0:00:00.480,0:00:03.140
В това видео искам да използвам[br]някои от резултатите от

0:00:03.140,0:00:05.960
предходните няколко видео урока, за да направя[br]няколко много подредени неща.

0:00:05.960,0:00:10.000
Да кажем, че това е окръжност [br]и имаме вписан

0:00:10.000,0:00:12.130
равностранен триъгълник в нея.

0:00:12.130,0:00:17.340
Всички върхове на този триъгълник лежат на

0:00:17.340,0:00:18.825
окръжността.

0:00:18.825,0:00:24.170
Ще опитам да направя равностранен триъгълник.

0:00:24.170,0:00:26.960
Мисля, че това приблизително е най- доброто,[br]което мога да направя.

0:00:26.960,0:00:28.620
И като казвам равностранен, това означава, [br]че всички тези

0:00:28.620,0:00:29.910
страни са с еднаква дължина.

0:00:29.910,0:00:33.060
Ако това е дължината на страна 'а', [br]тогава и това е с дължина 'а',

0:00:33.060,0:00:36.610
и това също е с дължина 'а'.

0:00:36.610,0:00:44.010
Нека знаем, че радиусът [br]на окръжността е 2.

0:00:44.010,0:00:45.925
Просто избирам число,[br]за да направя решението.

0:00:45.925,0:00:49.600
Да кажем, че радиусът на [br]тази окръжност е 2.

0:00:49.600,0:00:51.700
От центъра до всяка точка

0:00:51.700,0:00:55.910
това разстояние, радиусът, [br]е равен на 2.

0:00:55.910,0:01:01.780
Сега, това което ще искам, е да използваш[br]някои от резултатите от

0:01:01.780,0:01:04.020
последните няколко видео уроци и малко основна

0:01:04.020,0:01:06.940
тригонометрия...[br]ако думата "тригонометрия" те плаши,

0:01:06.940,0:01:09.570
трябват ти само първите два [br]или три видео урока

0:01:09.570,0:01:11.710
в списъка тригонометрия,[br]за да можеш да разбереш

0:01:11.710,0:01:12.840
какво правя тук.

0:01:12.840,0:01:18.830
Това, което искам да направя тук, е да намеря [br]лицата на фигурите вътре

0:01:18.830,0:01:21.080
в окръжността и извън триъгълника.

0:01:21.080,0:01:25.690
Искам да изчисля тази малка площ, тази

0:01:25.690,0:01:30.940
площ и тези площи заедно.

0:01:30.940,0:01:33.490
Очевидният начин да го направя,[br]е да кажа, че мога

0:01:33.490,0:01:36.670
да изчисля лицето на кръга много лесно.

0:01:36.670,0:01:40.215
Лицето на кръга.

0:01:40.215,0:01:43.740
И това ще е равно на πr^2.

0:01:43.740,0:01:48.840
Или π по 2 на квадрат, което[br]е равно на 4π.

0:01:48.840,0:01:53.040
И мога да извадя от 4π лицето [br]на триъгълника.

0:01:53.040,0:01:55.450
Значи трябва да намеря лицето [br]на триъгълника.

0:01:55.450,0:02:03.900
Какво е лицето на триъгълника?

0:02:03.930,0:02:07.260
В няколко предходни видео урока [br]ти показах Хероновата формула,

0:02:07.260,0:02:10.720
където ако знаеш дължината на[br]страните на триъгълник,

0:02:10.720,0:02:12.070
можеш да намериш лицето.

0:02:12.070,0:02:14.180
Но ние все още не знаем[br]дължините на страните.

0:02:14.180,0:02:16.560
Веднъж намерим ли ги,[br]ще изчислим и лицето.

0:02:16.560,0:02:18.740
Нека да приложим Хероновата формула[br]без да я знаем.

0:02:18.740,0:02:21.950
Да кажем, че дължините на този[br]равностранен триъгълник...

0:02:21.950,0:02:23.760
дължините на страните са 'а'.

0:02:23.760,0:02:31.450
Прилагайки Хероновата формула, ние първо[br]дефинираме нашата променлива

0:02:31.450,0:02:38.220
s да бъде равна на (а + а + а)/2.

0:02:38.220,0:02:42.070
Или това е същото като 3а/2.

0:02:42.070,0:02:46.380
И след това лицето на този триъгълник,[br]изразено чрез 'a'...

0:02:46.380,0:02:52.910
Лицето ще е равно на [br]корен квадратен от s,

0:02:52.910,0:02:59.310
което е 3а/2, по (s – а).

0:02:59.310,0:03:03.820
Това е същото като 3а/2 – а.

0:03:03.820,0:03:07.060
Или мога просто да запиша 2а/2.

0:03:07.060,0:03:08.970
Правилно? а е същото като 2а/2.

0:03:08.970,0:03:10.740
Можеш да съкратиш тези[br]и да получиш а.

0:03:10.740,0:03:13.170
И после ще го направя три пъти.

0:03:13.170,0:03:16.000
И вместо просто да умножа това [br]три пъти за всяка от страните,

0:03:16.000,0:03:18.640
по Хероновата формула мога[br]просто да кажа

0:03:18.640,0:03:20.700
на трета степен.

0:03:20.700,0:03:22.000
На колко ще е равно това?

0:03:22.000,0:03:31.050
Това ще е равно на [br]корен квадратен от 3а/2.

0:03:31.050,0:03:34.070
И после това тук ще е равно

0:03:34.070,0:03:36.810
на 3а – 2а, което е 'а'.

0:03:36.810,0:03:42.010
Така а/2 на трета степен.

0:03:42.010,0:03:44.860
И това ще е равно на... произволно ще

0:03:44.860,0:03:46.490
сменя цветове.

0:03:46.490,0:03:53.560
Имаме 3а по а^3, което е 3а^4,

0:03:53.560,0:03:58.170
върху 2 по 2^3.

0:03:58.170,0:04:03.400
Е, това е 2^4, или 16.

0:04:03.400,0:04:03.680
Правилно?

0:04:03.680,0:04:07.100
2 по 2^3 е 2^4.

0:04:07.100,0:04:07.890
Това е 16.

0:04:07.890,0:04:10.660
И ако вземем корен квадратен[br]от числителя и знаменателя,

0:04:10.660,0:04:14.150
това ще е равно на корен квадратен от

0:04:14.150,0:04:16.690
а^4, което е а^2.

0:04:16.690,0:04:21.390
а^2 по... ще напиша само [br]корен квадратен от 3,

0:04:21.390,0:04:24.860
върху корен квадратен от[br]числителя, което е точно 4.

0:04:24.860,0:04:30.130
Така ако знаем а, използвайки [br]Хероновата формула намираме лицето

0:04:30.130,0:04:32.720
на този равностранен триъгълник.

0:04:32.720,0:04:35.080
Как можем да намерим 'а'?

0:04:35.080,0:04:37.770
Какво друго знаем за [br]равностранните триъгълници?

0:04:37.770,0:04:42.690
Знаем, че всички тези ъгли са равни.

0:04:42.690,0:04:45.720
И след като трябва сборът им да е 180 градуса, те

0:04:45.720,0:04:48.210
трябва да са по 60 градуса.

0:04:48.210,0:04:51.890
Това е 60 градуса, това е 60 градуса и

0:04:51.890,0:04:54.090
това е 60 градуса.

0:04:54.090,0:04:56.980
Сега да видим дали можем да използваме[br]последното видео, където говорих за

0:04:56.980,0:05:01.720
връзката между вписан ъгъл

0:05:01.720,0:05:02.800
и централен ъгъл.

0:05:02.800,0:05:04.560
Това е вписан ъгъл тук.

0:05:04.560,0:05:09.620
Неговият връх лежи на окръжността.

0:05:09.620,0:05:20.470
Така отсича дъгата тук.

0:05:20.500,0:05:25.000
А централният ъгъл, който отсича същата дъга

0:05:25.000,0:05:29.850
е този тук.

0:05:29.880,0:05:33.740
Централният ъгъл, отсичащ същата дъга,

0:05:33.740,0:05:34.960
е този тук.

0:05:34.960,0:05:39.170
Въз основа на това, което видяхме в последното видео,[br]централният ъгъл,

0:05:39.170,0:05:41.980
който отсича същата дъга, е два пъти

0:05:41.980,0:05:43.040
вписания ъгъл.

0:05:43.040,0:05:47.230
Така този ъгъл тук ще е 120 градуса.

0:05:47.230,0:05:48.860
Нека да сложа стрелка там.

0:05:48.860,0:05:50.860
120 градуса.

0:05:50.860,0:05:52.440
Той е два пъти този.

0:05:52.440,0:05:56.110
Сега ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

0:05:56.110,0:05:58.140
разделям този ъгъл и искам само да

0:05:58.140,0:06:01.260
спусна надолу така.

0:06:01.260,0:06:03.310
Какви ще са тези два ъгъла?

0:06:03.310,0:06:04.440
Е, те са 60 градуса.

0:06:04.440,0:06:05.760
Разделям на две този ъгъл.

0:06:05.760,0:06:10.480
Това е 60 градуса и това е 60 градуса точно тук.

0:06:10.480,0:06:14.450
И знаем, че разделям тази страна на две.

0:06:14.450,0:06:17.080
Това е равнобедрен триъгълник.

0:06:17.080,0:06:19.040
Това е радиус тук.

0:06:19.040,0:06:21.030
Радиусът r е равен на 2.

0:06:21.030,0:06:24.530
Това тук е радиус от r = 2.

0:06:24.530,0:06:26.090
Този целият триъгълник е симетричен.

0:06:26.090,0:06:28.540
Ако отида право надолу към средата, [br]тази дължина

0:06:28.540,0:06:33.100
тук е тази страна разделена на две.

0:06:33.100,0:06:36.280
Тази страна там е тази страна,[br]разделена на две.

0:06:36.280,0:06:37.240
Нека начертая това тук.

0:06:37.240,0:06:39.890
Просто ако взема равнобедрен триъгълник,[br]всеки равнобедрен триъгълник,

0:06:39.890,0:06:44.850
на който тази страна е равна на тази страна.

0:06:44.850,0:06:47.300
Тези са нашите радиуси в този пример.

0:06:47.300,0:06:49.530
А този ъгъл е равен на този ъгъл.

0:06:49.530,0:06:51.790
Ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

0:06:51.790,0:06:55.260
ще разделя тази срещуположна страна на две.

0:06:55.260,0:06:56.880
Така тези две дължини ще са равни.

0:06:56.880,0:06:59.120
В този случай ако цялото е а, всяка от тези

0:06:59.120,0:07:01.140
ще е а/2.

0:07:01.140,0:07:04.420
Сега да видим как можем[br]да използваме това и малко от

0:07:04.420,0:07:08.620
тригонометрията, за да открием [br]взаимовръзката между а и r.

0:07:08.620,0:07:12.050
Защото ако можем да намерим 'а',[br]използвайки r, тогава можем

0:07:12.050,0:07:14.640
да заместим тази стойност на 'а'[br]тук и ще получим лицето

0:07:14.640,0:07:15.690
на нашия триъгълник.

0:07:15.690,0:07:17.600
И после можем да извадим от лицето на

0:07:17.600,0:07:20.070
кръга и приключваме.

0:07:20.070,0:07:22.050
Ще сме решили задачата.

0:07:22.050,0:07:24.610
Да видим можем ли да го направим.

0:07:24.610,0:07:29.340
Имаме ъгъл 60 градуса тук.

0:07:29.340,0:07:32.050
Половината от този централн ъгъл тук.

0:07:32.050,0:07:35.890
Ако този ъгъл е 60 градуса, имаме а/2, което е

0:07:35.890,0:07:37.380
срещулежаща на този ъгъл.

0:07:37.380,0:07:43.480
Така имаме срещулежаща, която е равна на а/2.

0:07:43.480,0:07:44.860
Също имаме хипотенузата.

0:07:44.860,0:07:45.040
Правилно?

0:07:45.040,0:07:46.870
Това е правоъгълен триъгълник тук.

0:07:46.870,0:07:49.830
Минаваш право надолу и разделяш

0:07:49.830,0:07:50.840
срещуположната страна.

0:07:50.840,0:07:52.640
Това е правоъгълен триъгълник.

0:07:52.640,0:07:54.000
Може да приложим малко тригонометрия.

0:07:54.000,0:08:02.550
Нашата срещулежаща е а/2, [br]хипотенузата е равна на r.

0:08:02.550,0:08:05.020
Това тук е хипотенузата на нашия[br]правоъгълен триъгълник.

0:08:05.020,0:08:06.360
Следователно това е равно на 2.

0:08:06.360,0:08:12.440
Какво тригонометрично отношение е [br]отношението на срещулежащата

0:08:12.440,0:08:14.920
страна на ъгъла към хипотенузата?

0:08:14.920,0:08:18.910
Може би вече се измори от това, че [br]постоянно го правя,

0:08:18.910,0:08:22.030
но СинусКосинусТангенс...

0:08:22.030,0:08:27.070
синусът на ъгъла е равен на [br]срещулежащата

0:08:27.070,0:08:28.620
върху хипутенузата.

0:08:28.620,0:08:29.580
Нека да превъртя малко надолу.

0:08:29.580,0:08:31.270
Свършва ми мястото.

0:08:31.270,0:08:38.700
Синусът на ъгъла тук, синусът на 60 градуса, е

0:08:38.700,0:08:42.070
равен на срещулежащата страна, която е

0:08:42.070,0:08:45.800
равна на а/2, върху хипотенузата, което е

0:08:45.800,0:08:48.140
нашият радиус, делено на 2.

0:08:48.140,0:08:54.510
Което е равно на а/2 делено на 2 е а/4.

0:08:54.510,0:08:56.880
А колко е синус от 60 градуса?

0:08:56.880,0:08:59.720
И ако думата "синус" ти изглежда напълно непозната,

0:08:59.720,0:09:04.150
гледай първите няколко видео урока[br]от раздела по тригонометрия,

0:09:04.150,0:09:06.240
не е твърде страшна.

0:09:06.240,0:09:08.310
Синус от 60 градуса може да си припомниш от

0:09:08.310,0:09:10.680
триъгълниците с ъгли 30-60-90.

0:09:10.680,0:09:13.210
Нека начертая един тук.

0:09:13.210,0:09:15.705
Това е триъгълник 30-60-90.

0:09:15.705,0:09:21.540
Ако това са 60 градуса, това са [br]30 градуса, това са 90.

0:09:21.540,0:09:26.660
Може да си спомняш, че [br]това е с дължина 1, това е

0:09:26.660,0:09:29.520
с дължина 1/2, а това е с дължина от

0:09:29.520,0:09:31.370
корен квадратен от 3/2.

0:09:31.370,0:09:35.300
Синусът от 60 градуса е [br]срещулежащата страна върху хипотенузата.

0:09:35.300,0:09:37.770
Корен квадратен от 3/2 върху 1.

0:09:37.770,0:09:40.940
Синус от 60 градуса.

0:09:40.940,0:09:42.840
Ако нямаш калкулатор, можеш [br]просто да използваш това...

0:09:42.840,0:09:44.930
е корен квадратен от 3 върху 2.

0:09:44.930,0:09:48.890
Това тук е корен квадратен от 3 върху 2.

0:09:48.890,0:09:51.280
Сега можем да намерим 'а'.

0:09:51.280,0:09:56.920
Корен квадратен от 3 върху 2 е равно на а/4.

0:09:56.920,0:09:59.610
Да умножим двете страни по 4.

0:09:59.610,0:10:01.640
Така тези 4 се съкращават.

0:10:01.640,0:10:03.445
Умножаваш по 4 тук.

0:10:03.445,0:10:04.480
Тук става 2.

0:10:04.480,0:10:05.660
Това става 1.

0:10:05.660,0:10:09.250
Получаваш а = 2 по квадратен корен от 3.

0:10:09.250,0:10:11.000
Почти на финала сме.

0:10:11.000,0:10:15.420
Току що намерихме дължините[br]на всички страни.

0:10:15.420,0:10:17.460
Използвахме Хероновата формула,[br]за да изчислим лицето на

0:10:17.460,0:10:19.080
триъгълника при тези дължини.

0:10:19.080,0:10:22.110
Просто вадим тази стойност от 'а' там,

0:10:22.110,0:10:24.670
за да получим нашето лице.

0:10:24.670,0:10:30.380
Лицето на нашия триъгълник [br]е равно на а^2.

0:10:30.380,0:10:31.690
Колко е а^2?

0:10:31.690,0:10:37.780
То е 2 по корен квадратен от 3, цялото на квадрат,

0:10:37.780,0:10:42.710
по корен квадратен от 3 върху 4.

0:10:42.710,0:10:45.470
Току що решихме а^2 по корен квадратен от 3/4.

0:10:45.470,0:10:51.950
Това ще е равно на 4 по 3 по

0:10:51.950,0:10:53.930
корен квадратен от 3, върху 4.

0:10:53.930,0:10:55.350
Тези четворки се съкращават.

0:10:55.350,0:10:58.360
Лицето на нашия триъгълник, [br]което получихме, е

0:10:58.360,0:11:00.770
3 по корен квадратен от 3.

0:11:00.770,0:11:03.160
Лицето тук е 3 корен квадратен от 3.

0:11:03.160,0:11:06.480
Това е лицето на целия този триъгълник.

0:11:06.480,0:11:08.810
Сега за да се върнем на първоначалния въпрос.

0:11:08.810,0:11:12.970
Лицето на тази оранжева зона [br]извън триъгълника

0:11:12.970,0:11:14.530
и вътре в кръга.

0:11:14.530,0:11:18.460
Лицето на нашия кръг е 4π.

0:11:18.460,0:11:23.340
От това изваждаме лицето на триъгълника,

0:11:23.340,0:11:25.170
3 корен квадратен от 3.

0:11:25.170,0:11:27.390
И приключихме.

0:11:27.390,0:11:28.670
Това е нашият отговор.

0:11:28.670,0:11:35.270
Това е лицето на тази оранжева част тук.

0:11:35.270,0:11:37.800
Както и да е, надявам се това [br]да ти се стори забавно.