1
00:00:00,000 --> 00:00:00,480
.

2
00:00:00,480 --> 00:00:03,140
I denne videoen skal vi bruke noen av resultatene

3
00:00:03,140 --> 00:00:05,960
fra tidligere videoer til å lage noen andre ting.

4
00:00:05,960 --> 00:00:10,000
Her er en sirkel,

5
00:00:10,000 --> 00:00:12,130
og en likesidet trekant er innskrevet i sirkelen.

6
00:00:12,130 --> 00:00:17,340
Alle trekantens vinkelspisser

7
00:00:17,340 --> 00:00:18,825
befinner seg på selve sirkelperleferien.

8
00:00:18,825 --> 00:00:24,170
La oss prøve å tegne trekanten.

9
00:00:24,170 --> 00:00:26,960
Det blir visst ikke bedre.

10
00:00:26,960 --> 00:00:28,620
Likesidet betyr,

11
00:00:28,620 --> 00:00:29,910
at alle trekantens sider er like lange.

12
00:00:29,910 --> 00:00:33,060
Hvis den her lengden er a,

13
00:00:33,060 --> 00:00:36,610
er de 2 andre sidene også a.

14
00:00:36,610 --> 00:00:44,010
Vi kan si, at sirkelens radius er 2.

15
00:00:44,010 --> 00:00:45,925
Vi velger et tilfeldig tall.

16
00:00:45,925 --> 00:00:49,600
Radius er 2.

17
00:00:49,600 --> 00:00:51,700
Fra sentrum til et hvert punkt på selve sirkelen er det altså 2,

18
00:00:51,700 --> 00:00:55,910
da det er radius.

19
00:00:55,910 --> 00:01:01,780
Til oppgaven skal vi bruke noen av resultatene fra tidligere videoer

20
00:01:01,780 --> 00:01:04,020
og en smule grunnleggende trigonometri.

21
00:01:04,020 --> 00:01:06,940
Hvis trigonometri høres vanskelig ut,

22
00:01:06,940 --> 00:01:09,570
kan det være en god ide

23
00:01:09,570 --> 00:01:11,710
å se de første 2 eler 3 videoene om trigonometri,

24
00:01:11,710 --> 00:01:12,840
så man bedre kan forstå, hva vi gjør i denne videoen.

25
00:01:12,840 --> 00:01:18,830
Vi skal regne ut arealet inne i sirkelen,

26
00:01:18,830 --> 00:01:21,080
men uten for trekanten.

27
00:01:21,080 --> 00:01:25,690
Vi skal altså finne arealet

28
00:01:25,690 --> 00:01:30,940
av de her 3 små områdene til sammen.

29
00:01:30,940 --> 00:01:33,490
Det er ganske enkelt

30
00:01:33,490 --> 00:01:36,670
å regne ut sirkelens areal.

31
00:01:36,670 --> 00:01:40,215
.

32
00:01:40,215 --> 00:01:43,740
Det er lik med pi ganger radius i andre.

33
00:01:43,740 --> 00:01:48,840
I det her tilfellet er det pi ganger 2 i andre, og det er lik 4 pi.

34
00:01:48,840 --> 00:01:53,040
Vi kan nå trekke trekantens areal fra sirkelens areal for å finne arealet av resten.

35
00:01:53,040 --> 00:01:55,450
Nå skal vi finne arealet av trekanten.

36
00:01:55,450 --> 00:02:00,760
Hvordan skal vi finne det?

37
00:02:00,760 --> 00:02:03,930
..

38
00:02:03,930 --> 00:02:07,260
I en annen video så vi på Herons formel.

39
00:02:07,260 --> 00:02:10,720
Den går ut på, at man skal finne arealet av en trekant,

40
00:02:10,720 --> 00:02:12,070
hvis man kjenner sidelengdene.

41
00:02:12,070 --> 00:02:14,180
Vi kjenner ikke sidelengdene enda.

42
00:02:14,180 --> 00:02:16,560
Vi kan kanskje regne ut arealet, når vi kjenner sidelengdene.

43
00:02:16,560 --> 00:02:18,740
La oss prøve med Herons formel, selv om vi ikke kjenner sidelengdene.

44
00:02:18,740 --> 00:02:21,950
Sidelengdene i den likesidede trekanten

45
00:02:21,950 --> 00:02:23,760
er alle lik med a.

46
00:02:23,760 --> 00:02:31,450
Når vi bruker Herons formel,

47
00:02:31,450 --> 00:02:38,220
sier vi, at s er lik med a pluss a pluss a over 2.

48
00:02:38,220 --> 00:02:42,070
Det er det samme som 3a over 2.

49
00:02:42,070 --> 00:02:46,380
Nå skal vi skrive om til arealet i forhold til a.

50
00:02:46,380 --> 00:02:52,910
Arealet er lik med kvadratroten av s,

51
00:02:52,910 --> 00:02:59,310
som er 3a over 2, ganger s minus a.

52
00:02:59,310 --> 00:03:03,820
Det er altså 3a over 2 minus a.

53
00:03:03,820 --> 00:03:07,060
Det er det samme som 2a over 2.

54
00:03:07,060 --> 00:03:08,970
a er det samme som 2a over 2.

55
00:03:08,970 --> 00:03:10,740
Det her går ut med hverandre, og vi får a.

56
00:03:10,740 --> 00:03:13,170
Det skal vi gjøre 3 ganger.

57
00:03:13,170 --> 00:03:16,000
I stedet for å gange det hele ut 3 ganger,

58
00:03:16,000 --> 00:03:18,640
kan vi nøyes med å sette det i tredje,

59
00:03:18,640 --> 00:03:20,700
når vi bruker Herons formel.

60
00:03:20,700 --> 00:03:22,000
Hva er det lik?

61
00:03:22,000 --> 00:03:31,050
Det er lik med kvadratroten av 3a over 2.

62
00:03:31,050 --> 00:03:34,070
I så fall er det her lik med 3a minus 2a,

63
00:03:34,070 --> 00:03:36,810
som er a.

64
00:03:36,810 --> 00:03:42,010
a over 2 i tredje.

65
00:03:42,010 --> 00:03:44,860
Vi skifter

66
00:03:44,860 --> 00:03:46,490
farge.

67
00:03:46,490 --> 00:03:53,560
3a ganger a i tredje. Det er 3a i fjerde.

68
00:03:53,560 --> 00:03:58,170
Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.

69
00:03:58,170 --> 00:04:03,400
Det er 2 i fjerde, som er 16.

70
00:04:03,400 --> 00:04:03,680
.

71
00:04:03,680 --> 00:04:07,100
2 ganger 2 i tredje er 2 i fjerde.

72
00:04:07,100 --> 00:04:07,890
Det er 16.

73
00:04:07,890 --> 00:04:10,660
Når vi tar kvadratroten av både teller og nevner,

74
00:04:10,660 --> 00:04:14,150
er det lik med kvadratroten

75
00:04:14,150 --> 00:04:16,690
av a i fjerde, hvilket er a i andre.

76
00:04:16,690 --> 00:04:21,390
a i andre ganger kvadratroten av 3

77
00:04:21,390 --> 00:04:24,860
over kvadratroten av nevneren, som er 4.

78
00:04:24,860 --> 00:04:30,130
Hvis vi kjenner a, kan vi altså ved hjelp av

79
00:04:30,130 --> 00:04:32,720
Herons formel finne arealet av den likesidede trekanten.

80
00:04:32,720 --> 00:04:35,080
Hvordan finner vi a?

81
00:04:35,080 --> 00:04:37,770
Hva vet vi ellers om likesidede trekanter?

82
00:04:37,770 --> 00:04:42,690
Vi vet, at alle de her vinklene er like store.

83
00:04:42,690 --> 00:04:45,720
Ettersom de sammenlagt skal gi 180,

84
00:04:45,720 --> 00:04:48,210
må de være 60 grader hver.

85
00:04:48,210 --> 00:04:51,890
Den her er 60, den her er 60,

86
00:04:51,890 --> 00:04:54,090
og den her er 60.

87
00:04:54,090 --> 00:04:56,980
I den siste videoen

88
00:04:56,980 --> 00:05:01,720
snakket vi om forholdet mellom en

89
00:05:01,720 --> 00:05:02,800
innskreven vinkel og en sentervinkel.

90
00:05:02,800 --> 00:05:04,560
Den her er en innskreven vinkel.

91
00:05:04,560 --> 00:05:09,620
Vinkelspissen er på sirkelen.

92
00:05:09,620 --> 00:05:16,630
Den ligger rett over den her sirkelbuen.

93
00:05:16,630 --> 00:05:20,500
.

94
00:05:20,500 --> 00:05:25,000
Sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,

95
00:05:25,000 --> 00:05:26,330
er den her.

96
00:05:26,330 --> 00:05:29,880
.

97
00:05:29,880 --> 00:05:33,740
Det er

98
00:05:33,740 --> 00:05:34,960
den er sentervinkelen.

99
00:05:34,960 --> 00:05:39,170
Vi vet fra de andre videoen,

100
00:05:39,170 --> 00:05:41,980
at sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen

101
00:05:41,980 --> 00:05:43,040
er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen.

102
00:05:43,040 --> 00:05:47,230
Den her vinkelen er altså 120 grader.

103
00:05:47,230 --> 00:05:48,860
Vi tegner en liten pil her.

104
00:05:48,860 --> 00:05:50,860
120 grader.

105
00:05:50,860 --> 00:05:52,440
Den er dobbelt så stor som den her.

106
00:05:52,440 --> 00:05:56,110
La oss halvere den her vinkelen.

107
00:05:56,110 --> 00:05:58,140
Vi går halvveis gjennom vinkelen og så rett ned.

108
00:05:58,140 --> 00:06:01,260
Sånn.

109
00:06:01,260 --> 00:06:03,310
Hvor store er de her 2 vinklene?

110
00:06:03,310 --> 00:06:04,440
De er 60 grader hver.

111
00:06:04,440 --> 00:06:05,760
VI halverer jo vinkelen.

112
00:06:05,760 --> 00:06:10,480
De er begge 60 grader.

113
00:06:10,480 --> 00:06:14,450
Vi deler den her siden i 2.

114
00:06:14,450 --> 00:06:17,080
Det her er en likebeint trekant.

115
00:06:17,080 --> 00:06:19,040
Det her er en radius.

116
00:06:19,040 --> 00:06:21,030
Radius er lik 2.

117
00:06:21,030 --> 00:06:24,530
Det her er en radius. r er lik 2.

118
00:06:24,530 --> 00:06:26,090
Hele den her trekanten er symmetrisk.

119
00:06:26,090 --> 00:06:28,540
Hvis vi går rett ned i midten her,

120
00:06:28,540 --> 00:06:33,100
blir den her lengden lik med den her siden dividert med 2.

121
00:06:33,100 --> 00:06:36,280
Den her siden er lik med den her siden delt i 2.

122
00:06:36,280 --> 00:06:37,240
La oss tegne det her.

123
00:06:37,240 --> 00:06:39,890
Vi kunne ta enhver likebeint trekant,

124
00:06:39,890 --> 00:06:44,850
hvor den her siden er lik med den her siden.

125
00:06:44,850 --> 00:06:47,300
Det her er våre radiusser eller radier i eksempelet.

126
00:06:47,300 --> 00:06:49,530
Den her vinkelen er lik med den her vinkelen.

127
00:06:49,530 --> 00:06:51,790
Hvis vi går rett ned her,

128
00:06:51,790 --> 00:06:55,260
blir den motsatte siden delt i 2.

129
00:06:55,260 --> 00:06:56,880
De her 2 lengdene er like store.

130
00:06:56,880 --> 00:06:59,120
Hvis hele lengden er a,

131
00:06:59,120 --> 00:07:01,140
er hver av de lik med a over 2.

132
00:07:01,140 --> 00:07:04,420
La oss se, om vi kan bruke det her

133
00:07:04,420 --> 00:07:08,620
og en smule trigonometri til å finne forholdet mellom a og r.

134
00:07:08,620 --> 00:07:12,050
Hvis vi kan finne a ved bruk av r,

135
00:07:12,050 --> 00:07:14,640
kan vi innsette a her

136
00:07:14,640 --> 00:07:15,690
og finne trekantens areal.

137
00:07:15,690 --> 00:07:17,600
Deretter kan vi trekke trekantens areal fra sirkelens areal,

138
00:07:17,600 --> 00:07:20,070
og så er vi ferdige.

139
00:07:20,070 --> 00:07:22,050
Så har vi løst oppgaven.

140
00:07:22,050 --> 00:07:24,610
La oss se, om vi kan gjøre det.

141
00:07:24,610 --> 00:07:29,340
Den her vinkelen er 60 grader.

142
00:07:29,340 --> 00:07:32,050
Den er halvdelen av sentervinkelen her.

143
00:07:32,050 --> 00:07:35,890
Hvis den her siden er 60 grader,

144
00:07:35,890 --> 00:07:37,380
er a over 2 motsatt den vinkelen.

145
00:07:37,380 --> 00:07:43,480
Den motsatte siden er lik med a over 2.

146
00:07:43,480 --> 00:07:44,860
Det er også en hypotenus.

147
00:07:44,860 --> 00:07:45,040
.

148
00:07:45,040 --> 00:07:46,870
Det her er en rettvinklet trekant.

149
00:07:46,870 --> 00:07:49,830
Vi går rett ned herfra

150
00:07:49,830 --> 00:07:50,840
og halverer den motstående trekanten.

151
00:07:50,840 --> 00:07:52,640
Det er en rettvinklet trekant.

152
00:07:52,640 --> 00:07:54,000
Vi kan bruke litt trigonometri.

153
00:07:54,000 --> 00:08:02,550
Den motsatte siden er a over 2, og hypotenusen er lik med r.

154
00:08:02,550 --> 00:08:05,020
Det her er hypotenusen i trekanten.

155
00:08:05,020 --> 00:08:06,360
Den er lik med 2.

156
00:08:06,360 --> 00:08:12,440
Hvilket trigonometrisk forhold er

157
00:08:12,440 --> 00:08:14,920
forholdet mellom en vinkels motstående side og hypotenus?

158
00:08:14,920 --> 00:08:18,910
Vi kan bruke noen forkortelser. De er på engelsk.

159
00:08:18,910 --> 00:08:22,030
SOH, CAH og TOA.

160
00:08:22,030 --> 00:08:27,070
SOH betyr, at sinus til en vinkel er lik med den motstående

161
00:08:27,070 --> 00:08:28,620
siden over hypotenusen.

162
00:08:28,620 --> 00:08:29,580
O står for opposite, som betyr motstående.

163
00:08:29,580 --> 00:08:31,270
Det skal man huske, når man bruker forkortelsene.

164
00:08:31,270 --> 00:08:38,700
Sinus av den her vinkelen på 60 grader

165
00:08:38,700 --> 00:08:42,070
er lik med den motstående siden,

166
00:08:42,070 --> 00:08:45,800
som er a over 2, over hypotenusen,

167
00:08:45,800 --> 00:08:48,140
som er vår radius, altså 2.

168
00:08:48,140 --> 00:08:54,510
Det er lik med a over 2 dividert med 2. Det er a over 4.

169
00:08:54,510 --> 00:08:56,880
Hva er sinus av 60 grader?

170
00:08:56,880 --> 00:08:59,720
Hvis sinus virker helt fremmed,

171
00:08:59,720 --> 00:09:04,150
kan man se de første videoene om trigonometri.

172
00:09:04,150 --> 00:09:06,240
De er ikke veldig vanskelige.

173
00:09:06,240 --> 00:09:08,310
Sinus av 60 grader kan vi kanskje

174
00:09:08,310 --> 00:09:10,680
huske fra vår 30-60-90 trekanter.

175
00:09:10,680 --> 00:09:13,210
La oss tegne en sånn her.

176
00:09:13,210 --> 00:09:15,705
Det her er en 30-60-90 trekant.

177
00:09:15,705 --> 00:09:21,540
HVis den her er 60 grader, er den her 30 grader og den her 90.

178
00:09:21,540 --> 00:09:26,660
Den her er 1 lang,

179
00:09:26,660 --> 00:09:29,520
den her er 1/2 lang,

180
00:09:29,520 --> 00:09:31,370
og den her er kvadratroten av 3 over 2 lang.

181
00:09:31,370 --> 00:09:35,300
Sinus av 60 grader er den motstående siden over hypotenusen.

182
00:09:35,300 --> 00:09:37,770
Kvadratroten av 3 over 2 er 1.

183
00:09:37,770 --> 00:09:40,940
Det er sinus av 60 grader.

184
00:09:40,940 --> 00:09:42,840
.

185
00:09:42,840 --> 00:09:44,930
Det blir kvadratroten av 3 over 2.

186
00:09:44,930 --> 00:09:48,890
Det her er lik med kvadratroten av 3 over 2.

187
00:09:48,890 --> 00:09:51,280
Nå kan vi isolere a.

188
00:09:51,280 --> 00:09:56,920
Kvadratroten av 3 over 2 er lik med a over 4.

189
00:09:56,920 --> 00:09:59,610
Vi ganger begge sider med 4.

190
00:09:59,610 --> 00:10:01,640
Det her 4-tallet forsvinner.

191
00:10:01,640 --> 00:10:03,445
Vi ganger med 4 her.

192
00:10:03,445 --> 00:10:04,480
Det her blir 2.

193
00:10:04,480 --> 00:10:05,660
Det her blir 1.

194
00:10:05,660 --> 00:10:09,250
a er nå lik med 2 kvadratroten av 3.

195
00:10:09,250 --> 00:10:11,000
Nå er nesten i mål nå.

196
00:10:11,000 --> 00:10:15,420
Vi har akkurat funnet sidelengdene.

197
00:10:15,420 --> 00:10:17,460
Vi mangler bare å bruke Herons formel

198
00:10:17,460 --> 00:10:19,080
til å finne trekantens areal ut fra sidelengdene.

199
00:10:19,080 --> 00:10:22,110
Nå skal vi innsette a

200
00:10:22,110 --> 00:10:24,670
for å finne trekantens areal.

201
00:10:24,670 --> 00:10:30,380
Trekantens areal er lik med a i andre.

202
00:10:30,380 --> 00:10:31,690
Hva er det?

203
00:10:31,690 --> 00:10:37,780
Det er 2 kvadratroten av 3 i andre

204
00:10:37,780 --> 00:10:42,710
ganger kvadratroten av 3 over 4.

205
00:10:42,710 --> 00:10:45,470
Vi ganger et kvadrat med kvadratroten av 3 over 4.

206
00:10:45,470 --> 00:10:51,950
Det er lik med 4 ganger 3

207
00:10:51,950 --> 00:10:53,930
ganger kvadratet av 3 over 4.

208
00:10:53,930 --> 00:10:55,350
Firetallene går ut.

209
00:10:55,350 --> 00:10:58,360
Arealet av vår trekant er

210
00:10:58,360 --> 00:11:00,770
3 ganger kvadratroten av 3.

211
00:11:00,770 --> 00:11:03,160
Det her området er altså 3 kvadratrøtter av 3.

212
00:11:03,160 --> 00:11:06,480
Det er hele trekantens areal.

213
00:11:06,480 --> 00:11:08,810
La oss gå tilbake til selve oppgaven.

214
00:11:08,810 --> 00:11:12,970
Vi skal finne arealet av det oransje området

215
00:11:12,970 --> 00:11:14,530
innenfor sirkelen og utenfor trekanten.

216
00:11:14,530 --> 00:11:18,460
Arealet av sirklene er 4pi.

217
00:11:18,460 --> 00:11:23,340
Vi skal nå trekke arealet av trekanten fra.

218
00:11:23,340 --> 00:11:25,170
Det var 3 kvadratrøtter av 3.

219
00:11:25,170 --> 00:11:27,390
Nå er vi ferdige.

220
00:11:27,390 --> 00:11:28,670
Det her er svaret på oppgaven.

221
00:11:28,670 --> 00:11:35,270
Det her er lik med arealet av det oransje her.

222
00:11:35,270 --> 00:11:37,800
Forhåpentligvis var det interessant å lære.

223
00:11:37,800 --> 00:11:38,044
.