WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:03.140
V tomto videu Vám chci ukázat,
jak můžeme použít

00:00:03.140 --> 00:00:05.960
poznatky z posledních videí
k nějakým zajímavým věcem.

00:00:05.960 --> 00:00:12.150
Dejme tomu, že toto je kružnice,
a v ní mám vepsaný rovnostranný trojúhelník.

00:00:12.150 --> 00:00:16.120
Čili všechny tři jeho vrcholy

00:00:16.120 --> 00:00:18.825
leží na této kružnici.

00:00:18.825 --> 00:00:24.170
Pokusím se nakreslit rovnostranný 
trojúhelník co nejpřesněji.

00:00:24.170 --> 00:00:26.790
Tak, lépe to asi nepůjde.

00:00:26.790 --> 00:00:28.560
Když říkám 'rovnostranný',
znamená to,

00:00:28.560 --> 00:00:30.170
že jeho strany
mají stejnou délku.

00:00:30.170 --> 00:00:33.730
Čili, pokud má tato strana velikost 'a',
pak i tato strana má délku 'a'.

00:00:33.730 --> 00:00:36.610
A toto je taky strana délky 'a'.

00:00:36.610 --> 00:00:44.010
Řekněme, že známe poloměr kružnice.
Poloměr této kružnice je 2.

00:00:44.010 --> 00:00:45.925
Jen jsem náhodně vybral číslo.

00:00:45.925 --> 00:00:49.600
Tedy, poloměr této kružnice je 2.

00:00:49.600 --> 00:00:55.930
Vzdálenost ze středu
k jakémukoli bodu na kružnici, je 2.

00:00:55.930 --> 00:01:02.790
A teď použijeme něco,
co jsme se naučili v předchozích videích.

00:01:02.790 --> 00:01:04.960
A nějaké základy trigonometrie.

00:01:04.960 --> 00:01:06.940
Pokud Vás slovo "trigonometrie" děsí,

00:01:06.940 --> 00:01:09.570
měli byste si zopakovat první
dvě nebo tři videa

00:01:09.570 --> 00:01:11.710
ze seznamu videí věnovaných
trigonometrii,

00:01:11.710 --> 00:01:13.270
abyste mému postupu rozuměli.

00:01:13.270 --> 00:01:18.830
Chci vypočítat obsah plochy
uvnitř kružnice,

00:01:18.830 --> 00:01:21.080
ale vně trojúhelníka.

00:01:21.080 --> 00:01:30.970
Chci zjistit celkový obsah
této, této a této malé plochy.

00:01:30.970 --> 00:01:33.080
Zjevné je to,

00:01:33.080 --> 00:01:36.670
že můžeme jednoduše
vypočítat obsah kruhu.

00:01:36.670 --> 00:01:40.215
Obsah kruhu.

00:01:40.215 --> 00:01:43.740
A ten vypočítáme jako
π krát r na druhou

00:01:43.740 --> 00:01:48.840
Neboli π krát 2 na druhou,
což jsou 4π.

00:01:48.840 --> 00:01:53.040
A od obsahu 4π
bychom mohli odečíst obsah trojúhelníku.

00:01:53.040 --> 00:01:55.450
Teď tedy musíme tento obsah vypočítat.

00:01:55.450 --> 00:02:03.920
Jaký je obsah tohoto trojúhelníka?

00:02:03.930 --> 00:02:07.260
V jednom z minulých videí
jsem Vám ukázal Heronův vzorec,

00:02:07.260 --> 00:02:10.720
který je založen na tom, že pokud
znáte všechny strany trojúhelníku,

00:02:10.720 --> 00:02:12.070
můžete vypočítat jeho obsah.

00:02:12.070 --> 00:02:14.180
Ale délky stran ještě neznáme.

00:02:14.180 --> 00:02:16.560
Jakmile je budeme znát, budeme
schopni vypočítat obsah.

00:02:16.560 --> 00:02:18.740
Použijeme Heronův vzorec už teď.

00:02:18.740 --> 00:02:21.950
Takže, délky stran tohoto
rovnostranného trojúhelníka...

00:02:21.950 --> 00:02:23.760
jsou stejné, čili 'a'.

00:02:23.760 --> 00:02:31.450
Když aplikujeme Heronův vzorec,
musíme definovat naši proměnnou 's'

00:02:31.450 --> 00:02:38.220
jako: s se rovná
(a plus a plus a) lomeno 2

00:02:38.220 --> 00:02:42.070
Což je to samé jako
'3a' lomeno 2.

00:02:42.070 --> 00:02:46.380
A teď obsah trojúhelníka
vyjádříme pomocí 'a'.

00:02:46.380 --> 00:02:53.570
Obsah bude roven
odmocnině z 's'.

00:02:53.570 --> 00:02:59.310
Což je (3a lomeno 2)
krát (s minus a).

00:02:59.310 --> 00:03:03.820
's' minus 'a' je 
(3a lomeno 2) minus 'a'

00:03:03.820 --> 00:03:07.060
Neboli 2a lomeno 2

00:03:07.060 --> 00:03:08.970
Chápete? 'a' je to samé
co '2a' lomeno 2.

00:03:08.970 --> 00:03:11.350
Protože můžeme vykrátit dvojky
a dostaneme 'a'.

00:03:11.350 --> 00:03:13.170
A tohle udělám třikrát.

00:03:13.170 --> 00:03:16.000
Čili místo toho, abych všechny
strany roznásobil

00:03:16.000 --> 00:03:18.640
Heronovým vzorcem, 
můžu to zapsat

00:03:18.640 --> 00:03:20.700
jako tento výraz na třetí.

00:03:20.700 --> 00:03:22.000
Čemu se to bude rovnat?

00:03:22.000 --> 00:03:31.050
Toto bude rovno odmocnině
z (3a lomeno 2)

00:03:31.050 --> 00:03:34.070
A toto bude rovno

00:03:34.070 --> 00:03:36.810
3a minus 2a.
Tedy 'a'.

00:03:36.810 --> 00:03:42.010
Jinými slovy,
('a' lomeno 2) na třetí.

00:03:42.010 --> 00:03:46.520
Toto bude rovno...
jen změním barvy.

00:03:46.520 --> 00:03:54.470
Máme tu 3a krát (a na třetí),
což je 3a na čtvrtou

00:03:54.470 --> 00:03:58.170
lomeno (2 krát 2 na třetí).

00:03:58.170 --> 00:04:03.680
To je 2 na čtvrtou, což je 16.

00:04:03.680 --> 00:04:07.100
2 krát (2 na třetí) je (2 na čtvrtou)

00:04:07.100 --> 00:04:07.890
To je 16.

00:04:07.890 --> 00:04:10.660
Teď, pokud odmocníme
čitatele a jmenovatele,

00:04:10.660 --> 00:04:14.150
vyjde nám, že to bude rovno
odmocnině z (a na čtvrtou).

00:04:14.150 --> 00:04:16.690
Což je a na druhou.

00:04:16.690 --> 00:04:21.390
(a na druhou) krát... Zapíšeme to
jako odmocnina z 3,

00:04:21.390 --> 00:04:24.860
lomeno odmocnina jmenovatele.
Což je 4.

00:04:24.860 --> 00:04:30.130
Pokud tedy známe 'a',
pak pomocí Heronova vzorce

00:04:30.130 --> 00:04:32.720
můžeme vypočítat i obsah
rovnostranného trojúhelníka.

00:04:32.720 --> 00:04:35.080
Jak tedy zjistíme velikost 'a'?

00:04:35.080 --> 00:04:37.770
Co ještě víme
o rovnostranných trojúhelnících?

00:04:37.770 --> 00:04:42.690
Víme, že všechny jeho vnitřní
úhly jsou stejně velké.

00:04:42.690 --> 00:04:45.720
A protože musí mít součtem 180°,

00:04:45.720 --> 00:04:48.210
pak musí mít všechny velikost 60°.

00:04:48.210 --> 00:04:51.890
Toto je 60°,
toto je 60°

00:04:51.890 --> 00:04:54.090
a toto je taky 60°.

00:04:54.090 --> 00:04:56.980
Schválně, jestli můžeme použít
něco z minulého videa,

00:04:56.980 --> 00:05:01.720
ve kterém jsem mluvil
o vztahu mezi obvodovým

00:05:01.720 --> 00:05:02.800
a středovým úhlem.

00:05:02.800 --> 00:05:04.560
Toto je obvodový úhel.

00:05:04.560 --> 00:05:09.620
Jeho vrchol leží na kružnici.

00:05:09.620 --> 00:05:20.500
A vymezuje tento oblouk.

00:05:20.500 --> 00:05:29.900
A tento středový úhel
vymezuje ten samý oblouk.

00:05:29.900 --> 00:05:34.950
Tento středový úhel
vymezuje tento oblouk.

00:05:34.960 --> 00:05:37.860
S ohledem na to, co jsme
viděli v minulém videu,

00:05:37.860 --> 00:05:41.340
středový úhel, který vymezuje
stejný oblouk jako obvodový úhel,

00:05:41.340 --> 00:05:43.390
bude mít oproti němu
dvojnásobnou velikost.

00:05:43.390 --> 00:05:47.230
Takže tento úhel bude mít
velikost 120 stupňů.

00:05:47.230 --> 00:05:48.860
Jen tu udělám šipku.

00:05:48.860 --> 00:05:50.860
120 stupňů.

00:05:50.860 --> 00:05:52.440
Je to dvojnásobek tohoto.

00:05:52.440 --> 00:05:56.110
Chci rozpůlit tento úhel.

00:05:56.110 --> 00:05:58.140
Čili v polovině úhlu

00:05:58.140 --> 00:06:01.260
spustím takhle čáru.

00:06:01.260 --> 00:06:03.310
Jakou velikost budou
mít tyto dva úhly?

00:06:03.310 --> 00:06:04.440
Budou mít 60°.

00:06:04.440 --> 00:06:05.760
Půlím tento úhel.

00:06:05.760 --> 00:06:10.480
Toto je 60°
a toto je taky 60°.

00:06:10.480 --> 00:06:14.450
Víme, že půlím tuto stranu.

00:06:14.450 --> 00:06:17.080
A toto je rovnoramenný trojúhelník.

00:06:17.080 --> 00:06:19.040
Toto je poloměr.

00:06:19.040 --> 00:06:21.030
Poloměr 'r' o velikosti 2.

00:06:21.030 --> 00:06:24.530
Toto je také poloměr 'r'
o velikosti 2.

00:06:24.530 --> 00:06:26.090
Tento trojúhelník je symetrický.

00:06:26.090 --> 00:06:28.540
Pokud tu spustím čáru,

00:06:28.540 --> 00:06:33.100
tak tato strana bude rozpůlena.

00:06:33.100 --> 00:06:36.280
Délka této strany
bude rozdělena 2.

00:06:36.280 --> 00:06:37.240
Nakreslím to.

00:06:37.240 --> 00:06:39.890
Pokud vezmeme rovnoramenný trojúhelník,

00:06:39.890 --> 00:06:44.850
jakýkoliv rovnoramenný trojúhelník, kdy se
délky těchto dvou stran rovnají...

00:06:44.850 --> 00:06:47.300
V našem případě to jsou poloměry.

00:06:47.300 --> 00:06:49.530
A velikost těchto dvou úhlů bude stejná.

00:06:49.530 --> 00:06:51.790
Pokud opět spustím z vrcholu
úhlu čáru,

00:06:51.790 --> 00:06:55.260
rozpůlil bych ten úhel.

00:06:55.260 --> 00:06:56.880
Čili tyto vzdálenosti budou stejné.

00:06:56.880 --> 00:06:59.120
V našem případě, pokud je
tato celá vzdálenost 'a',

00:06:59.120 --> 00:07:01.140
pak toto bude (a lomeno 2).

00:07:01.140 --> 00:07:04.420
Schválně, jestli tohle můžeme použít,
tohle a trošku trigonometrie,

00:07:04.420 --> 00:07:08.360
abychom objevili vztah
mezi 'a' a 'r'.

00:07:08.360 --> 00:07:12.050
Protože pokud můžeme 'a'
z rovnice vyjádřit za použití 'r',

00:07:12.050 --> 00:07:15.700
můžeme pak 'a' vložit sem
a zjistíme obsah našeho trojúhelníku.

00:07:15.700 --> 00:07:17.600
A pak budeme moct
odečíst tento obsah

00:07:17.600 --> 00:07:20.070
od obsahu kruhu
a budeme hotovi.

00:07:20.070 --> 00:07:22.050
A budeme mít vyřešený tento příklad.

00:07:22.050 --> 00:07:24.610
Tak schválně, jestli to půjde.

00:07:24.610 --> 00:07:29.340
Máme tady úhel
o velikosti 60°.

00:07:29.340 --> 00:07:32.050
Tedy polovinu tohoto
středového úhlu.

00:07:32.050 --> 00:07:34.600
Pokud má tento úhel velikost 60°,

00:07:34.600 --> 00:07:37.380
pak má jeho protější strana
velikost a lomeno 2.

00:07:37.380 --> 00:07:43.480
Takže jeho protější strana
má velikost a lomeno 2.

00:07:43.480 --> 00:07:45.050
Známe také přeponu.

00:07:45.050 --> 00:07:46.870
Je to pravoúhlý trojúhelník.

00:07:46.870 --> 00:07:50.870
Spouštíte tu vlastně kolmici,
když půlíte úhel.

00:07:50.870 --> 00:07:52.640
Toto je pravoúhlý trojúhelník.

00:07:52.640 --> 00:07:54.380
Takže tu můžeme
použít trigonometrii.

00:07:54.380 --> 00:08:02.550
Naše odvěsna má velikost a lomeno 2,
přepona má velikost 'r'-

00:08:02.550 --> 00:08:05.020
Toto je přepona našeho
pravoúhlého trojúhelníka.

00:08:05.020 --> 00:08:06.360
Její velikost je 2.

00:08:06.360 --> 00:08:12.440
Takže, jaký poměr
je poměr protilehlé strany

00:08:12.440 --> 00:08:14.920
ku přeponě?

00:08:14.920 --> 00:08:18.910
Někteří už tu slovní hříčku znáte,

00:08:18.910 --> 00:08:22.030
ale
SOH CAH TOA.

00:08:22.030 --> 00:08:27.070
SOH - Sinus úhlu je roven
protější straně (Opposite) lomeno

00:08:27.070 --> 00:08:28.620
přeponě (Hypotenuse).

00:08:28.620 --> 00:08:29.580
Dochází mi místo,

00:08:29.580 --> 00:08:31.270
tak trochu sjedu dolů.

00:08:31.270 --> 00:08:38.700
Sinus úhlu o velikosti
60 stupňů bude roven

00:08:38.700 --> 00:08:43.780
velikost protější strany,
což je a lomeno 2,

00:08:43.780 --> 00:08:45.800
lomeno přepona, což je náš poloměr,

00:08:45.800 --> 00:08:48.140
tedy lomeno 2.

00:08:48.140 --> 00:08:54.510
Což se rovná (a lomeno 2) lomeno 2.
Což je (a lomeno 4).

00:08:54.510 --> 00:08:56.880
Kolik je sinus 60 stupňů?

00:08:56.880 --> 00:08:59.720
A pokud slovo "sinus" neznáte,

00:08:59.720 --> 00:09:04.150
koukněte se na prvních pár
videí, která se týkají trigonometrie.

00:09:04.150 --> 00:09:06.240
Pak už by to nemělo být tak cizí.

00:09:06.240 --> 00:09:08.310
Sinus 60 stupňů byste si měli pamatovat

00:09:08.310 --> 00:09:10.680
z trojúhelníků
s úhly 30-60-90.

00:09:10.680 --> 00:09:13.210
Takže, jeden tu nakreslím.

00:09:13.210 --> 00:09:15.705
Toto je trojúhelník 30-60-90.

00:09:15.705 --> 00:09:21.540
Pokud je toto úhel o velikosti 60 stupňů,
pak tento má velikost 30° a tento 90°.

00:09:21.540 --> 00:09:26.660
A taky si možná pamatujete,
že tato strana má velikost 1,

00:09:26.660 --> 00:09:31.410
tato 1/2 a toto bude
((odmocnina ze 3) lomeno 2),

00:09:31.410 --> 00:09:35.300
Čili sinus 60 stupňů je
protilehlá ku přeponě.

00:09:35.300 --> 00:09:37.770
Tedy ((odmocnina ze 3) lomeno 2),
to celé lomeno 1.

00:09:37.770 --> 00:09:40.550
Sinus 60 stupňů...

00:09:40.550 --> 00:09:42.840
Pokud nemáte kalkulačku,
tak můžete použít

00:09:42.840 --> 00:09:45.050
tento výraz jako číslo.
Odmocnina ze 3 lomeno 2.

00:09:45.050 --> 00:09:48.890
Takže toto je 
odmocnina ze 3 lomeno 2.

00:09:48.890 --> 00:09:51.280
Teď toto můžeme
vyřešit pro 'a'.

00:09:51.280 --> 00:09:56.920
(Odmocnina ze 3) lomeno 2
je rovna (a lomeno 4).

00:09:56.920 --> 00:09:59.610
Vynásobíme obě strany čtyřmi.

00:09:59.610 --> 00:10:01.640
Takže se čtyřky vykrátí.

00:10:01.640 --> 00:10:03.445
Násobíme 4 zde.

00:10:03.445 --> 00:10:04.480
Toto bude 2.

00:10:04.480 --> 00:10:05.660
Toto bude 1.

00:10:05.660 --> 00:10:09.250
A dostanete, že se 'a'
rovná 2 krát (odmocnina ze 3).

00:10:09.250 --> 00:10:11.000
Tak, jsme skoro v cílové rovince.

00:10:11.000 --> 00:10:15.420
Zrovna jsme vypočítali délku
těchto stran.

00:10:15.420 --> 00:10:18.190
Použili jsme Heronův vzorec
pro výpočet obsahu trojúhelníku

00:10:18.190 --> 00:10:19.450
pomocí těchto délek stran.

00:10:19.450 --> 00:10:22.110
Takže nyní pouze dosadíme
tyto hodnoty za 'a'

00:10:22.110 --> 00:10:24.670
a dostaneme skutečný obsah.

00:10:24.670 --> 00:10:30.380
Takže, obsah našeho trojúhelníka
je 'a' na druhou.

00:10:30.380 --> 00:10:31.690
Co je to 'a' na druhou?

00:10:31.690 --> 00:10:37.410
Jsou to (2 odmocniny ze 3) na druhou

00:10:37.410 --> 00:10:42.710
krát (odmocnina ze 3) lomeno 4.

00:10:42.710 --> 00:10:45.830
(a na druhou) krát (odmocnina ze 3),
to celé lomeno 4, už to máme.

00:10:45.830 --> 00:10:53.950
Toto bude rovno 4 krát 3 krát
(odmocnina ze 3), to celé lomeno 4.

00:10:53.950 --> 00:10:55.350
Takže se čtyřky vykrátí.

00:10:55.350 --> 00:11:00.770
Obsah našeho trojúhelníka tedy je...
Máme tu 3 krát odmocnina ze 3.

00:11:00.770 --> 00:11:03.160
Takže náš obsah je
3 krát (odmocnina ze 3).

00:11:03.160 --> 00:11:06.480
To je obsah celého trojúhelníku.

00:11:06.480 --> 00:11:08.810
A teď zpátky k zadání.

00:11:08.810 --> 00:11:12.970
Obsah této oranžové části
vně trojúhelníka,

00:11:12.970 --> 00:11:14.530
ale zároveň uvnitř kružnice.

00:11:14.530 --> 00:11:18.460
Inu, obsah našeho kruhu je 4π.

00:11:18.460 --> 00:11:23.340
A od toho odečteme
obsah trojúhelníku,

00:11:23.340 --> 00:11:25.170
3 odmocniny ze 3.

00:11:25.170 --> 00:11:27.390
A máme hotovo.

00:11:27.390 --> 00:11:29.055
Toto je odpověď na naši otázku.

00:11:29.055 --> 00:11:35.265
Toto je obsah této oranžové plochy.

00:11:35.270 --> 00:11:37.800
Snad z toho máte radost.