1
00:00:00,000 --> 00:00:03,140
V tomto videu Vám chci ukázat,
jak můžeme použít

2
00:00:03,140 --> 00:00:05,960
poznatky z posledních videí
k nějakým zajímavým věcem.

3
00:00:05,960 --> 00:00:12,150
Dejme tomu, že toto je kružnice,
a v ní mám vepsaný rovnostranný trojúhelník.

4
00:00:12,150 --> 00:00:16,120
Čili všechny tři jeho vrcholy

5
00:00:16,120 --> 00:00:18,825
leží na této kružnici.

6
00:00:18,825 --> 00:00:24,170
Pokusím se nakreslit rovnostranný 
trojúhelník co nejpřesněji.

7
00:00:24,170 --> 00:00:26,790
Tak, lépe to asi nepůjde.

8
00:00:26,790 --> 00:00:28,560
Když říkám 'rovnostranný',
znamená to,

9
00:00:28,560 --> 00:00:30,170
že jeho strany
mají stejnou délku.

10
00:00:30,170 --> 00:00:33,730
Čili, pokud má tato strana velikost 'a',
pak i tato strana má délku 'a'.

11
00:00:33,730 --> 00:00:36,610
A toto je taky strana délky 'a'.

12
00:00:36,610 --> 00:00:44,010
Řekněme, že známe poloměr kružnice.
Poloměr této kružnice je 2.

13
00:00:44,010 --> 00:00:45,925
Jen jsem náhodně vybral číslo.

14
00:00:45,925 --> 00:00:49,600
Tedy, poloměr této kružnice je 2.

15
00:00:49,600 --> 00:00:55,930
Vzdálenost ze středu
k jakémukoli bodu na kružnici, je 2.

16
00:00:55,930 --> 00:01:02,790
A teď použijeme něco,
co jsme se naučili v předchozích videích.

17
00:01:02,790 --> 00:01:04,960
A nějaké základy trigonometrie.

18
00:01:04,960 --> 00:01:06,940
Pokud Vás slovo "trigonometrie" děsí,

19
00:01:06,940 --> 00:01:09,570
měli byste si zopakovat první
dvě nebo tři videa

20
00:01:09,570 --> 00:01:11,710
ze seznamu videí věnovaných
trigonometrii,

21
00:01:11,710 --> 00:01:13,270
abyste mému postupu rozuměli.

22
00:01:13,270 --> 00:01:18,830
Chci vypočítat obsah plochy
uvnitř kružnice,

23
00:01:18,830 --> 00:01:21,080
ale vně trojúhelníka.

24
00:01:21,080 --> 00:01:30,970
Chci zjistit celkový obsah
této, této a této malé plochy.

25
00:01:30,970 --> 00:01:33,080
Zjevné je to,

26
00:01:33,080 --> 00:01:36,670
že můžeme jednoduše
vypočítat obsah kruhu.

27
00:01:36,670 --> 00:01:40,215
Obsah kruhu.

28
00:01:40,215 --> 00:01:43,740
A ten vypočítáme jako
π krát r na druhou

29
00:01:43,740 --> 00:01:48,840
Neboli π krát 2 na druhou,
což jsou 4π.

30
00:01:48,840 --> 00:01:53,040
A od obsahu 4π
bychom mohli odečíst obsah trojúhelníku.

31
00:01:53,040 --> 00:01:55,450
Teď tedy musíme tento obsah vypočítat.

32
00:01:55,450 --> 00:02:03,920
Jaký je obsah tohoto trojúhelníka?

33
00:02:03,930 --> 00:02:07,260
V jednom z minulých videí
jsem Vám ukázal Heronův vzorec,

34
00:02:07,260 --> 00:02:10,720
který je založen na tom, že pokud
znáte všechny strany trojúhelníku,

35
00:02:10,720 --> 00:02:12,070
můžete vypočítat jeho obsah.

36
00:02:12,070 --> 00:02:14,180
Ale délky stran ještě neznáme.

37
00:02:14,180 --> 00:02:16,560
Jakmile je budeme znát, budeme
schopni vypočítat obsah.

38
00:02:16,560 --> 00:02:18,740
Použijeme Heronův vzorec už teď.

39
00:02:18,740 --> 00:02:21,950
Takže, délky stran tohoto
rovnostranného trojúhelníka...

40
00:02:21,950 --> 00:02:23,760
jsou stejné, čili 'a'.

41
00:02:23,760 --> 00:02:31,450
Když aplikujeme Heronův vzorec,
musíme definovat naši proměnnou 's'

42
00:02:31,450 --> 00:02:38,220
jako: s se rovná
(a plus a plus a) lomeno 2

43
00:02:38,220 --> 00:02:42,070
Což je to samé jako
'3a' lomeno 2.

44
00:02:42,070 --> 00:02:46,380
A teď obsah trojúhelníka
vyjádříme pomocí 'a'.

45
00:02:46,380 --> 00:02:53,570
Obsah bude roven
odmocnině z 's'.

46
00:02:53,570 --> 00:02:59,310
Což je (3a lomeno 2)
krát (s minus a).

47
00:02:59,310 --> 00:03:03,820
's' minus 'a' je 
(3a lomeno 2) minus 'a'

48
00:03:03,820 --> 00:03:07,060
Neboli 2a lomeno 2

49
00:03:07,060 --> 00:03:08,970
Chápete? 'a' je to samé
co '2a' lomeno 2.

50
00:03:08,970 --> 00:03:11,350
Protože můžeme vykrátit dvojky
a dostaneme 'a'.

51
00:03:11,350 --> 00:03:13,170
A tohle udělám třikrát.

52
00:03:13,170 --> 00:03:16,000
Čili místo toho, abych všechny
strany roznásobil

53
00:03:16,000 --> 00:03:18,640
Heronovým vzorcem, 
můžu to zapsat

54
00:03:18,640 --> 00:03:20,700
jako tento výraz na třetí.

55
00:03:20,700 --> 00:03:22,000
Čemu se to bude rovnat?

56
00:03:22,000 --> 00:03:31,050
Toto bude rovno odmocnině
z (3a lomeno 2)

57
00:03:31,050 --> 00:03:34,070
A toto bude rovno

58
00:03:34,070 --> 00:03:36,810
3a minus 2a.
Tedy 'a'.

59
00:03:36,810 --> 00:03:42,010
Jinými slovy,
('a' lomeno 2) na třetí.

60
00:03:42,010 --> 00:03:46,520
Toto bude rovno...
jen změním barvy.

61
00:03:46,520 --> 00:03:54,470
Máme tu 3a krát (a na třetí),
což je 3a na čtvrtou

62
00:03:54,470 --> 00:03:58,170
lomeno (2 krát 2 na třetí).

63
00:03:58,170 --> 00:04:03,680
To je 2 na čtvrtou, což je 16.

64
00:04:03,680 --> 00:04:07,100
2 krát (2 na třetí) je (2 na čtvrtou)

65
00:04:07,100 --> 00:04:07,890
To je 16.

66
00:04:07,890 --> 00:04:10,660
Teď, pokud odmocníme
čitatele a jmenovatele,

67
00:04:10,660 --> 00:04:14,150
vyjde nám, že to bude rovno
odmocnině z (a na čtvrtou).

68
00:04:14,150 --> 00:04:16,690
Což je a na druhou.

69
00:04:16,690 --> 00:04:21,390
(a na druhou) krát... Zapíšeme to
jako odmocnina z 3,

70
00:04:21,390 --> 00:04:24,860
lomeno odmocnina jmenovatele.
Což je 4.

71
00:04:24,860 --> 00:04:30,130
Pokud tedy známe 'a',
pak pomocí Heronova vzorce

72
00:04:30,130 --> 00:04:32,720
můžeme vypočítat i obsah
rovnostranného trojúhelníka.

73
00:04:32,720 --> 00:04:35,080
Jak tedy zjistíme velikost 'a'?

74
00:04:35,080 --> 00:04:37,770
Co ještě víme
o rovnostranných trojúhelnících?

75
00:04:37,770 --> 00:04:42,690
Víme, že všechny jeho vnitřní
úhly jsou stejně velké.

76
00:04:42,690 --> 00:04:45,720
A protože musí mít součtem 180°,

77
00:04:45,720 --> 00:04:48,210
pak musí mít všechny velikost 60°.

78
00:04:48,210 --> 00:04:51,890
Toto je 60°,
toto je 60°

79
00:04:51,890 --> 00:04:54,090
a toto je taky 60°.

80
00:04:54,090 --> 00:04:56,980
Schválně, jestli můžeme použít
něco z minulého videa,

81
00:04:56,980 --> 00:05:01,720
ve kterém jsem mluvil
o vztahu mezi obvodovým

82
00:05:01,720 --> 00:05:02,800
a středovým úhlem.

83
00:05:02,800 --> 00:05:04,560
Toto je obvodový úhel.

84
00:05:04,560 --> 00:05:09,620
Jeho vrchol leží na kružnici.

85
00:05:09,620 --> 00:05:20,500
A vymezuje tento oblouk.

86
00:05:20,500 --> 00:05:29,900
A tento středový úhel
vymezuje ten samý oblouk.

87
00:05:29,900 --> 00:05:34,950
Tento středový úhel
vymezuje tento oblouk.

88
00:05:34,960 --> 00:05:37,860
S ohledem na to, co jsme
viděli v minulém videu,

89
00:05:37,860 --> 00:05:41,340
středový úhel, který vymezuje
stejný oblouk jako obvodový úhel,

90
00:05:41,340 --> 00:05:43,390
bude mít oproti němu
dvojnásobnou velikost.

91
00:05:43,390 --> 00:05:47,230
Takže tento úhel bude mít
velikost 120 stupňů.

92
00:05:47,230 --> 00:05:48,860
Jen tu udělám šipku.

93
00:05:48,860 --> 00:05:50,860
120 stupňů.

94
00:05:50,860 --> 00:05:52,440
Je to dvojnásobek tohoto.

95
00:05:52,440 --> 00:05:56,110
Chci rozpůlit tento úhel.

96
00:05:56,110 --> 00:05:58,140
Čili v polovině úhlu

97
00:05:58,140 --> 00:06:01,260
spustím takhle čáru.

98
00:06:01,260 --> 00:06:03,310
Jakou velikost budou
mít tyto dva úhly?

99
00:06:03,310 --> 00:06:04,440
Budou mít 60°.

100
00:06:04,440 --> 00:06:05,760
Půlím tento úhel.

101
00:06:05,760 --> 00:06:10,480
Toto je 60°
a toto je taky 60°.

102
00:06:10,480 --> 00:06:14,450
Víme, že půlím tuto stranu.

103
00:06:14,450 --> 00:06:17,080
A toto je rovnoramenný trojúhelník.

104
00:06:17,080 --> 00:06:19,040
Toto je poloměr.

105
00:06:19,040 --> 00:06:21,030
Poloměr 'r' o velikosti 2.

106
00:06:21,030 --> 00:06:24,530
Toto je také poloměr 'r'
o velikosti 2.

107
00:06:24,530 --> 00:06:26,090
Tento trojúhelník je symetrický.

108
00:06:26,090 --> 00:06:28,540
Pokud tu spustím čáru,

109
00:06:28,540 --> 00:06:33,100
tak tato strana bude rozpůlena.

110
00:06:33,100 --> 00:06:36,280
Délka této strany
bude rozdělena 2.

111
00:06:36,280 --> 00:06:37,240
Nakreslím to.

112
00:06:37,240 --> 00:06:39,890
Pokud vezmeme rovnoramenný trojúhelník,

113
00:06:39,890 --> 00:06:44,850
jakýkoliv rovnoramenný trojúhelník, kdy se
délky těchto dvou stran rovnají...

114
00:06:44,850 --> 00:06:47,300
V našem případě to jsou poloměry.

115
00:06:47,300 --> 00:06:49,530
A velikost těchto dvou úhlů bude stejná.

116
00:06:49,530 --> 00:06:51,790
Pokud opět spustím z vrcholu
úhlu čáru,

117
00:06:51,790 --> 00:06:55,260
rozpůlil bych ten úhel.

118
00:06:55,260 --> 00:06:56,880
Čili tyto vzdálenosti budou stejné.

119
00:06:56,880 --> 00:06:59,120
V našem případě, pokud je
tato celá vzdálenost 'a',

120
00:06:59,120 --> 00:07:01,140
pak toto bude (a lomeno 2).

121
00:07:01,140 --> 00:07:04,420
Schválně, jestli tohle můžeme použít,
tohle a trošku trigonometrie,

122
00:07:04,420 --> 00:07:08,360
abychom objevili vztah
mezi 'a' a 'r'.

123
00:07:08,360 --> 00:07:12,050
Protože pokud můžeme 'a'
z rovnice vyjádřit za použití 'r',

124
00:07:12,050 --> 00:07:15,700
můžeme pak 'a' vložit sem
a zjistíme obsah našeho trojúhelníku.

125
00:07:15,700 --> 00:07:17,600
A pak budeme moct
odečíst tento obsah

126
00:07:17,600 --> 00:07:20,070
od obsahu kruhu
a budeme hotovi.

127
00:07:20,070 --> 00:07:22,050
A budeme mít vyřešený tento příklad.

128
00:07:22,050 --> 00:07:24,610
Tak schválně, jestli to půjde.

129
00:07:24,610 --> 00:07:29,340
Máme tady úhel
o velikosti 60°.

130
00:07:29,340 --> 00:07:32,050
Tedy polovinu tohoto
středového úhlu.

131
00:07:32,050 --> 00:07:34,600
Pokud má tento úhel velikost 60°,

132
00:07:34,600 --> 00:07:37,380
pak má jeho protější strana
velikost a lomeno 2.

133
00:07:37,380 --> 00:07:43,480
Takže jeho protější strana
má velikost a lomeno 2.

134
00:07:43,480 --> 00:07:45,050
Známe také přeponu.

135
00:07:45,050 --> 00:07:46,870
Je to pravoúhlý trojúhelník.

136
00:07:46,870 --> 00:07:50,870
Spouštíte tu vlastně kolmici,
když půlíte úhel.

137
00:07:50,870 --> 00:07:52,640
Toto je pravoúhlý trojúhelník.

138
00:07:52,640 --> 00:07:54,380
Takže tu můžeme
použít trigonometrii.

139
00:07:54,380 --> 00:08:02,550
Naše odvěsna má velikost a lomeno 2,
přepona má velikost 'r'-

140
00:08:02,550 --> 00:08:05,020
Toto je přepona našeho
pravoúhlého trojúhelníka.

141
00:08:05,020 --> 00:08:06,360
Její velikost je 2.

142
00:08:06,360 --> 00:08:12,440
Takže, jaký poměr
je poměr protilehlé strany

143
00:08:12,440 --> 00:08:14,920
ku přeponě?

144
00:08:14,920 --> 00:08:18,910
Někteří už tu slovní hříčku znáte,

145
00:08:18,910 --> 00:08:22,030
ale
SOH CAH TOA.

146
00:08:22,030 --> 00:08:27,070
SOH - Sinus úhlu je roven
protější straně (Opposite) lomeno

147
00:08:27,070 --> 00:08:28,620
přeponě (Hypotenuse).

148
00:08:28,620 --> 00:08:29,580
Dochází mi místo,

149
00:08:29,580 --> 00:08:31,270
tak trochu sjedu dolů.

150
00:08:31,270 --> 00:08:38,700
Sinus úhlu o velikosti
60 stupňů bude roven

151
00:08:38,700 --> 00:08:43,780
velikost protější strany,
což je a lomeno 2,

152
00:08:43,780 --> 00:08:45,800
lomeno přepona, což je náš poloměr,

153
00:08:45,800 --> 00:08:48,140
tedy lomeno 2.

154
00:08:48,140 --> 00:08:54,510
Což se rovná (a lomeno 2) lomeno 2.
Což je (a lomeno 4).

155
00:08:54,510 --> 00:08:56,880
Kolik je sinus 60 stupňů?

156
00:08:56,880 --> 00:08:59,720
A pokud slovo "sinus" neznáte,

157
00:08:59,720 --> 00:09:04,150
koukněte se na prvních pár
videí, která se týkají trigonometrie.

158
00:09:04,150 --> 00:09:06,240
Pak už by to nemělo být tak cizí.

159
00:09:06,240 --> 00:09:08,310
Sinus 60 stupňů byste si měli pamatovat

160
00:09:08,310 --> 00:09:10,680
z trojúhelníků
s úhly 30-60-90.

161
00:09:10,680 --> 00:09:13,210
Takže, jeden tu nakreslím.

162
00:09:13,210 --> 00:09:15,705
Toto je trojúhelník 30-60-90.

163
00:09:15,705 --> 00:09:21,540
Pokud je toto úhel o velikosti 60 stupňů,
pak tento má velikost 30° a tento 90°.

164
00:09:21,540 --> 00:09:26,660
A taky si možná pamatujete,
že tato strana má velikost 1,

165
00:09:26,660 --> 00:09:31,410
tato 1/2 a toto bude
((odmocnina ze 3) lomeno 2),

166
00:09:31,410 --> 00:09:35,300
Čili sinus 60 stupňů je
protilehlá ku přeponě.

167
00:09:35,300 --> 00:09:37,770
Tedy ((odmocnina ze 3) lomeno 2),
to celé lomeno 1.

168
00:09:37,770 --> 00:09:40,550
Sinus 60 stupňů...

169
00:09:40,550 --> 00:09:42,840
Pokud nemáte kalkulačku,
tak můžete použít

170
00:09:42,840 --> 00:09:45,050
tento výraz jako číslo.
Odmocnina ze 3 lomeno 2.

171
00:09:45,050 --> 00:09:48,890
Takže toto je 
odmocnina ze 3 lomeno 2.

172
00:09:48,890 --> 00:09:51,280
Teď toto můžeme
vyřešit pro 'a'.

173
00:09:51,280 --> 00:09:56,920
(Odmocnina ze 3) lomeno 2
je rovna (a lomeno 4).

174
00:09:56,920 --> 00:09:59,610
Vynásobíme obě strany čtyřmi.

175
00:09:59,610 --> 00:10:01,640
Takže se čtyřky vykrátí.

176
00:10:01,640 --> 00:10:03,445
Násobíme 4 zde.

177
00:10:03,445 --> 00:10:04,480
Toto bude 2.

178
00:10:04,480 --> 00:10:05,660
Toto bude 1.

179
00:10:05,660 --> 00:10:09,250
A dostanete, že se 'a'
rovná 2 krát (odmocnina ze 3).

180
00:10:09,250 --> 00:10:11,000
Tak, jsme skoro v cílové rovince.

181
00:10:11,000 --> 00:10:15,420
Zrovna jsme vypočítali délku
těchto stran.

182
00:10:15,420 --> 00:10:18,190
Použili jsme Heronův vzorec
pro výpočet obsahu trojúhelníku

183
00:10:18,190 --> 00:10:19,450
pomocí těchto délek stran.

184
00:10:19,450 --> 00:10:22,110
Takže nyní pouze dosadíme
tyto hodnoty za 'a'

185
00:10:22,110 --> 00:10:24,670
a dostaneme skutečný obsah.

186
00:10:24,670 --> 00:10:30,380
Takže, obsah našeho trojúhelníka
je 'a' na druhou.

187
00:10:30,380 --> 00:10:31,690
Co je to 'a' na druhou?

188
00:10:31,690 --> 00:10:37,410
Jsou to (2 odmocniny ze 3) na druhou

189
00:10:37,410 --> 00:10:42,710
krát (odmocnina ze 3) lomeno 4.

190
00:10:42,710 --> 00:10:45,830
(a na druhou) krát (odmocnina ze 3),
to celé lomeno 4, už to máme.

191
00:10:45,830 --> 00:10:53,950
Toto bude rovno 4 krát 3 krát
(odmocnina ze 3), to celé lomeno 4.

192
00:10:53,950 --> 00:10:55,350
Takže se čtyřky vykrátí.

193
00:10:55,350 --> 00:11:00,770
Obsah našeho trojúhelníka tedy je...
Máme tu 3 krát odmocnina ze 3.

194
00:11:00,770 --> 00:11:03,160
Takže náš obsah je
3 krát (odmocnina ze 3).

195
00:11:03,160 --> 00:11:06,480
To je obsah celého trojúhelníku.

196
00:11:06,480 --> 00:11:08,810
A teď zpátky k zadání.

197
00:11:08,810 --> 00:11:12,970
Obsah této oranžové části
vně trojúhelníka,

198
00:11:12,970 --> 00:11:14,530
ale zároveň uvnitř kružnice.

199
00:11:14,530 --> 00:11:18,460
Inu, obsah našeho kruhu je 4π.

200
00:11:18,460 --> 00:11:23,340
A od toho odečteme
obsah trojúhelníku,

201
00:11:23,340 --> 00:11:25,170
3 odmocniny ze 3.

202
00:11:25,170 --> 00:11:27,390
A máme hotovo.

203
00:11:27,390 --> 00:11:29,055
Toto je odpověď na naši otázku.

204
00:11:29,055 --> 00:11:35,265
Toto je obsah této oranžové plochy.

205
00:11:35,270 --> 00:11:37,800
Snad z toho máte radost.