well the area of our circle is 4∏
我们从中减去三角形的面积
3倍的根号3 我们已经完成了任务
这就是我们的答案
就是桔色部分的面积
最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣