0:00:00.000,0:00:00.480
.

0:00:00.480,0:00:03.140
I denne videoen skal vi bruke noen av resultatene

0:00:03.140,0:00:05.960
fra tidligere videoer til å lage noen andre ting.

0:00:05.960,0:00:10.000
Her er en sirkel,

0:00:10.000,0:00:12.130
og en likesidet trekant er innskrevet i sirkelen.

0:00:12.130,0:00:17.340
Alle trekantens vinkelspisser

0:00:17.340,0:00:18.825
befinner seg på selve sirkelperleferien.

0:00:18.825,0:00:24.170
La oss prøve å tegne trekanten.

0:00:24.170,0:00:26.960
Det blir visst ikke bedre.

0:00:26.960,0:00:28.620
Likesidet betyr,

0:00:28.620,0:00:29.910
at alle trekantens sider er like lange.

0:00:29.910,0:00:33.060
Hvis den her lengden er a,

0:00:33.060,0:00:36.610
er de 2 andre sidene også a.

0:00:36.610,0:00:44.010
Vi kan si, at sirkelens radius er 2.

0:00:44.010,0:00:45.925
Vi velger et tilfeldig tall.

0:00:45.925,0:00:49.600
Radius er 2.

0:00:49.600,0:00:51.700
Fra sentrum til et hvert punkt på selve sirkelen er det altså 2,

0:00:51.700,0:00:55.910
da det er radius.

0:00:55.910,0:01:01.780
Til oppgaven skal vi bruke noen av resultatene fra tidligere videoer

0:01:01.780,0:01:04.020
og en smule grunnleggende trigonometri.

0:01:04.020,0:01:06.940
Hvis trigonometri høres vanskelig ut,

0:01:06.940,0:01:09.570
kan det være en god ide

0:01:09.570,0:01:11.710
å se de første 2 eler 3 videoene om trigonometri,

0:01:11.710,0:01:12.840
så man bedre kan forstå, hva vi gjør i denne videoen.

0:01:12.840,0:01:18.830
Vi skal regne ut arealet inne i sirkelen,

0:01:18.830,0:01:21.080
men uten for trekanten.

0:01:21.080,0:01:25.690
Vi skal altså finne arealet

0:01:25.690,0:01:30.940
av de her 3 små områdene til sammen.

0:01:30.940,0:01:33.490
Det er ganske enkelt

0:01:33.490,0:01:36.670
å regne ut sirkelens areal.

0:01:36.670,0:01:40.215
.

0:01:40.215,0:01:43.740
Det er lik med pi ganger radius i andre.

0:01:43.740,0:01:48.840
I det her tilfellet er det pi ganger 2 i andre, og det er lik 4 pi.

0:01:48.840,0:01:53.040
Vi kan nå trekke trekantens areal fra sirkelens areal for å finne arealet av resten.

0:01:53.040,0:01:55.450
Nå skal vi finne arealet av trekanten.

0:01:55.450,0:02:00.760
Hvordan skal vi finne det?

0:02:00.760,0:02:03.930
..

0:02:03.930,0:02:07.260
I en annen video så vi på Herons formel.

0:02:07.260,0:02:10.720
Den går ut på, at man skal finne arealet av en trekant,

0:02:10.720,0:02:12.070
hvis man kjenner sidelengdene.

0:02:12.070,0:02:14.180
Vi kjenner ikke sidelengdene enda.

0:02:14.180,0:02:16.560
Vi kan kanskje regne ut arealet, når vi kjenner sidelengdene.

0:02:16.560,0:02:18.740
La oss prøve med Herons formel, selv om vi ikke kjenner sidelengdene.

0:02:18.740,0:02:21.950
Sidelengdene i den likesidede trekanten

0:02:21.950,0:02:23.760
er alle lik med a.

0:02:23.760,0:02:31.450
Når vi bruker Herons formel,

0:02:31.450,0:02:38.220
sier vi, at s er lik med a pluss a pluss a over 2.

0:02:38.220,0:02:42.070
Det er det samme som 3a over 2.

0:02:42.070,0:02:46.380
Nå skal vi skrive om til arealet i forhold til a.

0:02:46.380,0:02:52.910
Arealet er lik med kvadratroten av s,

0:02:52.910,0:02:59.310
som er 3a over 2, ganger s minus a.

0:02:59.310,0:03:03.820
Det er altså 3a over 2 minus a.

0:03:03.820,0:03:07.060
Det er det samme som 2a over 2.

0:03:07.060,0:03:08.970
a er det samme som 2a over 2.

0:03:08.970,0:03:10.740
Det her går ut med hverandre, og vi får a.

0:03:10.740,0:03:13.170
Det skal vi gjøre 3 ganger.

0:03:13.170,0:03:16.000
I stedet for å gange det hele ut 3 ganger,

0:03:16.000,0:03:18.640
kan vi nøyes med å sette det i tredje,

0:03:18.640,0:03:20.700
når vi bruker Herons formel.

0:03:20.700,0:03:22.000
Hva er det lik?

0:03:22.000,0:03:31.050
Det er lik med kvadratroten av 3a over 2.

0:03:31.050,0:03:34.070
I så fall er det her lik med 3a minus 2a,

0:03:34.070,0:03:36.810
som er a.

0:03:36.810,0:03:42.010
a over 2 i tredje.

0:03:42.010,0:03:44.860
Vi skifter

0:03:44.860,0:03:46.490
farge.

0:03:46.490,0:03:53.560
3a ganger a i tredje. Det er 3a i fjerde.

0:03:53.560,0:03:58.170
Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.

0:03:58.170,0:04:03.400
Det er 2 i fjerde, som er 16.

0:04:03.400,0:04:03.680
.

0:04:03.680,0:04:07.100
2 ganger 2 i tredje er 2 i fjerde.

0:04:07.100,0:04:07.890
Det er 16.

0:04:07.890,0:04:10.660
Når vi tar kvadratroten av både teller og nevner,

0:04:10.660,0:04:14.150
er det lik med kvadratroten

0:04:14.150,0:04:16.690
av a i fjerde, hvilket er a i andre.

0:04:16.690,0:04:21.390
a i andre ganger kvadratroten av 3

0:04:21.390,0:04:24.860
over kvadratroten av nevneren, som er 4.

0:04:24.860,0:04:30.130
Hvis vi kjenner a, kan vi altså ved hjelp av

0:04:30.130,0:04:32.720
Herons formel finne arealet av den likesidede trekanten.

0:04:32.720,0:04:35.080
Hvordan finner vi a?

0:04:35.080,0:04:37.770
Hva vet vi ellers om likesidede trekanter?

0:04:37.770,0:04:42.690
Vi vet, at alle de her vinklene er like store.

0:04:42.690,0:04:45.720
Ettersom de sammenlagt skal gi 180,

0:04:45.720,0:04:48.210
må de være 60 grader hver.

0:04:48.210,0:04:51.890
Den her er 60, den her er 60,

0:04:51.890,0:04:54.090
og den her er 60.

0:04:54.090,0:04:56.980
I den siste videoen

0:04:56.980,0:05:01.720
snakket vi om forholdet mellom en

0:05:01.720,0:05:02.800
innskreven vinkel og en sentervinkel.

0:05:02.800,0:05:04.560
Den her er en innskreven vinkel.

0:05:04.560,0:05:09.620
Vinkelspissen er på sirkelen.

0:05:09.620,0:05:16.630
Den ligger rett over den her sirkelbuen.

0:05:16.630,0:05:20.500
.

0:05:20.500,0:05:25.000
Sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,

0:05:25.000,0:05:26.330
er den her.

0:05:26.330,0:05:29.880
.

0:05:29.880,0:05:33.740
Det er

0:05:33.740,0:05:34.960
den er sentervinkelen.

0:05:34.960,0:05:39.170
Vi vet fra de andre videoen,

0:05:39.170,0:05:41.980
at sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen

0:05:41.980,0:05:43.040
er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen.

0:05:43.040,0:05:47.230
Den her vinkelen er altså 120 grader.

0:05:47.230,0:05:48.860
Vi tegner en liten pil her.

0:05:48.860,0:05:50.860
120 grader.

0:05:50.860,0:05:52.440
Den er dobbelt så stor som den her.

0:05:52.440,0:05:56.110
La oss halvere den her vinkelen.

0:05:56.110,0:05:58.140
Vi går halvveis gjennom vinkelen og så rett ned.

0:05:58.140,0:06:01.260
Sånn.

0:06:01.260,0:06:03.310
Hvor store er de her 2 vinklene?

0:06:03.310,0:06:04.440
De er 60 grader hver.

0:06:04.440,0:06:05.760
VI halverer jo vinkelen.

0:06:05.760,0:06:10.480
De er begge 60 grader.

0:06:10.480,0:06:14.450
Vi deler den her siden i 2.

0:06:14.450,0:06:17.080
Det her er en likebeint trekant.

0:06:17.080,0:06:19.040
Det her er en radius.

0:06:19.040,0:06:21.030
Radius er lik 2.

0:06:21.030,0:06:24.530
Det her er en radius. r er lik 2.

0:06:24.530,0:06:26.090
Hele den her trekanten er symmetrisk.

0:06:26.090,0:06:28.540
Hvis vi går rett ned i midten her,

0:06:28.540,0:06:33.100
blir den her lengden lik med den her siden dividert med 2.

0:06:33.100,0:06:36.280
Den her siden er lik med den her siden delt i 2.

0:06:36.280,0:06:37.240
La oss tegne det her.

0:06:37.240,0:06:39.890
Vi kunne ta enhver likebeint trekant,

0:06:39.890,0:06:44.850
hvor den her siden er lik med den her siden.

0:06:44.850,0:06:47.300
Det her er våre radiusser eller radier i eksempelet.

0:06:47.300,0:06:49.530
Den her vinkelen er lik med den her vinkelen.

0:06:49.530,0:06:51.790
Hvis vi går rett ned her,

0:06:51.790,0:06:55.260
blir den motsatte siden delt i 2.

0:06:55.260,0:06:56.880
De her 2 lengdene er like store.

0:06:56.880,0:06:59.120
Hvis hele lengden er a,

0:06:59.120,0:07:01.140
er hver av de lik med a over 2.

0:07:01.140,0:07:04.420
La oss se, om vi kan bruke det her

0:07:04.420,0:07:08.620
og en smule trigonometri til å finne forholdet mellom a og r.

0:07:08.620,0:07:12.050
Hvis vi kan finne a ved bruk av r,

0:07:12.050,0:07:14.640
kan vi innsette a her

0:07:14.640,0:07:15.690
og finne trekantens areal.

0:07:15.690,0:07:17.600
Deretter kan vi trekke trekantens areal fra sirkelens areal,

0:07:17.600,0:07:20.070
og så er vi ferdige.

0:07:20.070,0:07:22.050
Så har vi løst oppgaven.

0:07:22.050,0:07:24.610
La oss se, om vi kan gjøre det.

0:07:24.610,0:07:29.340
Den her vinkelen er 60 grader.

0:07:29.340,0:07:32.050
Den er halvdelen av sentervinkelen her.

0:07:32.050,0:07:35.890
Hvis den her siden er 60 grader,

0:07:35.890,0:07:37.380
er a over 2 motsatt den vinkelen.

0:07:37.380,0:07:43.480
Den motsatte siden er lik med a over 2.

0:07:43.480,0:07:44.860
Det er også en hypotenus.

0:07:44.860,0:07:45.040
.

0:07:45.040,0:07:46.870
Det her er en rettvinklet trekant.

0:07:46.870,0:07:49.830
Vi går rett ned herfra

0:07:49.830,0:07:50.840
og halverer den motstående trekanten.

0:07:50.840,0:07:52.640
Det er en rettvinklet trekant.

0:07:52.640,0:07:54.000
Vi kan bruke litt trigonometri.

0:07:54.000,0:08:02.550
Den motsatte siden er a over 2, og hypotenusen er lik med r.

0:08:02.550,0:08:05.020
Det her er hypotenusen i trekanten.

0:08:05.020,0:08:06.360
Den er lik med 2.

0:08:06.360,0:08:12.440
Hvilket trigonometrisk forhold er

0:08:12.440,0:08:14.920
forholdet mellom en vinkels motstående side og hypotenus?

0:08:14.920,0:08:18.910
Vi kan bruke noen forkortelser. De er på engelsk.

0:08:18.910,0:08:22.030
SOH, CAH og TOA.

0:08:22.030,0:08:27.070
SOH betyr, at sinus til en vinkel er lik med den motstående

0:08:27.070,0:08:28.620
siden over hypotenusen.

0:08:28.620,0:08:29.580
O står for opposite, som betyr motstående.

0:08:29.580,0:08:31.270
Det skal man huske, når man bruker forkortelsene.

0:08:31.270,0:08:38.700
Sinus av den her vinkelen på 60 grader

0:08:38.700,0:08:42.070
er lik med den motstående siden,

0:08:42.070,0:08:45.800
som er a over 2, over hypotenusen,

0:08:45.800,0:08:48.140
som er vår radius, altså 2.

0:08:48.140,0:08:54.510
Det er lik med a over 2 dividert med 2. Det er a over 4.

0:08:54.510,0:08:56.880
Hva er sinus av 60 grader?

0:08:56.880,0:08:59.720
Hvis sinus virker helt fremmed,

0:08:59.720,0:09:04.150
kan man se de første videoene om trigonometri.

0:09:04.150,0:09:06.240
De er ikke veldig vanskelige.

0:09:06.240,0:09:08.310
Sinus av 60 grader kan vi kanskje

0:09:08.310,0:09:10.680
huske fra vår 30-60-90 trekanter.

0:09:10.680,0:09:13.210
La oss tegne en sånn her.

0:09:13.210,0:09:15.705
Det her er en 30-60-90 trekant.

0:09:15.705,0:09:21.540
HVis den her er 60 grader, er den her 30 grader og den her 90.

0:09:21.540,0:09:26.660
Den her er 1 lang,

0:09:26.660,0:09:29.520
den her er 1/2 lang,

0:09:29.520,0:09:31.370
og den her er kvadratroten av 3 over 2 lang.

0:09:31.370,0:09:35.300
Sinus av 60 grader er den motstående siden over hypotenusen.

0:09:35.300,0:09:37.770
Kvadratroten av 3 over 2 er 1.

0:09:37.770,0:09:40.940
Det er sinus av 60 grader.

0:09:40.940,0:09:42.840
.

0:09:42.840,0:09:44.930
Det blir kvadratroten av 3 over 2.

0:09:44.930,0:09:48.890
Det her er lik med kvadratroten av 3 over 2.

0:09:48.890,0:09:51.280
Nå kan vi isolere a.

0:09:51.280,0:09:56.920
Kvadratroten av 3 over 2 er lik med a over 4.

0:09:56.920,0:09:59.610
Vi ganger begge sider med 4.

0:09:59.610,0:10:01.640
Det her 4-tallet forsvinner.

0:10:01.640,0:10:03.445
Vi ganger med 4 her.

0:10:03.445,0:10:04.480
Det her blir 2.

0:10:04.480,0:10:05.660
Det her blir 1.

0:10:05.660,0:10:09.250
a er nå lik med 2 kvadratroten av 3.

0:10:09.250,0:10:11.000
Nå er nesten i mål nå.

0:10:11.000,0:10:15.420
Vi har akkurat funnet sidelengdene.

0:10:15.420,0:10:17.460
Vi mangler bare å bruke Herons formel

0:10:17.460,0:10:19.080
til å finne trekantens areal ut fra sidelengdene.

0:10:19.080,0:10:22.110
Nå skal vi innsette a

0:10:22.110,0:10:24.670
for å finne trekantens areal.

0:10:24.670,0:10:30.380
Trekantens areal er lik med a i andre.

0:10:30.380,0:10:31.690
Hva er det?

0:10:31.690,0:10:37.780
Det er 2 kvadratroten av 3 i andre

0:10:37.780,0:10:42.710
ganger kvadratroten av 3 over 4.

0:10:42.710,0:10:45.470
Vi ganger et kvadrat med kvadratroten av 3 over 4.

0:10:45.470,0:10:51.950
Det er lik med 4 ganger 3

0:10:51.950,0:10:53.930
ganger kvadratet av 3 over 4.

0:10:53.930,0:10:55.350
Firetallene går ut.

0:10:55.350,0:10:58.360
Arealet av vår trekant er

0:10:58.360,0:11:00.770
3 ganger kvadratroten av 3.

0:11:00.770,0:11:03.160
Det her området er altså 3 kvadratrøtter av 3.

0:11:03.160,0:11:06.480
Det er hele trekantens areal.

0:11:06.480,0:11:08.810
La oss gå tilbake til selve oppgaven.

0:11:08.810,0:11:12.970
Vi skal finne arealet av det oransje området

0:11:12.970,0:11:14.530
innenfor sirkelen og utenfor trekanten.

0:11:14.530,0:11:18.460
Arealet av sirklene er 4pi.

0:11:18.460,0:11:23.340
Vi skal nå trekke arealet av trekanten fra.

0:11:23.340,0:11:25.170
Det var 3 kvadratrøtter av 3.

0:11:25.170,0:11:27.390
Nå er vi ferdige.

0:11:27.390,0:11:28.670
Det her er svaret på oppgaven.

0:11:28.670,0:11:35.270
Det her er lik med arealet av det oransje her.

0:11:35.270,0:11:37.800
Forhåpentligvis var det interessant å lære.

0:11:37.800,0:11:38.044
.