WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.480
.

00:00:00.480 --> 00:00:03.140
I denne videoen skal vi bruke noen av resultatene

00:00:03.140 --> 00:00:05.960
fra tidligere videoer til å lage noen andre ting.

00:00:05.960 --> 00:00:10.000
Her er en sirkel,

00:00:10.000 --> 00:00:12.130
og en likesidet trekant er innskrevet i sirkelen.

00:00:12.130 --> 00:00:17.340
Alle trekantens vinkelspisser

00:00:17.340 --> 00:00:18.825
befinner seg på selve sirkelperleferien.

00:00:18.825 --> 00:00:24.170
La oss prøve å tegne trekanten.

00:00:24.170 --> 00:00:26.960
Det blir visst ikke bedre.

00:00:26.960 --> 00:00:28.620
Likesidet betyr,

00:00:28.620 --> 00:00:29.910
at alle trekantens sider er like lange.

00:00:29.910 --> 00:00:33.060
Hvis den her lengden er a,

00:00:33.060 --> 00:00:36.610
er de 2 andre sidene også a.

00:00:36.610 --> 00:00:44.010
Vi kan si, at sirkelens radius er 2.

00:00:44.010 --> 00:00:45.925
Vi velger et tilfeldig tall.

00:00:45.925 --> 00:00:49.600
Radius er 2.

00:00:49.600 --> 00:00:51.700
Fra sentrum til et hvert punkt på selve sirkelen er det altså 2,

00:00:51.700 --> 00:00:55.910
da det er radius.

00:00:55.910 --> 00:01:01.780
Til oppgaven skal vi bruke noen av resultatene fra tidligere videoer

00:01:01.780 --> 00:01:04.020
og en smule grunnleggende trigonometri.

00:01:04.020 --> 00:01:06.940
Hvis trigonometri høres vanskelig ut,

00:01:06.940 --> 00:01:09.570
kan det være en god ide

00:01:09.570 --> 00:01:11.710
å se de første 2 eler 3 videoene om trigonometri,

00:01:11.710 --> 00:01:12.840
så man bedre kan forstå, hva vi gjør i denne videoen.

00:01:12.840 --> 00:01:18.830
Vi skal regne ut arealet inne i sirkelen,

00:01:18.830 --> 00:01:21.080
men uten for trekanten.

00:01:21.080 --> 00:01:25.690
Vi skal altså finne arealet

00:01:25.690 --> 00:01:30.940
av de her 3 små områdene til sammen.

00:01:30.940 --> 00:01:33.490
Det er ganske enkelt

00:01:33.490 --> 00:01:36.670
å regne ut sirkelens areal.

00:01:36.670 --> 00:01:40.215
.

00:01:40.215 --> 00:01:43.740
Det er lik med pi ganger radius i andre.

00:01:43.740 --> 00:01:48.840
I det her tilfellet er det pi ganger 2 i andre, og det er lik 4 pi.

00:01:48.840 --> 00:01:53.040
Vi kan nå trekke trekantens areal fra sirkelens areal for å finne arealet av resten.

00:01:53.040 --> 00:01:55.450
Nå skal vi finne arealet av trekanten.

00:01:55.450 --> 00:02:00.760
Hvordan skal vi finne det?

00:02:00.760 --> 00:02:03.930
..

00:02:03.930 --> 00:02:07.260
I en annen video så vi på Herons formel.

00:02:07.260 --> 00:02:10.720
Den går ut på, at man skal finne arealet av en trekant,

00:02:10.720 --> 00:02:12.070
hvis man kjenner sidelengdene.

00:02:12.070 --> 00:02:14.180
Vi kjenner ikke sidelengdene enda.

00:02:14.180 --> 00:02:16.560
Vi kan kanskje regne ut arealet, når vi kjenner sidelengdene.

00:02:16.560 --> 00:02:18.740
La oss prøve med Herons formel, selv om vi ikke kjenner sidelengdene.

00:02:18.740 --> 00:02:21.950
Sidelengdene i den likesidede trekanten

00:02:21.950 --> 00:02:23.760
er alle lik med a.

00:02:23.760 --> 00:02:31.450
Når vi bruker Herons formel,

00:02:31.450 --> 00:02:38.220
sier vi, at s er lik med a pluss a pluss a over 2.

00:02:38.220 --> 00:02:42.070
Det er det samme som 3a over 2.

00:02:42.070 --> 00:02:46.380
Nå skal vi skrive om til arealet i forhold til a.

00:02:46.380 --> 00:02:52.910
Arealet er lik med kvadratroten av s,

00:02:52.910 --> 00:02:59.310
som er 3a over 2, ganger s minus a.

00:02:59.310 --> 00:03:03.820
Det er altså 3a over 2 minus a.

00:03:03.820 --> 00:03:07.060
Det er det samme som 2a over 2.

00:03:07.060 --> 00:03:08.970
a er det samme som 2a over 2.

00:03:08.970 --> 00:03:10.740
Det her går ut med hverandre, og vi får a.

00:03:10.740 --> 00:03:13.170
Det skal vi gjøre 3 ganger.

00:03:13.170 --> 00:03:16.000
I stedet for å gange det hele ut 3 ganger,

00:03:16.000 --> 00:03:18.640
kan vi nøyes med å sette det i tredje,

00:03:18.640 --> 00:03:20.700
når vi bruker Herons formel.

00:03:20.700 --> 00:03:22.000
Hva er det lik?

00:03:22.000 --> 00:03:31.050
Det er lik med kvadratroten av 3a over 2.

00:03:31.050 --> 00:03:34.070
I så fall er det her lik med 3a minus 2a,

00:03:34.070 --> 00:03:36.810
som er a.

00:03:36.810 --> 00:03:42.010
a over 2 i tredje.

00:03:42.010 --> 00:03:44.860
Vi skifter

00:03:44.860 --> 00:03:46.490
farge.

00:03:46.490 --> 00:03:53.560
3a ganger a i tredje. Det er 3a i fjerde.

00:03:53.560 --> 00:03:58.170
Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.

00:03:58.170 --> 00:04:03.400
Det er 2 i fjerde, som er 16.

00:04:03.400 --> 00:04:03.680
.

00:04:03.680 --> 00:04:07.100
2 ganger 2 i tredje er 2 i fjerde.

00:04:07.100 --> 00:04:07.890
Det er 16.

00:04:07.890 --> 00:04:10.660
Når vi tar kvadratroten av både teller og nevner,

00:04:10.660 --> 00:04:14.150
er det lik med kvadratroten

00:04:14.150 --> 00:04:16.690
av a i fjerde, hvilket er a i andre.

00:04:16.690 --> 00:04:21.390
a i andre ganger kvadratroten av 3

00:04:21.390 --> 00:04:24.860
over kvadratroten av nevneren, som er 4.

00:04:24.860 --> 00:04:30.130
Hvis vi kjenner a, kan vi altså ved hjelp av

00:04:30.130 --> 00:04:32.720
Herons formel finne arealet av den likesidede trekanten.

00:04:32.720 --> 00:04:35.080
Hvordan finner vi a?

00:04:35.080 --> 00:04:37.770
Hva vet vi ellers om likesidede trekanter?

00:04:37.770 --> 00:04:42.690
Vi vet, at alle de her vinklene er like store.

00:04:42.690 --> 00:04:45.720
Ettersom de sammenlagt skal gi 180,

00:04:45.720 --> 00:04:48.210
må de være 60 grader hver.

00:04:48.210 --> 00:04:51.890
Den her er 60, den her er 60,

00:04:51.890 --> 00:04:54.090
og den her er 60.

00:04:54.090 --> 00:04:56.980
I den siste videoen

00:04:56.980 --> 00:05:01.720
snakket vi om forholdet mellom en

00:05:01.720 --> 00:05:02.800
innskreven vinkel og en sentervinkel.

00:05:02.800 --> 00:05:04.560
Den her er en innskreven vinkel.

00:05:04.560 --> 00:05:09.620
Vinkelspissen er på sirkelen.

00:05:09.620 --> 00:05:16.630
Den ligger rett over den her sirkelbuen.

00:05:16.630 --> 00:05:20.500
.

00:05:20.500 --> 00:05:25.000
Sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,

00:05:25.000 --> 00:05:26.330
er den her.

00:05:26.330 --> 00:05:29.880
.

00:05:29.880 --> 00:05:33.740
Det er

00:05:33.740 --> 00:05:34.960
den er sentervinkelen.

00:05:34.960 --> 00:05:39.170
Vi vet fra de andre videoen,

00:05:39.170 --> 00:05:41.980
at sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen

00:05:41.980 --> 00:05:43.040
er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen.

00:05:43.040 --> 00:05:47.230
Den her vinkelen er altså 120 grader.

00:05:47.230 --> 00:05:48.860
Vi tegner en liten pil her.

00:05:48.860 --> 00:05:50.860
120 grader.

00:05:50.860 --> 00:05:52.440
Den er dobbelt så stor som den her.

00:05:52.440 --> 00:05:56.110
La oss halvere den her vinkelen.

00:05:56.110 --> 00:05:58.140
Vi går halvveis gjennom vinkelen og så rett ned.

00:05:58.140 --> 00:06:01.260
Sånn.

00:06:01.260 --> 00:06:03.310
Hvor store er de her 2 vinklene?

00:06:03.310 --> 00:06:04.440
De er 60 grader hver.

00:06:04.440 --> 00:06:05.760
VI halverer jo vinkelen.

00:06:05.760 --> 00:06:10.480
De er begge 60 grader.

00:06:10.480 --> 00:06:14.450
Vi deler den her siden i 2.

00:06:14.450 --> 00:06:17.080
Det her er en likebeint trekant.

00:06:17.080 --> 00:06:19.040
Det her er en radius.

00:06:19.040 --> 00:06:21.030
Radius er lik 2.

00:06:21.030 --> 00:06:24.530
Det her er en radius. r er lik 2.

00:06:24.530 --> 00:06:26.090
Hele den her trekanten er symmetrisk.

00:06:26.090 --> 00:06:28.540
Hvis vi går rett ned i midten her,

00:06:28.540 --> 00:06:33.100
blir den her lengden lik med den her siden dividert med 2.

00:06:33.100 --> 00:06:36.280
Den her siden er lik med den her siden delt i 2.

00:06:36.280 --> 00:06:37.240
La oss tegne det her.

00:06:37.240 --> 00:06:39.890
Vi kunne ta enhver likebeint trekant,

00:06:39.890 --> 00:06:44.850
hvor den her siden er lik med den her siden.

00:06:44.850 --> 00:06:47.300
Det her er våre radiusser eller radier i eksempelet.

00:06:47.300 --> 00:06:49.530
Den her vinkelen er lik med den her vinkelen.

00:06:49.530 --> 00:06:51.790
Hvis vi går rett ned her,

00:06:51.790 --> 00:06:55.260
blir den motsatte siden delt i 2.

00:06:55.260 --> 00:06:56.880
De her 2 lengdene er like store.

00:06:56.880 --> 00:06:59.120
Hvis hele lengden er a,

00:06:59.120 --> 00:07:01.140
er hver av de lik med a over 2.

00:07:01.140 --> 00:07:04.420
La oss se, om vi kan bruke det her

00:07:04.420 --> 00:07:08.620
og en smule trigonometri til å finne forholdet mellom a og r.

00:07:08.620 --> 00:07:12.050
Hvis vi kan finne a ved bruk av r,

00:07:12.050 --> 00:07:14.640
kan vi innsette a her

00:07:14.640 --> 00:07:15.690
og finne trekantens areal.

00:07:15.690 --> 00:07:17.600
Deretter kan vi trekke trekantens areal fra sirkelens areal,

00:07:17.600 --> 00:07:20.070
og så er vi ferdige.

00:07:20.070 --> 00:07:22.050
Så har vi løst oppgaven.

00:07:22.050 --> 00:07:24.610
La oss se, om vi kan gjøre det.

00:07:24.610 --> 00:07:29.340
Den her vinkelen er 60 grader.

00:07:29.340 --> 00:07:32.050
Den er halvdelen av sentervinkelen her.

00:07:32.050 --> 00:07:35.890
Hvis den her siden er 60 grader,

00:07:35.890 --> 00:07:37.380
er a over 2 motsatt den vinkelen.

00:07:37.380 --> 00:07:43.480
Den motsatte siden er lik med a over 2.

00:07:43.480 --> 00:07:44.860
Det er også en hypotenus.

00:07:44.860 --> 00:07:45.040
.

00:07:45.040 --> 00:07:46.870
Det her er en rettvinklet trekant.

00:07:46.870 --> 00:07:49.830
Vi går rett ned herfra

00:07:49.830 --> 00:07:50.840
og halverer den motstående trekanten.

00:07:50.840 --> 00:07:52.640
Det er en rettvinklet trekant.

00:07:52.640 --> 00:07:54.000
Vi kan bruke litt trigonometri.

00:07:54.000 --> 00:08:02.550
Den motsatte siden er a over 2, og hypotenusen er lik med r.

00:08:02.550 --> 00:08:05.020
Det her er hypotenusen i trekanten.

00:08:05.020 --> 00:08:06.360
Den er lik med 2.

00:08:06.360 --> 00:08:12.440
Hvilket trigonometrisk forhold er

00:08:12.440 --> 00:08:14.920
forholdet mellom en vinkels motstående side og hypotenus?

00:08:14.920 --> 00:08:18.910
Vi kan bruke noen forkortelser. De er på engelsk.

00:08:18.910 --> 00:08:22.030
SOH, CAH og TOA.

00:08:22.030 --> 00:08:27.070
SOH betyr, at sinus til en vinkel er lik med den motstående

00:08:27.070 --> 00:08:28.620
siden over hypotenusen.

00:08:28.620 --> 00:08:29.580
O står for opposite, som betyr motstående.

00:08:29.580 --> 00:08:31.270
Det skal man huske, når man bruker forkortelsene.

00:08:31.270 --> 00:08:38.700
Sinus av den her vinkelen på 60 grader

00:08:38.700 --> 00:08:42.070
er lik med den motstående siden,

00:08:42.070 --> 00:08:45.800
som er a over 2, over hypotenusen,

00:08:45.800 --> 00:08:48.140
som er vår radius, altså 2.

00:08:48.140 --> 00:08:54.510
Det er lik med a over 2 dividert med 2. Det er a over 4.

00:08:54.510 --> 00:08:56.880
Hva er sinus av 60 grader?

00:08:56.880 --> 00:08:59.720
Hvis sinus virker helt fremmed,

00:08:59.720 --> 00:09:04.150
kan man se de første videoene om trigonometri.

00:09:04.150 --> 00:09:06.240
De er ikke veldig vanskelige.

00:09:06.240 --> 00:09:08.310
Sinus av 60 grader kan vi kanskje

00:09:08.310 --> 00:09:10.680
huske fra vår 30-60-90 trekanter.

00:09:10.680 --> 00:09:13.210
La oss tegne en sånn her.

00:09:13.210 --> 00:09:15.705
Det her er en 30-60-90 trekant.

00:09:15.705 --> 00:09:21.540
HVis den her er 60 grader, er den her 30 grader og den her 90.

00:09:21.540 --> 00:09:26.660
Den her er 1 lang,

00:09:26.660 --> 00:09:29.520
den her er 1/2 lang,

00:09:29.520 --> 00:09:31.370
og den her er kvadratroten av 3 over 2 lang.

00:09:31.370 --> 00:09:35.300
Sinus av 60 grader er den motstående siden over hypotenusen.

00:09:35.300 --> 00:09:37.770
Kvadratroten av 3 over 2 er 1.

00:09:37.770 --> 00:09:40.940
Det er sinus av 60 grader.

00:09:40.940 --> 00:09:42.840
.

00:09:42.840 --> 00:09:44.930
Det blir kvadratroten av 3 over 2.

00:09:44.930 --> 00:09:48.890
Det her er lik med kvadratroten av 3 over 2.

00:09:48.890 --> 00:09:51.280
Nå kan vi isolere a.

00:09:51.280 --> 00:09:56.920
Kvadratroten av 3 over 2 er lik med a over 4.

00:09:56.920 --> 00:09:59.610
Vi ganger begge sider med 4.

00:09:59.610 --> 00:10:01.640
Det her 4-tallet forsvinner.

00:10:01.640 --> 00:10:03.445
Vi ganger med 4 her.

00:10:03.445 --> 00:10:04.480
Det her blir 2.

00:10:04.480 --> 00:10:05.660
Det her blir 1.

00:10:05.660 --> 00:10:09.250
a er nå lik med 2 kvadratroten av 3.

00:10:09.250 --> 00:10:11.000
Nå er nesten i mål nå.

00:10:11.000 --> 00:10:15.420
Vi har akkurat funnet sidelengdene.

00:10:15.420 --> 00:10:17.460
Vi mangler bare å bruke Herons formel

00:10:17.460 --> 00:10:19.080
til å finne trekantens areal ut fra sidelengdene.

00:10:19.080 --> 00:10:22.110
Nå skal vi innsette a

00:10:22.110 --> 00:10:24.670
for å finne trekantens areal.

00:10:24.670 --> 00:10:30.380
Trekantens areal er lik med a i andre.

00:10:30.380 --> 00:10:31.690
Hva er det?

00:10:31.690 --> 00:10:37.780
Det er 2 kvadratroten av 3 i andre

00:10:37.780 --> 00:10:42.710
ganger kvadratroten av 3 over 4.

00:10:42.710 --> 00:10:45.470
Vi ganger et kvadrat med kvadratroten av 3 over 4.

00:10:45.470 --> 00:10:51.950
Det er lik med 4 ganger 3

00:10:51.950 --> 00:10:53.930
ganger kvadratet av 3 over 4.

00:10:53.930 --> 00:10:55.350
Firetallene går ut.

00:10:55.350 --> 00:10:58.360
Arealet av vår trekant er

00:10:58.360 --> 00:11:00.770
3 ganger kvadratroten av 3.

00:11:00.770 --> 00:11:03.160
Det her området er altså 3 kvadratrøtter av 3.

00:11:03.160 --> 00:11:06.480
Det er hele trekantens areal.

00:11:06.480 --> 00:11:08.810
La oss gå tilbake til selve oppgaven.

00:11:08.810 --> 00:11:12.970
Vi skal finne arealet av det oransje området

00:11:12.970 --> 00:11:14.530
innenfor sirkelen og utenfor trekanten.

00:11:14.530 --> 00:11:18.460
Arealet av sirklene er 4pi.

00:11:18.460 --> 00:11:23.340
Vi skal nå trekke arealet av trekanten fra.

00:11:23.340 --> 00:11:25.170
Det var 3 kvadratrøtter av 3.

00:11:25.170 --> 00:11:27.390
Nå er vi ferdige.

00:11:27.390 --> 00:11:28.670
Det her er svaret på oppgaven.

00:11:28.670 --> 00:11:35.270
Det her er lik med arealet av det oransje her.

00:11:35.270 --> 00:11:37.800
Forhåpentligvis var det interessant å lære.

00:11:37.800 --> 00:11:38.044
.