1
00:00:00,480 --> 00:00:03,140
В това видео искам да използвам
някои от резултатите от

2
00:00:03,140 --> 00:00:05,960
предходните няколко видео урока, за да направя
няколко много подредени неща.

3
00:00:05,960 --> 00:00:10,000
Да кажем, че това е окръжност 
и имаме вписан

4
00:00:10,000 --> 00:00:12,130
равностранен триъгълник в нея.

5
00:00:12,130 --> 00:00:17,340
Всички върхове на този триъгълник лежат на

6
00:00:17,340 --> 00:00:18,825
окръжността.

7
00:00:18,825 --> 00:00:24,170
Ще опитам да направя равностранен триъгълник.

8
00:00:24,170 --> 00:00:26,960
Мисля, че това приблизително е най- доброто,
което мога да направя.

9
00:00:26,960 --> 00:00:28,620
И като казвам равностранен, това означава, 
че всички тези

10
00:00:28,620 --> 00:00:29,910
страни са с еднаква дължина.

11
00:00:29,910 --> 00:00:33,060
Ако това е дължината на страна 'а', 
тогава и това е с дължина 'а',

12
00:00:33,060 --> 00:00:36,610
и това също е с дължина 'а'.

13
00:00:36,610 --> 00:00:44,010
Нека знаем, че радиусът 
на окръжността е 2.

14
00:00:44,010 --> 00:00:45,925
Просто избирам число,
за да направя решението.

15
00:00:45,925 --> 00:00:49,600
Да кажем, че радиусът на 
тази окръжност е 2.

16
00:00:49,600 --> 00:00:51,700
От центъра до всяка точка

17
00:00:51,700 --> 00:00:55,910
това разстояние, радиусът, 
е равен на 2.

18
00:00:55,910 --> 00:01:01,780
Сега, това което ще искам, е да използваш
някои от резултатите от

19
00:01:01,780 --> 00:01:04,020
последните няколко видео уроци и малко основна

20
00:01:04,020 --> 00:01:06,940
тригонометрия...
ако думата "тригонометрия" те плаши,

21
00:01:06,940 --> 00:01:09,570
трябват ти само първите два 
или три видео урока

22
00:01:09,570 --> 00:01:11,710
в списъка тригонометрия,
за да можеш да разбереш

23
00:01:11,710 --> 00:01:12,840
какво правя тук.

24
00:01:12,840 --> 00:01:18,830
Това, което искам да направя тук, е да намеря 
лицата на фигурите вътре

25
00:01:18,830 --> 00:01:21,080
в окръжността и извън триъгълника.

26
00:01:21,080 --> 00:01:25,690
Искам да изчисля тази малка площ, тази

27
00:01:25,690 --> 00:01:30,940
площ и тези площи заедно.

28
00:01:30,940 --> 00:01:33,490
Очевидният начин да го направя,
е да кажа, че мога

29
00:01:33,490 --> 00:01:36,670
да изчисля лицето на кръга много лесно.

30
00:01:36,670 --> 00:01:40,215
Лицето на кръга.

31
00:01:40,215 --> 00:01:43,740
И това ще е равно на πr^2.

32
00:01:43,740 --> 00:01:48,840
Или π по 2 на квадрат, което
е равно на 4π.

33
00:01:48,840 --> 00:01:53,040
И мога да извадя от 4π лицето 
на триъгълника.

34
00:01:53,040 --> 00:01:55,450
Значи трябва да намеря лицето 
на триъгълника.

35
00:01:55,450 --> 00:02:03,900
Какво е лицето на триъгълника?

36
00:02:03,930 --> 00:02:07,260
В няколко предходни видео урока 
ти показах Хероновата формула,

37
00:02:07,260 --> 00:02:10,720
където ако знаеш дължината на
страните на триъгълник,

38
00:02:10,720 --> 00:02:12,070
можеш да намериш лицето.

39
00:02:12,070 --> 00:02:14,180
Но ние все още не знаем
дължините на страните.

40
00:02:14,180 --> 00:02:16,560
Веднъж намерим ли ги,
ще изчислим и лицето.

41
00:02:16,560 --> 00:02:18,740
Нека да приложим Хероновата формула
без да я знаем.

42
00:02:18,740 --> 00:02:21,950
Да кажем, че дължините на този
равностранен триъгълник...

43
00:02:21,950 --> 00:02:23,760
дължините на страните са 'а'.

44
00:02:23,760 --> 00:02:31,450
Прилагайки Хероновата формула, ние първо
дефинираме нашата променлива

45
00:02:31,450 --> 00:02:38,220
s да бъде равна на (а + а + а)/2.

46
00:02:38,220 --> 00:02:42,070
Или това е същото като 3а/2.

47
00:02:42,070 --> 00:02:46,380
И след това лицето на този триъгълник,
изразено чрез 'a'...

48
00:02:46,380 --> 00:02:52,910
Лицето ще е равно на 
корен квадратен от s,

49
00:02:52,910 --> 00:02:59,310
което е 3а/2, по (s – а).

50
00:02:59,310 --> 00:03:03,820
Това е същото като 3а/2 – а.

51
00:03:03,820 --> 00:03:07,060
Или мога просто да запиша 2а/2.

52
00:03:07,060 --> 00:03:08,970
Правилно? а е същото като 2а/2.

53
00:03:08,970 --> 00:03:10,740
Можеш да съкратиш тези
и да получиш а.

54
00:03:10,740 --> 00:03:13,170
И после ще го направя три пъти.

55
00:03:13,170 --> 00:03:16,000
И вместо просто да умножа това 
три пъти за всяка от страните,

56
00:03:16,000 --> 00:03:18,640
по Хероновата формула мога
просто да кажа

57
00:03:18,640 --> 00:03:20,700
на трета степен.

58
00:03:20,700 --> 00:03:22,000
На колко ще е равно това?

59
00:03:22,000 --> 00:03:31,050
Това ще е равно на 
корен квадратен от 3а/2.

60
00:03:31,050 --> 00:03:34,070
И после това тук ще е равно

61
00:03:34,070 --> 00:03:36,810
на 3а – 2а, което е 'а'.

62
00:03:36,810 --> 00:03:42,010
Така а/2 на трета степен.

63
00:03:42,010 --> 00:03:44,860
И това ще е равно на... произволно ще

64
00:03:44,860 --> 00:03:46,490
сменя цветове.

65
00:03:46,490 --> 00:03:53,560
Имаме 3а по а^3, което е 3а^4,

66
00:03:53,560 --> 00:03:58,170
върху 2 по 2^3.

67
00:03:58,170 --> 00:04:03,400
Е, това е 2^4, или 16.

68
00:04:03,400 --> 00:04:03,680
Правилно?

69
00:04:03,680 --> 00:04:07,100
2 по 2^3 е 2^4.

70
00:04:07,100 --> 00:04:07,890
Това е 16.

71
00:04:07,890 --> 00:04:10,660
И ако вземем корен квадратен
от числителя и знаменателя,

72
00:04:10,660 --> 00:04:14,150
това ще е равно на корен квадратен от

73
00:04:14,150 --> 00:04:16,690
а^4, което е а^2.

74
00:04:16,690 --> 00:04:21,390
а^2 по... ще напиша само 
корен квадратен от 3,

75
00:04:21,390 --> 00:04:24,860
върху корен квадратен от
числителя, което е точно 4.

76
00:04:24,860 --> 00:04:30,130
Така ако знаем а, използвайки 
Хероновата формула намираме лицето

77
00:04:30,130 --> 00:04:32,720
на този равностранен триъгълник.

78
00:04:32,720 --> 00:04:35,080
Как можем да намерим 'а'?

79
00:04:35,080 --> 00:04:37,770
Какво друго знаем за 
равностранните триъгълници?

80
00:04:37,770 --> 00:04:42,690
Знаем, че всички тези ъгли са равни.

81
00:04:42,690 --> 00:04:45,720
И след като трябва сборът им да е 180 градуса, те

82
00:04:45,720 --> 00:04:48,210
трябва да са по 60 градуса.

83
00:04:48,210 --> 00:04:51,890
Това е 60 градуса, това е 60 градуса и

84
00:04:51,890 --> 00:04:54,090
това е 60 градуса.

85
00:04:54,090 --> 00:04:56,980
Сега да видим дали можем да използваме
последното видео, където говорих за

86
00:04:56,980 --> 00:05:01,720
връзката между вписан ъгъл

87
00:05:01,720 --> 00:05:02,800
и централен ъгъл.

88
00:05:02,800 --> 00:05:04,560
Това е вписан ъгъл тук.

89
00:05:04,560 --> 00:05:09,620
Неговият връх лежи на окръжността.

90
00:05:09,620 --> 00:05:20,470
Така отсича дъгата тук.

91
00:05:20,500 --> 00:05:25,000
А централният ъгъл, който отсича същата дъга

92
00:05:25,000 --> 00:05:29,850
е този тук.

93
00:05:29,880 --> 00:05:33,740
Централният ъгъл, отсичащ същата дъга,

94
00:05:33,740 --> 00:05:34,960
е този тук.

95
00:05:34,960 --> 00:05:39,170
Въз основа на това, което видяхме в последното видео,
централният ъгъл,

96
00:05:39,170 --> 00:05:41,980
който отсича същата дъга, е два пъти

97
00:05:41,980 --> 00:05:43,040
вписания ъгъл.

98
00:05:43,040 --> 00:05:47,230
Така този ъгъл тук ще е 120 градуса.

99
00:05:47,230 --> 00:05:48,860
Нека да сложа стрелка там.

100
00:05:48,860 --> 00:05:50,860
120 градуса.

101
00:05:50,860 --> 00:05:52,440
Той е два пъти този.

102
00:05:52,440 --> 00:05:56,110
Сега ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

103
00:05:56,110 --> 00:05:58,140
разделям този ъгъл и искам само да

104
00:05:58,140 --> 00:06:01,260
спусна надолу така.

105
00:06:01,260 --> 00:06:03,310
Какви ще са тези два ъгъла?

106
00:06:03,310 --> 00:06:04,440
Е, те са 60 градуса.

107
00:06:04,440 --> 00:06:05,760
Разделям на две този ъгъл.

108
00:06:05,760 --> 00:06:10,480
Това е 60 градуса и това е 60 градуса точно тук.

109
00:06:10,480 --> 00:06:14,450
И знаем, че разделям тази страна на две.

110
00:06:14,450 --> 00:06:17,080
Това е равнобедрен триъгълник.

111
00:06:17,080 --> 00:06:19,040
Това е радиус тук.

112
00:06:19,040 --> 00:06:21,030
Радиусът r е равен на 2.

113
00:06:21,030 --> 00:06:24,530
Това тук е радиус от r = 2.

114
00:06:24,530 --> 00:06:26,090
Този целият триъгълник е симетричен.

115
00:06:26,090 --> 00:06:28,540
Ако отида право надолу към средата, 
тази дължина

116
00:06:28,540 --> 00:06:33,100
тук е тази страна разделена на две.

117
00:06:33,100 --> 00:06:36,280
Тази страна там е тази страна,
разделена на две.

118
00:06:36,280 --> 00:06:37,240
Нека начертая това тук.

119
00:06:37,240 --> 00:06:39,890
Просто ако взема равнобедрен триъгълник,
всеки равнобедрен триъгълник,

120
00:06:39,890 --> 00:06:44,850
на който тази страна е равна на тази страна.

121
00:06:44,850 --> 00:06:47,300
Тези са нашите радиуси в този пример.

122
00:06:47,300 --> 00:06:49,530
А този ъгъл е равен на този ъгъл.

123
00:06:49,530 --> 00:06:51,790
Ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

124
00:06:51,790 --> 00:06:55,260
ще разделя тази срещуположна страна на две.

125
00:06:55,260 --> 00:06:56,880
Така тези две дължини ще са равни.

126
00:06:56,880 --> 00:06:59,120
В този случай ако цялото е а, всяка от тези

127
00:06:59,120 --> 00:07:01,140
ще е а/2.

128
00:07:01,140 --> 00:07:04,420
Сега да видим как можем
да използваме това и малко от

129
00:07:04,420 --> 00:07:08,620
тригонометрията, за да открием 
взаимовръзката между а и r.

130
00:07:08,620 --> 00:07:12,050
Защото ако можем да намерим 'а',
използвайки r, тогава можем

131
00:07:12,050 --> 00:07:14,640
да заместим тази стойност на 'а'
тук и ще получим лицето

132
00:07:14,640 --> 00:07:15,690
на нашия триъгълник.

133
00:07:15,690 --> 00:07:17,600
И после можем да извадим от лицето на

134
00:07:17,600 --> 00:07:20,070
кръга и приключваме.

135
00:07:20,070 --> 00:07:22,050
Ще сме решили задачата.

136
00:07:22,050 --> 00:07:24,610
Да видим можем ли да го направим.

137
00:07:24,610 --> 00:07:29,340
Имаме ъгъл 60 градуса тук.

138
00:07:29,340 --> 00:07:32,050
Половината от този централн ъгъл тук.

139
00:07:32,050 --> 00:07:35,890
Ако този ъгъл е 60 градуса, имаме а/2, което е

140
00:07:35,890 --> 00:07:37,380
срещулежаща на този ъгъл.

141
00:07:37,380 --> 00:07:43,480
Така имаме срещулежаща, която е равна на а/2.

142
00:07:43,480 --> 00:07:44,860
Също имаме хипотенузата.

143
00:07:44,860 --> 00:07:45,040
Правилно?

144
00:07:45,040 --> 00:07:46,870
Това е правоъгълен триъгълник тук.

145
00:07:46,870 --> 00:07:49,830
Минаваш право надолу и разделяш

146
00:07:49,830 --> 00:07:50,840
срещуположната страна.

147
00:07:50,840 --> 00:07:52,640
Това е правоъгълен триъгълник.

148
00:07:52,640 --> 00:07:54,000
Може да приложим малко тригонометрия.

149
00:07:54,000 --> 00:08:02,550
Нашата срещулежаща е а/2, 
хипотенузата е равна на r.

150
00:08:02,550 --> 00:08:05,020
Това тук е хипотенузата на нашия
правоъгълен триъгълник.

151
00:08:05,020 --> 00:08:06,360
Следователно това е равно на 2.

152
00:08:06,360 --> 00:08:12,440
Какво тригонометрично отношение е 
отношението на срещулежащата

153
00:08:12,440 --> 00:08:14,920
страна на ъгъла към хипотенузата?

154
00:08:14,920 --> 00:08:18,910
Може би вече се измори от това, че 
постоянно го правя,

155
00:08:18,910 --> 00:08:22,030
но СинусКосинусТангенс...

156
00:08:22,030 --> 00:08:27,070
синусът на ъгъла е равен на 
срещулежащата

157
00:08:27,070 --> 00:08:28,620
върху хипутенузата.

158
00:08:28,620 --> 00:08:29,580
Нека да превъртя малко надолу.

159
00:08:29,580 --> 00:08:31,270
Свършва ми мястото.

160
00:08:31,270 --> 00:08:38,700
Синусът на ъгъла тук, синусът на 60 градуса, е

161
00:08:38,700 --> 00:08:42,070
равен на срещулежащата страна, която е

162
00:08:42,070 --> 00:08:45,800
равна на а/2, върху хипотенузата, което е

163
00:08:45,800 --> 00:08:48,140
нашият радиус, делено на 2.

164
00:08:48,140 --> 00:08:54,510
Което е равно на а/2 делено на 2 е а/4.

165
00:08:54,510 --> 00:08:56,880
А колко е синус от 60 градуса?

166
00:08:56,880 --> 00:08:59,720
И ако думата "синус" ти изглежда напълно непозната,

167
00:08:59,720 --> 00:09:04,150
гледай първите няколко видео урока
от раздела по тригонометрия,

168
00:09:04,150 --> 00:09:06,240
не е твърде страшна.

169
00:09:06,240 --> 00:09:08,310
Синус от 60 градуса може да си припомниш от

170
00:09:08,310 --> 00:09:10,680
триъгълниците с ъгли 30-60-90.

171
00:09:10,680 --> 00:09:13,210
Нека начертая един тук.

172
00:09:13,210 --> 00:09:15,705
Това е триъгълник 30-60-90.

173
00:09:15,705 --> 00:09:21,540
Ако това са 60 градуса, това са 
30 градуса, това са 90.

174
00:09:21,540 --> 00:09:26,660
Може да си спомняш, че 
това е с дължина 1, това е

175
00:09:26,660 --> 00:09:29,520
с дължина 1/2, а това е с дължина от

176
00:09:29,520 --> 00:09:31,370
корен квадратен от 3/2.

177
00:09:31,370 --> 00:09:35,300
Синусът от 60 градуса е 
срещулежащата страна върху хипотенузата.

178
00:09:35,300 --> 00:09:37,770
Корен квадратен от 3/2 върху 1.

179
00:09:37,770 --> 00:09:40,940
Синус от 60 градуса.

180
00:09:40,940 --> 00:09:42,840
Ако нямаш калкулатор, можеш 
просто да използваш това...

181
00:09:42,840 --> 00:09:44,930
е корен квадратен от 3 върху 2.

182
00:09:44,930 --> 00:09:48,890
Това тук е корен квадратен от 3 върху 2.

183
00:09:48,890 --> 00:09:51,280
Сега можем да намерим 'а'.

184
00:09:51,280 --> 00:09:56,920
Корен квадратен от 3 върху 2 е равно на а/4.

185
00:09:56,920 --> 00:09:59,610
Да умножим двете страни по 4.

186
00:09:59,610 --> 00:10:01,640
Така тези 4 се съкращават.

187
00:10:01,640 --> 00:10:03,445
Умножаваш по 4 тук.

188
00:10:03,445 --> 00:10:04,480
Тук става 2.

189
00:10:04,480 --> 00:10:05,660
Това става 1.

190
00:10:05,660 --> 00:10:09,250
Получаваш а = 2 по квадратен корен от 3.

191
00:10:09,250 --> 00:10:11,000
Почти на финала сме.

192
00:10:11,000 --> 00:10:15,420
Току що намерихме дължините
на всички страни.

193
00:10:15,420 --> 00:10:17,460
Използвахме Хероновата формула,
за да изчислим лицето на

194
00:10:17,460 --> 00:10:19,080
триъгълника при тези дължини.

195
00:10:19,080 --> 00:10:22,110
Просто вадим тази стойност от 'а' там,

196
00:10:22,110 --> 00:10:24,670
за да получим нашето лице.

197
00:10:24,670 --> 00:10:30,380
Лицето на нашия триъгълник 
е равно на а^2.

198
00:10:30,380 --> 00:10:31,690
Колко е а^2?

199
00:10:31,690 --> 00:10:37,780
То е 2 по корен квадратен от 3, цялото на квадрат,

200
00:10:37,780 --> 00:10:42,710
по корен квадратен от 3 върху 4.

201
00:10:42,710 --> 00:10:45,470
Току що решихме а^2 по корен квадратен от 3/4.

202
00:10:45,470 --> 00:10:51,950
Това ще е равно на 4 по 3 по

203
00:10:51,950 --> 00:10:53,930
корен квадратен от 3, върху 4.

204
00:10:53,930 --> 00:10:55,350
Тези четворки се съкращават.

205
00:10:55,350 --> 00:10:58,360
Лицето на нашия триъгълник, 
което получихме, е

206
00:10:58,360 --> 00:11:00,770
3 по корен квадратен от 3.

207
00:11:00,770 --> 00:11:03,160
Лицето тук е 3 корен квадратен от 3.

208
00:11:03,160 --> 00:11:06,480
Това е лицето на целия този триъгълник.

209
00:11:06,480 --> 00:11:08,810
Сега за да се върнем на първоначалния въпрос.

210
00:11:08,810 --> 00:11:12,970
Лицето на тази оранжева зона 
извън триъгълника

211
00:11:12,970 --> 00:11:14,530
и вътре в кръга.

212
00:11:14,530 --> 00:11:18,460
Лицето на нашия кръг е 4π.

213
00:11:18,460 --> 00:11:23,340
От това изваждаме лицето на триъгълника,

214
00:11:23,340 --> 00:11:25,170
3 корен квадратен от 3.

215
00:11:25,170 --> 00:11:27,390
И приключихме.

216
00:11:27,390 --> 00:11:28,670
Това е нашият отговор.

217
00:11:28,670 --> 00:11:35,270
Това е лицето на тази оранжева част тук.

218
00:11:35,270 --> 00:11:37,800
Както и да е, надявам се това 
да ти се стори забавно.