0:00:00.000,0:00:03.140 V tomto videu Vám chci ukázat,[br]jak můžeme použít 0:00:03.140,0:00:05.960 poznatky z posledních videí[br]k nějakým zajímavým věcem. 0:00:05.960,0:00:12.150 Dejme tomu, že toto je kružnice,[br]a v ní mám vepsaný rovnostranný trojúhelník. 0:00:12.150,0:00:16.120 Čili všechny tři jeho vrcholy 0:00:16.120,0:00:18.825 leží na této kružnici. 0:00:18.825,0:00:24.170 Pokusím se nakreslit rovnostranný [br]trojúhelník co nejpřesněji. 0:00:24.170,0:00:26.790 Tak, lépe to asi nepůjde. 0:00:26.790,0:00:28.560 Když říkám 'rovnostranný',[br]znamená to, 0:00:28.560,0:00:30.170 že jeho strany[br]mají stejnou délku. 0:00:30.170,0:00:33.730 Čili, pokud má tato strana velikost 'a',[br]pak i tato strana má délku 'a'. 0:00:33.730,0:00:36.610 A toto je taky strana délky 'a'. 0:00:36.610,0:00:44.010 Řekněme, že známe poloměr kružnice.[br]Poloměr této kružnice je 2. 0:00:44.010,0:00:45.925 Jen jsem náhodně vybral číslo. 0:00:45.925,0:00:49.600 Tedy, poloměr této kružnice je 2. 0:00:49.600,0:00:55.930 Vzdálenost ze středu[br]k jakémukoli bodu na kružnici, je 2. 0:00:55.930,0:01:02.790 A teď použijeme něco,[br]co jsme se naučili v předchozích videích. 0:01:02.790,0:01:04.960 A nějaké základy trigonometrie. 0:01:04.960,0:01:06.940 Pokud Vás slovo "trigonometrie" děsí, 0:01:06.940,0:01:09.570 měli byste si zopakovat první[br]dvě nebo tři videa 0:01:09.570,0:01:11.710 ze seznamu videí věnovaných[br]trigonometrii, 0:01:11.710,0:01:13.270 abyste mému postupu rozuměli. 0:01:13.270,0:01:18.830 Chci vypočítat obsah plochy[br]uvnitř kružnice, 0:01:18.830,0:01:21.080 ale vně trojúhelníka. 0:01:21.080,0:01:30.970 Chci zjistit celkový obsah[br]této, této a této malé plochy. 0:01:30.970,0:01:33.080 Zjevné je to, 0:01:33.080,0:01:36.670 že můžeme jednoduše[br]vypočítat obsah kruhu. 0:01:36.670,0:01:40.215 Obsah kruhu. 0:01:40.215,0:01:43.740 A ten vypočítáme jako[br]π krát r na druhou 0:01:43.740,0:01:48.840 Neboli π krát 2 na druhou,[br]což jsou 4π. 0:01:48.840,0:01:53.040 A od obsahu 4π[br]bychom mohli odečíst obsah trojúhelníku. 0:01:53.040,0:01:55.450 Teď tedy musíme tento obsah vypočítat. 0:01:55.450,0:02:03.920 Jaký je obsah tohoto trojúhelníka? 0:02:03.930,0:02:07.260 V jednom z minulých videí[br]jsem Vám ukázal Heronův vzorec, 0:02:07.260,0:02:10.720 který je založen na tom, že pokud[br]znáte všechny strany trojúhelníku, 0:02:10.720,0:02:12.070 můžete vypočítat jeho obsah. 0:02:12.070,0:02:14.180 Ale délky stran ještě neznáme. 0:02:14.180,0:02:16.560 Jakmile je budeme znát, budeme[br]schopni vypočítat obsah. 0:02:16.560,0:02:18.740 Použijeme Heronův vzorec už teď. 0:02:18.740,0:02:21.950 Takže, délky stran tohoto[br]rovnostranného trojúhelníka... 0:02:21.950,0:02:23.760 jsou stejné, čili 'a'. 0:02:23.760,0:02:31.450 Když aplikujeme Heronův vzorec,[br]musíme definovat naši proměnnou 's' 0:02:31.450,0:02:38.220 jako: s se rovná[br](a plus a plus a) lomeno 2 0:02:38.220,0:02:42.070 Což je to samé jako[br]'3a' lomeno 2. 0:02:42.070,0:02:46.380 A teď obsah trojúhelníka[br]vyjádříme pomocí 'a'. 0:02:46.380,0:02:53.570 Obsah bude roven[br]odmocnině z 's'. 0:02:53.570,0:02:59.310 Což je (3a lomeno 2)[br]krát (s minus a). 0:02:59.310,0:03:03.820 's' minus 'a' je [br](3a lomeno 2) minus 'a' 0:03:03.820,0:03:07.060 Neboli 2a lomeno 2 0:03:07.060,0:03:08.970 Chápete? 'a' je to samé[br]co '2a' lomeno 2. 0:03:08.970,0:03:11.350 Protože můžeme vykrátit dvojky[br]a dostaneme 'a'. 0:03:11.350,0:03:13.170 A tohle udělám třikrát. 0:03:13.170,0:03:16.000 Čili místo toho, abych všechny[br]strany roznásobil 0:03:16.000,0:03:18.640 Heronovým vzorcem, [br]můžu to zapsat 0:03:18.640,0:03:20.700 jako tento výraz na třetí. 0:03:20.700,0:03:22.000 Čemu se to bude rovnat? 0:03:22.000,0:03:31.050 Toto bude rovno odmocnině[br]z (3a lomeno 2) 0:03:31.050,0:03:34.070 A toto bude rovno 0:03:34.070,0:03:36.810 3a minus 2a.[br]Tedy 'a'. 0:03:36.810,0:03:42.010 Jinými slovy,[br]('a' lomeno 2) na třetí. 0:03:42.010,0:03:46.520 Toto bude rovno...[br]jen změním barvy. 0:03:46.520,0:03:54.470 Máme tu 3a krát (a na třetí),[br]což je 3a na čtvrtou 0:03:54.470,0:03:58.170 lomeno (2 krát 2 na třetí). 0:03:58.170,0:04:03.680 To je 2 na čtvrtou, což je 16. 0:04:03.680,0:04:07.100 2 krát (2 na třetí) je (2 na čtvrtou) 0:04:07.100,0:04:07.890 To je 16. 0:04:07.890,0:04:10.660 Teď, pokud odmocníme[br]čitatele a jmenovatele, 0:04:10.660,0:04:14.150 vyjde nám, že to bude rovno[br]odmocnině z (a na čtvrtou). 0:04:14.150,0:04:16.690 Což je a na druhou. 0:04:16.690,0:04:21.390 (a na druhou) krát... Zapíšeme to[br]jako odmocnina z 3, 0:04:21.390,0:04:24.860 lomeno odmocnina jmenovatele.[br]Což je 4. 0:04:24.860,0:04:30.130 Pokud tedy známe 'a',[br]pak pomocí Heronova vzorce 0:04:30.130,0:04:32.720 můžeme vypočítat i obsah[br]rovnostranného trojúhelníka. 0:04:32.720,0:04:35.080 Jak tedy zjistíme velikost 'a'? 0:04:35.080,0:04:37.770 Co ještě víme[br]o rovnostranných trojúhelnících? 0:04:37.770,0:04:42.690 Víme, že všechny jeho vnitřní[br]úhly jsou stejně velké. 0:04:42.690,0:04:45.720 A protože musí mít součtem 180°, 0:04:45.720,0:04:48.210 pak musí mít všechny velikost 60°. 0:04:48.210,0:04:51.890 Toto je 60°,[br]toto je 60° 0:04:51.890,0:04:54.090 a toto je taky 60°. 0:04:54.090,0:04:56.980 Schválně, jestli můžeme použít[br]něco z minulého videa, 0:04:56.980,0:05:01.720 ve kterém jsem mluvil[br]o vztahu mezi obvodovým 0:05:01.720,0:05:02.800 a středovým úhlem. 0:05:02.800,0:05:04.560 Toto je obvodový úhel. 0:05:04.560,0:05:09.620 Jeho vrchol leží na kružnici. 0:05:09.620,0:05:20.500 A vymezuje tento oblouk. 0:05:20.500,0:05:29.900 A tento středový úhel[br]vymezuje ten samý oblouk. 0:05:29.900,0:05:34.950 Tento středový úhel[br]vymezuje tento oblouk. 0:05:34.960,0:05:37.860 S ohledem na to, co jsme[br]viděli v minulém videu, 0:05:37.860,0:05:41.340 středový úhel, který vymezuje[br]stejný oblouk jako obvodový úhel, 0:05:41.340,0:05:43.390 bude mít oproti němu[br]dvojnásobnou velikost. 0:05:43.390,0:05:47.230 Takže tento úhel bude mít[br]velikost 120 stupňů. 0:05:47.230,0:05:48.860 Jen tu udělám šipku. 0:05:48.860,0:05:50.860 120 stupňů. 0:05:50.860,0:05:52.440 Je to dvojnásobek tohoto. 0:05:52.440,0:05:56.110 Chci rozpůlit tento úhel. 0:05:56.110,0:05:58.140 Čili v polovině úhlu 0:05:58.140,0:06:01.260 spustím takhle čáru. 0:06:01.260,0:06:03.310 Jakou velikost budou[br]mít tyto dva úhly? 0:06:03.310,0:06:04.440 Budou mít 60°. 0:06:04.440,0:06:05.760 Půlím tento úhel. 0:06:05.760,0:06:10.480 Toto je 60°[br]a toto je taky 60°. 0:06:10.480,0:06:14.450 Víme, že půlím tuto stranu. 0:06:14.450,0:06:17.080 A toto je rovnoramenný trojúhelník. 0:06:17.080,0:06:19.040 Toto je poloměr. 0:06:19.040,0:06:21.030 Poloměr 'r' o velikosti 2. 0:06:21.030,0:06:24.530 Toto je také poloměr 'r'[br]o velikosti 2. 0:06:24.530,0:06:26.090 Tento trojúhelník je symetrický. 0:06:26.090,0:06:28.540 Pokud tu spustím čáru, 0:06:28.540,0:06:33.100 tak tato strana bude rozpůlena. 0:06:33.100,0:06:36.280 Délka této strany[br]bude rozdělena 2. 0:06:36.280,0:06:37.240 Nakreslím to. 0:06:37.240,0:06:39.890 Pokud vezmeme rovnoramenný trojúhelník, 0:06:39.890,0:06:44.850 jakýkoliv rovnoramenný trojúhelník, kdy se[br]délky těchto dvou stran rovnají... 0:06:44.850,0:06:47.300 V našem případě to jsou poloměry. 0:06:47.300,0:06:49.530 A velikost těchto dvou úhlů bude stejná. 0:06:49.530,0:06:51.790 Pokud opět spustím z vrcholu[br]úhlu čáru, 0:06:51.790,0:06:55.260 rozpůlil bych ten úhel. 0:06:55.260,0:06:56.880 Čili tyto vzdálenosti budou stejné. 0:06:56.880,0:06:59.120 V našem případě, pokud je[br]tato celá vzdálenost 'a', 0:06:59.120,0:07:01.140 pak toto bude (a lomeno 2). 0:07:01.140,0:07:04.420 Schválně, jestli tohle můžeme použít,[br]tohle a trošku trigonometrie, 0:07:04.420,0:07:08.360 abychom objevili vztah[br]mezi 'a' a 'r'. 0:07:08.360,0:07:12.050 Protože pokud můžeme 'a'[br]z rovnice vyjádřit za použití 'r', 0:07:12.050,0:07:15.700 můžeme pak 'a' vložit sem[br]a zjistíme obsah našeho trojúhelníku. 0:07:15.700,0:07:17.600 A pak budeme moct[br]odečíst tento obsah 0:07:17.600,0:07:20.070 od obsahu kruhu[br]a budeme hotovi. 0:07:20.070,0:07:22.050 A budeme mít vyřešený tento příklad. 0:07:22.050,0:07:24.610 Tak schválně, jestli to půjde. 0:07:24.610,0:07:29.340 Máme tady úhel[br]o velikosti 60°. 0:07:29.340,0:07:32.050 Tedy polovinu tohoto[br]středového úhlu. 0:07:32.050,0:07:34.600 Pokud má tento úhel velikost 60°, 0:07:34.600,0:07:37.380 pak má jeho protější strana[br]velikost a lomeno 2. 0:07:37.380,0:07:43.480 Takže jeho protější strana[br]má velikost a lomeno 2. 0:07:43.480,0:07:45.050 Známe také přeponu. 0:07:45.050,0:07:46.870 Je to pravoúhlý trojúhelník. 0:07:46.870,0:07:50.870 Spouštíte tu vlastně kolmici,[br]když půlíte úhel. 0:07:50.870,0:07:52.640 Toto je pravoúhlý trojúhelník. 0:07:52.640,0:07:54.380 Takže tu můžeme[br]použít trigonometrii. 0:07:54.380,0:08:02.550 Naše odvěsna má velikost a lomeno 2,[br]přepona má velikost 'r'- 0:08:02.550,0:08:05.020 Toto je přepona našeho[br]pravoúhlého trojúhelníka. 0:08:05.020,0:08:06.360 Její velikost je 2. 0:08:06.360,0:08:12.440 Takže, jaký poměr[br]je poměr protilehlé strany 0:08:12.440,0:08:14.920 ku přeponě? 0:08:14.920,0:08:18.910 Někteří už tu slovní hříčku znáte, 0:08:18.910,0:08:22.030 ale[br]SOH CAH TOA. 0:08:22.030,0:08:27.070 SOH - Sinus úhlu je roven[br]protější straně (Opposite) lomeno 0:08:27.070,0:08:28.620 přeponě (Hypotenuse). 0:08:28.620,0:08:29.580 Dochází mi místo, 0:08:29.580,0:08:31.270 tak trochu sjedu dolů. 0:08:31.270,0:08:38.700 Sinus úhlu o velikosti[br]60 stupňů bude roven 0:08:38.700,0:08:43.780 velikost protější strany,[br]což je a lomeno 2, 0:08:43.780,0:08:45.800 lomeno přepona, což je náš poloměr, 0:08:45.800,0:08:48.140 tedy lomeno 2. 0:08:48.140,0:08:54.510 Což se rovná (a lomeno 2) lomeno 2.[br]Což je (a lomeno 4). 0:08:54.510,0:08:56.880 Kolik je sinus 60 stupňů? 0:08:56.880,0:08:59.720 A pokud slovo "sinus" neznáte, 0:08:59.720,0:09:04.150 koukněte se na prvních pár[br]videí, která se týkají trigonometrie. 0:09:04.150,0:09:06.240 Pak už by to nemělo být tak cizí. 0:09:06.240,0:09:08.310 Sinus 60 stupňů byste si měli pamatovat 0:09:08.310,0:09:10.680 z trojúhelníků[br]s úhly 30-60-90. 0:09:10.680,0:09:13.210 Takže, jeden tu nakreslím. 0:09:13.210,0:09:15.705 Toto je trojúhelník 30-60-90. 0:09:15.705,0:09:21.540 Pokud je toto úhel o velikosti 60 stupňů,[br]pak tento má velikost 30° a tento 90°. 0:09:21.540,0:09:26.660 A taky si možná pamatujete,[br]že tato strana má velikost 1, 0:09:26.660,0:09:31.410 tato 1/2 a toto bude[br]((odmocnina ze 3) lomeno 2), 0:09:31.410,0:09:35.300 Čili sinus 60 stupňů je[br]protilehlá ku přeponě. 0:09:35.300,0:09:37.770 Tedy ((odmocnina ze 3) lomeno 2),[br]to celé lomeno 1. 0:09:37.770,0:09:40.550 Sinus 60 stupňů... 0:09:40.550,0:09:42.840 Pokud nemáte kalkulačku,[br]tak můžete použít 0:09:42.840,0:09:45.050 tento výraz jako číslo.[br]Odmocnina ze 3 lomeno 2. 0:09:45.050,0:09:48.890 Takže toto je [br]odmocnina ze 3 lomeno 2. 0:09:48.890,0:09:51.280 Teď toto můžeme[br]vyřešit pro 'a'. 0:09:51.280,0:09:56.920 (Odmocnina ze 3) lomeno 2[br]je rovna (a lomeno 4). 0:09:56.920,0:09:59.610 Vynásobíme obě strany čtyřmi. 0:09:59.610,0:10:01.640 Takže se čtyřky vykrátí. 0:10:01.640,0:10:03.445 Násobíme 4 zde. 0:10:03.445,0:10:04.480 Toto bude 2. 0:10:04.480,0:10:05.660 Toto bude 1. 0:10:05.660,0:10:09.250 A dostanete, že se 'a'[br]rovná 2 krát (odmocnina ze 3). 0:10:09.250,0:10:11.000 Tak, jsme skoro v cílové rovince. 0:10:11.000,0:10:15.420 Zrovna jsme vypočítali délku[br]těchto stran. 0:10:15.420,0:10:18.190 Použili jsme Heronův vzorec[br]pro výpočet obsahu trojúhelníku 0:10:18.190,0:10:19.450 pomocí těchto délek stran. 0:10:19.450,0:10:22.110 Takže nyní pouze dosadíme[br]tyto hodnoty za 'a' 0:10:22.110,0:10:24.670 a dostaneme skutečný obsah. 0:10:24.670,0:10:30.380 Takže, obsah našeho trojúhelníka[br]je 'a' na druhou. 0:10:30.380,0:10:31.690 Co je to 'a' na druhou? 0:10:31.690,0:10:37.410 Jsou to (2 odmocniny ze 3) na druhou 0:10:37.410,0:10:42.710 krát (odmocnina ze 3) lomeno 4. 0:10:42.710,0:10:45.830 (a na druhou) krát (odmocnina ze 3),[br]to celé lomeno 4, už to máme. 0:10:45.830,0:10:53.950 Toto bude rovno 4 krát 3 krát[br](odmocnina ze 3), to celé lomeno 4. 0:10:53.950,0:10:55.350 Takže se čtyřky vykrátí. 0:10:55.350,0:11:00.770 Obsah našeho trojúhelníka tedy je...[br]Máme tu 3 krát odmocnina ze 3. 0:11:00.770,0:11:03.160 Takže náš obsah je[br]3 krát (odmocnina ze 3). 0:11:03.160,0:11:06.480 To je obsah celého trojúhelníku. 0:11:06.480,0:11:08.810 A teď zpátky k zadání. 0:11:08.810,0:11:12.970 Obsah této oranžové části[br]vně trojúhelníka, 0:11:12.970,0:11:14.530 ale zároveň uvnitř kružnice. 0:11:14.530,0:11:18.460 Inu, obsah našeho kruhu je 4π. 0:11:18.460,0:11:23.340 A od toho odečteme[br]obsah trojúhelníku, 0:11:23.340,0:11:25.170 3 odmocniny ze 3. 0:11:25.170,0:11:27.390 A máme hotovo. 0:11:27.390,0:11:29.055 Toto je odpověď na naši otázku. 0:11:29.055,0:11:35.265 Toto je obsah této oranžové plochy. 0:11:35.270,0:11:37.800 Snad z toho máte radost.