WEBVTT

00:00:00.480 --> 00:00:03.140
В това видео искам да използвам
някои от резултатите от

00:00:03.140 --> 00:00:05.960
предходните няколко видео урока, за да направя
няколко много подредени неща.

00:00:05.960 --> 00:00:10.000
Да кажем, че това е окръжност 
и имаме вписан

00:00:10.000 --> 00:00:12.130
равностранен триъгълник в нея.

00:00:12.130 --> 00:00:17.340
Всички върхове на този триъгълник лежат на

00:00:17.340 --> 00:00:18.825
окръжността.

00:00:18.825 --> 00:00:24.170
Ще опитам да направя равностранен триъгълник.

00:00:24.170 --> 00:00:26.960
Мисля, че това приблизително е най- доброто,
което мога да направя.

00:00:26.960 --> 00:00:28.620
И като казвам равностранен, това означава, 
че всички тези

00:00:28.620 --> 00:00:29.910
страни са с еднаква дължина.

00:00:29.910 --> 00:00:33.060
Ако това е дължината на страна 'а', 
тогава и това е с дължина 'а',

00:00:33.060 --> 00:00:36.610
и това също е с дължина 'а'.

00:00:36.610 --> 00:00:44.010
Нека знаем, че радиусът 
на окръжността е 2.

00:00:44.010 --> 00:00:45.925
Просто избирам число,
за да направя решението.

00:00:45.925 --> 00:00:49.600
Да кажем, че радиусът на 
тази окръжност е 2.

00:00:49.600 --> 00:00:51.700
От центъра до всяка точка

00:00:51.700 --> 00:00:55.910
това разстояние, радиусът, 
е равен на 2.

00:00:55.910 --> 00:01:01.780
Сега, това което ще искам, е да използваш
някои от резултатите от

00:01:01.780 --> 00:01:04.020
последните няколко видео уроци и малко основна

00:01:04.020 --> 00:01:06.940
тригонометрия...
ако думата "тригонометрия" те плаши,

00:01:06.940 --> 00:01:09.570
трябват ти само първите два 
или три видео урока

00:01:09.570 --> 00:01:11.710
в списъка тригонометрия,
за да можеш да разбереш

00:01:11.710 --> 00:01:12.840
какво правя тук.

00:01:12.840 --> 00:01:18.830
Това, което искам да направя тук, е да намеря 
лицата на фигурите вътре

00:01:18.830 --> 00:01:21.080
в окръжността и извън триъгълника.

00:01:21.080 --> 00:01:25.690
Искам да изчисля тази малка площ, тази

00:01:25.690 --> 00:01:30.940
площ и тези площи заедно.

00:01:30.940 --> 00:01:33.490
Очевидният начин да го направя,
е да кажа, че мога

00:01:33.490 --> 00:01:36.670
да изчисля лицето на кръга много лесно.

00:01:36.670 --> 00:01:40.215
Лицето на кръга.

00:01:40.215 --> 00:01:43.740
И това ще е равно на πr^2.

00:01:43.740 --> 00:01:48.840
Или π по 2 на квадрат, което
е равно на 4π.

00:01:48.840 --> 00:01:53.040
И мога да извадя от 4π лицето 
на триъгълника.

00:01:53.040 --> 00:01:55.450
Значи трябва да намеря лицето 
на триъгълника.

00:01:55.450 --> 00:02:03.900
Какво е лицето на триъгълника?

00:02:03.930 --> 00:02:07.260
В няколко предходни видео урока 
ти показах Хероновата формула,

00:02:07.260 --> 00:02:10.720
където ако знаеш дължината на
страните на триъгълник,

00:02:10.720 --> 00:02:12.070
можеш да намериш лицето.

00:02:12.070 --> 00:02:14.180
Но ние все още не знаем
дължините на страните.

00:02:14.180 --> 00:02:16.560
Веднъж намерим ли ги,
ще изчислим и лицето.

00:02:16.560 --> 00:02:18.740
Нека да приложим Хероновата формула
без да я знаем.

00:02:18.740 --> 00:02:21.950
Да кажем, че дължините на този
равностранен триъгълник...

00:02:21.950 --> 00:02:23.760
дължините на страните са 'а'.

00:02:23.760 --> 00:02:31.450
Прилагайки Хероновата формула, ние първо
дефинираме нашата променлива

00:02:31.450 --> 00:02:38.220
s да бъде равна на (а + а + а)/2.

00:02:38.220 --> 00:02:42.070
Или това е същото като 3а/2.

00:02:42.070 --> 00:02:46.380
И след това лицето на този триъгълник,
изразено чрез 'a'...

00:02:46.380 --> 00:02:52.910
Лицето ще е равно на 
корен квадратен от s,

00:02:52.910 --> 00:02:59.310
което е 3а/2, по (s – а).

00:02:59.310 --> 00:03:03.820
Това е същото като 3а/2 – а.

00:03:03.820 --> 00:03:07.060
Или мога просто да запиша 2а/2.

00:03:07.060 --> 00:03:08.970
Правилно? а е същото като 2а/2.

00:03:08.970 --> 00:03:10.740
Можеш да съкратиш тези
и да получиш а.

00:03:10.740 --> 00:03:13.170
И после ще го направя три пъти.

00:03:13.170 --> 00:03:16.000
И вместо просто да умножа това 
три пъти за всяка от страните,

00:03:16.000 --> 00:03:18.640
по Хероновата формула мога
просто да кажа

00:03:18.640 --> 00:03:20.700
на трета степен.

00:03:20.700 --> 00:03:22.000
На колко ще е равно това?

00:03:22.000 --> 00:03:31.050
Това ще е равно на 
корен квадратен от 3а/2.

00:03:31.050 --> 00:03:34.070
И после това тук ще е равно

00:03:34.070 --> 00:03:36.810
на 3а – 2а, което е 'а'.

00:03:36.810 --> 00:03:42.010
Така а/2 на трета степен.

00:03:42.010 --> 00:03:44.860
И това ще е равно на... произволно ще

00:03:44.860 --> 00:03:46.490
сменя цветове.

00:03:46.490 --> 00:03:53.560
Имаме 3а по а^3, което е 3а^4,

00:03:53.560 --> 00:03:58.170
върху 2 по 2^3.

00:03:58.170 --> 00:04:03.400
Е, това е 2^4, или 16.

00:04:03.400 --> 00:04:03.680
Правилно?

00:04:03.680 --> 00:04:07.100
2 по 2^3 е 2^4.

00:04:07.100 --> 00:04:07.890
Това е 16.

00:04:07.890 --> 00:04:10.660
И ако вземем корен квадратен
от числителя и знаменателя,

00:04:10.660 --> 00:04:14.150
това ще е равно на корен квадратен от

00:04:14.150 --> 00:04:16.690
а^4, което е а^2.

00:04:16.690 --> 00:04:21.390
а^2 по... ще напиша само 
корен квадратен от 3,

00:04:21.390 --> 00:04:24.860
върху корен квадратен от
числителя, което е точно 4.

00:04:24.860 --> 00:04:30.130
Така ако знаем а, използвайки 
Хероновата формула намираме лицето

00:04:30.130 --> 00:04:32.720
на този равностранен триъгълник.

00:04:32.720 --> 00:04:35.080
Как можем да намерим 'а'?

00:04:35.080 --> 00:04:37.770
Какво друго знаем за 
равностранните триъгълници?

00:04:37.770 --> 00:04:42.690
Знаем, че всички тези ъгли са равни.

00:04:42.690 --> 00:04:45.720
И след като трябва сборът им да е 180 градуса, те

00:04:45.720 --> 00:04:48.210
трябва да са по 60 градуса.

00:04:48.210 --> 00:04:51.890
Това е 60 градуса, това е 60 градуса и

00:04:51.890 --> 00:04:54.090
това е 60 градуса.

00:04:54.090 --> 00:04:56.980
Сега да видим дали можем да използваме
последното видео, където говорих за

00:04:56.980 --> 00:05:01.720
връзката между вписан ъгъл

00:05:01.720 --> 00:05:02.800
и централен ъгъл.

00:05:02.800 --> 00:05:04.560
Това е вписан ъгъл тук.

00:05:04.560 --> 00:05:09.620
Неговият връх лежи на окръжността.

00:05:09.620 --> 00:05:20.470
Така отсича дъгата тук.

00:05:20.500 --> 00:05:25.000
А централният ъгъл, който отсича същата дъга

00:05:25.000 --> 00:05:29.850
е този тук.

00:05:29.880 --> 00:05:33.740
Централният ъгъл, отсичащ същата дъга,

00:05:33.740 --> 00:05:34.960
е този тук.

00:05:34.960 --> 00:05:39.170
Въз основа на това, което видяхме в последното видео,
централният ъгъл,

00:05:39.170 --> 00:05:41.980
който отсича същата дъга, е два пъти

00:05:41.980 --> 00:05:43.040
вписания ъгъл.

00:05:43.040 --> 00:05:47.230
Така този ъгъл тук ще е 120 градуса.

00:05:47.230 --> 00:05:48.860
Нека да сложа стрелка там.

00:05:48.860 --> 00:05:50.860
120 градуса.

00:05:50.860 --> 00:05:52.440
Той е два пъти този.

00:05:52.440 --> 00:05:56.110
Сега ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

00:05:56.110 --> 00:05:58.140
разделям този ъгъл и искам само да

00:05:58.140 --> 00:06:01.260
спусна надолу така.

00:06:01.260 --> 00:06:03.310
Какви ще са тези два ъгъла?

00:06:03.310 --> 00:06:04.440
Е, те са 60 градуса.

00:06:04.440 --> 00:06:05.760
Разделям на две този ъгъл.

00:06:05.760 --> 00:06:10.480
Това е 60 градуса и това е 60 градуса точно тук.

00:06:10.480 --> 00:06:14.450
И знаем, че разделям тази страна на две.

00:06:14.450 --> 00:06:17.080
Това е равнобедрен триъгълник.

00:06:17.080 --> 00:06:19.040
Това е радиус тук.

00:06:19.040 --> 00:06:21.030
Радиусът r е равен на 2.

00:06:21.030 --> 00:06:24.530
Това тук е радиус от r = 2.

00:06:24.530 --> 00:06:26.090
Този целият триъгълник е симетричен.

00:06:26.090 --> 00:06:28.540
Ако отида право надолу към средата, 
тази дължина

00:06:28.540 --> 00:06:33.100
тук е тази страна разделена на две.

00:06:33.100 --> 00:06:36.280
Тази страна там е тази страна,
разделена на две.

00:06:36.280 --> 00:06:37.240
Нека начертая това тук.

00:06:37.240 --> 00:06:39.890
Просто ако взема равнобедрен триъгълник,
всеки равнобедрен триъгълник,

00:06:39.890 --> 00:06:44.850
на който тази страна е равна на тази страна.

00:06:44.850 --> 00:06:47.300
Тези са нашите радиуси в този пример.

00:06:47.300 --> 00:06:49.530
А този ъгъл е равен на този ъгъл.

00:06:49.530 --> 00:06:51.790
Ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

00:06:51.790 --> 00:06:55.260
ще разделя тази срещуположна страна на две.

00:06:55.260 --> 00:06:56.880
Така тези две дължини ще са равни.

00:06:56.880 --> 00:06:59.120
В този случай ако цялото е а, всяка от тези

00:06:59.120 --> 00:07:01.140
ще е а/2.

00:07:01.140 --> 00:07:04.420
Сега да видим как можем
да използваме това и малко от

00:07:04.420 --> 00:07:08.620
тригонометрията, за да открием 
взаимовръзката между а и r.

00:07:08.620 --> 00:07:12.050
Защото ако можем да намерим 'а',
използвайки r, тогава можем

00:07:12.050 --> 00:07:14.640
да заместим тази стойност на 'а'
тук и ще получим лицето

00:07:14.640 --> 00:07:15.690
на нашия триъгълник.

00:07:15.690 --> 00:07:17.600
И после можем да извадим от лицето на

00:07:17.600 --> 00:07:20.070
кръга и приключваме.

00:07:20.070 --> 00:07:22.050
Ще сме решили задачата.

00:07:22.050 --> 00:07:24.610
Да видим можем ли да го направим.

00:07:24.610 --> 00:07:29.340
Имаме ъгъл 60 градуса тук.

00:07:29.340 --> 00:07:32.050
Половината от този централн ъгъл тук.

00:07:32.050 --> 00:07:35.890
Ако този ъгъл е 60 градуса, имаме а/2, което е

00:07:35.890 --> 00:07:37.380
срещулежаща на този ъгъл.

00:07:37.380 --> 00:07:43.480
Така имаме срещулежаща, която е равна на а/2.

00:07:43.480 --> 00:07:44.860
Също имаме хипотенузата.

00:07:44.860 --> 00:07:45.040
Правилно?

00:07:45.040 --> 00:07:46.870
Това е правоъгълен триъгълник тук.

00:07:46.870 --> 00:07:49.830
Минаваш право надолу и разделяш

00:07:49.830 --> 00:07:50.840
срещуположната страна.

00:07:50.840 --> 00:07:52.640
Това е правоъгълен триъгълник.

00:07:52.640 --> 00:07:54.000
Може да приложим малко тригонометрия.

00:07:54.000 --> 00:08:02.550
Нашата срещулежаща е а/2, 
хипотенузата е равна на r.

00:08:02.550 --> 00:08:05.020
Това тук е хипотенузата на нашия
правоъгълен триъгълник.

00:08:05.020 --> 00:08:06.360
Следователно това е равно на 2.

00:08:06.360 --> 00:08:12.440
Какво тригонометрично отношение е 
отношението на срещулежащата

00:08:12.440 --> 00:08:14.920
страна на ъгъла към хипотенузата?

00:08:14.920 --> 00:08:18.910
Може би вече се измори от това, че 
постоянно го правя,

00:08:18.910 --> 00:08:22.030
но СинусКосинусТангенс...

00:08:22.030 --> 00:08:27.070
синусът на ъгъла е равен на 
срещулежащата

00:08:27.070 --> 00:08:28.620
върху хипутенузата.

00:08:28.620 --> 00:08:29.580
Нека да превъртя малко надолу.

00:08:29.580 --> 00:08:31.270
Свършва ми мястото.

00:08:31.270 --> 00:08:38.700
Синусът на ъгъла тук, синусът на 60 градуса, е

00:08:38.700 --> 00:08:42.070
равен на срещулежащата страна, която е

00:08:42.070 --> 00:08:45.800
равна на а/2, върху хипотенузата, което е

00:08:45.800 --> 00:08:48.140
нашият радиус, делено на 2.

00:08:48.140 --> 00:08:54.510
Което е равно на а/2 делено на 2 е а/4.

00:08:54.510 --> 00:08:56.880
А колко е синус от 60 градуса?

00:08:56.880 --> 00:08:59.720
И ако думата "синус" ти изглежда напълно непозната,

00:08:59.720 --> 00:09:04.150
гледай първите няколко видео урока
от раздела по тригонометрия,

00:09:04.150 --> 00:09:06.240
не е твърде страшна.

00:09:06.240 --> 00:09:08.310
Синус от 60 градуса може да си припомниш от

00:09:08.310 --> 00:09:10.680
триъгълниците с ъгли 30-60-90.

00:09:10.680 --> 00:09:13.210
Нека начертая един тук.

00:09:13.210 --> 00:09:15.705
Това е триъгълник 30-60-90.

00:09:15.705 --> 00:09:21.540
Ако това са 60 градуса, това са 
30 градуса, това са 90.

00:09:21.540 --> 00:09:26.660
Може да си спомняш, че 
това е с дължина 1, това е

00:09:26.660 --> 00:09:29.520
с дължина 1/2, а това е с дължина от

00:09:29.520 --> 00:09:31.370
корен квадратен от 3/2.

00:09:31.370 --> 00:09:35.300
Синусът от 60 градуса е 
срещулежащата страна върху хипотенузата.

00:09:35.300 --> 00:09:37.770
Корен квадратен от 3/2 върху 1.

00:09:37.770 --> 00:09:40.940
Синус от 60 градуса.

00:09:40.940 --> 00:09:42.840
Ако нямаш калкулатор, можеш 
просто да използваш това...

00:09:42.840 --> 00:09:44.930
е корен квадратен от 3 върху 2.

00:09:44.930 --> 00:09:48.890
Това тук е корен квадратен от 3 върху 2.

00:09:48.890 --> 00:09:51.280
Сега можем да намерим 'а'.

00:09:51.280 --> 00:09:56.920
Корен квадратен от 3 върху 2 е равно на а/4.

00:09:56.920 --> 00:09:59.610
Да умножим двете страни по 4.

00:09:59.610 --> 00:10:01.640
Така тези 4 се съкращават.

00:10:01.640 --> 00:10:03.445
Умножаваш по 4 тук.

00:10:03.445 --> 00:10:04.480
Тук става 2.

00:10:04.480 --> 00:10:05.660
Това става 1.

00:10:05.660 --> 00:10:09.250
Получаваш а = 2 по квадратен корен от 3.

00:10:09.250 --> 00:10:11.000
Почти на финала сме.

00:10:11.000 --> 00:10:15.420
Току що намерихме дължините
на всички страни.

00:10:15.420 --> 00:10:17.460
Използвахме Хероновата формула,
за да изчислим лицето на

00:10:17.460 --> 00:10:19.080
триъгълника при тези дължини.

00:10:19.080 --> 00:10:22.110
Просто вадим тази стойност от 'а' там,

00:10:22.110 --> 00:10:24.670
за да получим нашето лице.

00:10:24.670 --> 00:10:30.380
Лицето на нашия триъгълник 
е равно на а^2.

00:10:30.380 --> 00:10:31.690
Колко е а^2?

00:10:31.690 --> 00:10:37.780
То е 2 по корен квадратен от 3, цялото на квадрат,

00:10:37.780 --> 00:10:42.710
по корен квадратен от 3 върху 4.

00:10:42.710 --> 00:10:45.470
Току що решихме а^2 по корен квадратен от 3/4.

00:10:45.470 --> 00:10:51.950
Това ще е равно на 4 по 3 по

00:10:51.950 --> 00:10:53.930
корен квадратен от 3, върху 4.

00:10:53.930 --> 00:10:55.350
Тези четворки се съкращават.

00:10:55.350 --> 00:10:58.360
Лицето на нашия триъгълник, 
което получихме, е

00:10:58.360 --> 00:11:00.770
3 по корен квадратен от 3.

00:11:00.770 --> 00:11:03.160
Лицето тук е 3 корен квадратен от 3.

00:11:03.160 --> 00:11:06.480
Това е лицето на целия този триъгълник.

00:11:06.480 --> 00:11:08.810
Сега за да се върнем на първоначалния въпрос.

00:11:08.810 --> 00:11:12.970
Лицето на тази оранжева зона 
извън триъгълника

00:11:12.970 --> 00:11:14.530
и вътре в кръга.

00:11:14.530 --> 00:11:18.460
Лицето на нашия кръг е 4π.

00:11:18.460 --> 00:11:23.340
От това изваждаме лицето на триъгълника,

00:11:23.340 --> 00:11:25.170
3 корен квадратен от 3.

00:11:25.170 --> 00:11:27.390
И приключихме.

00:11:27.390 --> 00:11:28.670
Това е нашият отговор.

00:11:28.670 --> 00:11:35.270
Това е лицето на тази оранжева част тук.

00:11:35.270 --> 00:11:37.800
Както и да е, надявам се това 
да ти се стори забавно.