WEBVTT 00:00:00.292 --> 00:00:04.448 I den grundlæggende aritmetik regner vi med reelle tal. 00:00:04.592 --> 00:00:07.514 Det kan eksempelvis være 23 plus 5. 00:00:07.514 --> 00:00:10.022 Det er velkendte tal, og vi kan let regne ud, hvad det giver. 00:00:10.099 --> 00:00:11.661 Det giver 28. 00:00:11.661 --> 00:00:13.898 Vi kan også udregne 2 gange 7. 00:00:13.898 --> 00:00:17.476 Vi kan sige 3 divideret med 4. 00:00:17.476 --> 00:00:20.812 I alle disse tilfælde ved vi præcis, hvilke tal vi regner med. 00:00:20.872 --> 00:00:23.776 Når vi bevæger os ind i den algebraiske verden, 00:00:23.776 --> 00:00:25.873 som man måske allerede så småt er introduceret til, 00:00:25.873 --> 00:00:30.051 skal man arbejde med variable. 00:00:30.051 --> 00:00:32.225 Der er flere måder at tænke på variable på, 00:00:32.283 --> 00:00:34.502 men de er i virkeligheden symboler, 00:00:34.502 --> 00:00:36.252 som kan have forskellige værdier. 00:00:36.252 --> 00:00:38.145 Værdierne af sådanne udtryk kan ændres. 00:00:38.145 --> 00:00:42.201 Vi kan eksempelvis skrive 00:00:42.201 --> 00:00:44.781 x plus 5. 00:00:44.781 --> 00:00:46.647 Det er et algebraisk udtryk, 00:00:46.647 --> 00:00:48.305 som kan have forskellige værdier, 00:00:48.305 --> 00:00:51.466 fordi det afhænger af værdien for x. 00:00:51.466 --> 00:00:56.656 Hvis x er lig med 1, 00:00:56.656 --> 00:01:01.723 hvad er x plus 5 så lig med? 00:01:02.924 --> 00:01:04.125 Det er vores udtryk. 00:01:04.125 --> 00:01:07.070 Når vi sætter 1 ind på x's plads, får vi 00:01:07.070 --> 00:01:08.321 1 plus 5. 00:01:08.321 --> 00:01:11.101 I det tilfælde er x plus 5 altså lig med 6. 00:01:11.101 --> 00:01:16.821 Hvis x er lig med minus 7. 00:01:16.821 --> 00:01:22.183 så er x plus 5 lig med, 00:01:22.183 --> 00:01:24.120 minus 7 plus 5. 00:01:24.120 --> 00:01:28.842 Det giver minus 2. 00:01:28.842 --> 00:01:32.010 Læg mærke til, at x er en variabel. 00:01:32.010 --> 00:01:34.019 x er en variabel, 00:01:34.019 --> 00:01:37.705 og dens værdi kan ændres. 00:01:37.705 --> 00:01:39.946 Den indgår i et udtryk. 00:01:39.946 --> 00:01:42.174 Vi kommer også til at se variable i forbindelse med ligninger. 00:01:42.174 --> 00:01:46.760 Det er faktisk vigtigt at skelne mellem udtryk og ligninger. 00:01:46.897 --> 00:01:51.688 Et udtryk er nogle værdier, som kan udregnes. 00:01:51.734 --> 00:01:54.327 Vi kan skrive nogle udtryk her. 00:01:54.327 --> 00:01:56.639 Vi har allerede set et eksempel på et algebraisk udtryk i den her video. 00:01:56.639 --> 00:01:57.976 Vi har set på x plus 5. 00:01:57.976 --> 00:01:59.260 x plus 5 er et udtryk. 00:01:59.260 --> 00:02:03.559 Værdien af dette udtryk ændres, når værdien af x ændres, 00:02:03.559 --> 00:02:05.745 fordi x er den variable. 00:02:05.745 --> 00:02:09.058 Vi kan udregnet udtrykket for forskellige værdier af x. 00:02:09.058 --> 00:02:11.270 Lad os se på et andet eksempel på et udtryk. 00:02:11.270 --> 00:02:13.150 y plus z er også et udtryk. 00:02:13.150 --> 00:02:14.340 Nu er der kun variable i udtrykket. 00:02:14.340 --> 00:02:16.554 Hvis y er 1, og z er 2, 00:02:16.554 --> 00:02:18.560 så er udtrykket lig med 1 plus 2. 00:02:18.560 --> 00:02:21.392 Hvis y er 0, og z er minus 1, 00:02:21.392 --> 00:02:24.068 så er udtrykket lig med 0 plus minus 1. NOTE Paragraph 00:02:24.068 --> 00:02:25.897 Vi kan udregne dem alle, 00:02:25.897 --> 00:02:27.416 og de giver en værdi, 00:02:27.416 --> 00:02:30.811 der afhænger af værdierne for hver af de to variable, 00:02:30.811 --> 00:02:32.327 som indgår i udtrykket. 00:02:32.327 --> 00:02:35.423 I en ligning er to udtryk sat lig med hinanden. 00:02:35.472 --> 00:02:38.100 Det er derfor de kaldes ligninger. 00:02:38.100 --> 00:02:40.122 Vi sætter to udtryk lig med hinanden. 00:02:40.122 --> 00:02:44.611 I en ligning er et udtryk altså lig med et andet udtryk. 00:02:44.643 --> 00:02:51.914 Vi kunne eksempelvis have ligningen x plus 3 er lig med 1. 00:02:52.062 --> 00:02:54.459 I dette tilfælde har vi en ligning med kun en variabel. 00:02:54.459 --> 00:02:57.883 Vi siger også, at det er en ligning med en ukendt. 00:02:57.883 --> 00:02:59.273 Vi kan faktisk finde ud af, 00:02:59.273 --> 00:03:01.622 hvad x skal være for, at ligningen er opfyldt. 00:03:01.622 --> 00:03:03.210 Vi kan gætte os til svaret. 00:03:03.210 --> 00:03:05.327 Et eller andet tal plus 3 er lig med 1? 00:03:05.327 --> 00:03:06.432 Hvad kan det tal mon være? 00:03:06.432 --> 00:03:08.871 Hvis vi har minus 2 og lægger 3 til, er det lig med 1. 00:03:08.871 --> 00:03:12.033 Ligningen sætter altså nogle begrænsninger for, 00:03:12.033 --> 00:03:15.134 hvilken værdi den variable kan have. 00:03:15.134 --> 00:03:17.411 Det behøver dog ikke nødvendigvis kun være en værdi. 00:03:17.411 --> 00:03:18.932 Vi kan have et udtryk som, 00:03:18.932 --> 00:03:25.734 x plus y plus z er lig med 5. 00:03:25.734 --> 00:03:29.307 I den her ligning er et udtryk igen sat lig med et andet udtryk. 00:03:29.368 --> 00:03:31.645 5 kan her opfattes som et udtryk, 00:03:31.645 --> 00:03:32.901 og der er nogle begrænsninger. 00:03:32.901 --> 00:03:35.004 Hvis nogen fortæller os, hvad y og z er, 00:03:35.004 --> 00:03:36.314 kan vi udregne værdien af x. 00:03:36.314 --> 00:03:38.226 Hvis nogen fortæller os, hvad x og y er, 00:03:38.226 --> 00:03:39.925 kan vi udregne værdien af z. 00:03:39.925 --> 00:03:42.781 Svaret afhænger dog af, hvilke værdier variablerne har. 00:03:42.860 --> 00:03:51.637 Vi kan eksempelvis sige, at y er 3, og z er 2. 00:03:51.637 --> 00:03:53.393 Hvad er x så? 00:03:53.393 --> 00:03:57.255 Hvis y er 3, og z er 2, 00:03:57.255 --> 00:04:00.361 så kan vi regne ud, at udtrykket til venstre bliver: 00:04:00.487 --> 00:04:04.870 x plus 3 plus 2. Det er det samme som x plus 5. 00:04:04.998 --> 00:04:06.813 Den højre side forbliver bare 5. 00:04:06.813 --> 00:04:08.975 x plus 5 er altså lig med 5. 00:04:08.975 --> 00:04:11.198 Et eller andet tal plus 5 er lig med 5? 00:04:11.198 --> 00:04:14.862 Nu er x begrænset til en enkelt værdi.Hvad kan x være? 00:04:14.908 --> 00:04:16.938 x kan kun være 0. 00:04:16.938 --> 00:04:19.050 Det vigtigste er, at vi indser, 00:04:19.050 --> 00:04:20.712 hvad forskellen mellem et udtryk og en ligning er. 00:04:20.803 --> 00:04:23.650 En ligning er to udtryk, som er sat lig med hinanden. 00:04:23.669 --> 00:04:31.291 En vigtig pointe er, at en variabel kan have forskellige værdier. 00:04:31.365 --> 00:04:35.162 For at gøre det helt klart, så lad os udregne nogle udtryk, 00:04:35.218 --> 00:04:38.056 hvor de variable har forskellige værdier. 00:04:38.056 --> 00:04:43.195 Vi har udtrykket 00:04:43.309 --> 00:04:47.799 x opløftet i y. 00:04:47.799 --> 00:04:51.955 Hvis x er lig med 5, 00:04:51.955 --> 00:04:54.311 og y er lig med 2. 00:04:54.311 --> 00:04:55.791 kan vi finde værdien af vores udtryk. 00:04:55.791 --> 00:04:58.908 Hvad er værdien af udtrykket? 00:04:58.908 --> 00:05:02.859 x er 5. 00:05:02.888 --> 00:05:04.363 y er 2. 00:05:04.363 --> 00:05:06.612 Det er altså det samme som x i anden. 00:05:06.612 --> 00:05:08.154 Det kan vi udregne. 00:05:08.154 --> 00:05:09.785 Det giver 25. 00:05:09.785 --> 00:05:11.633 Lad os prøve at ændre de variables værdier. 00:05:11.633 --> 00:05:14.360 Det bruger vi en anden farve til. 00:05:14.360 --> 00:05:16.292 x er nu lig med minus 2, 00:05:16.292 --> 00:05:20.965 og y er lig med 3. 00:05:20.965 --> 00:05:24.772 Vi kan igen udregne værdien 00:05:24.772 --> 00:05:30.331 af vores udtryk. 00:05:30.469 --> 00:05:34.032 Vi skriver minus 2 på x's plads. 00:05:34.032 --> 00:05:36.606 x er nu lig med minuz 2. 00:05:36.705 --> 00:05:38.172 y er 3. 00:05:38.172 --> 00:05:42.080 Vi har derfor minus 2 i tredje. 00:05:42.080 --> 00:05:44.577 Det er det samme som minus 2 gange minus 2 gange minus 2. 00:05:44.577 --> 00:05:46.895 Det er minus 8. 00:05:46.895 --> 00:05:48.567 MInus 2 gange minus 2 er plus 4. 00:05:48.567 --> 00:05:52.154 Plus 4 gange minus 2 er lig med minus 8. 00:05:52.154 --> 00:05:53.367 Det hele er altså lig med minus 8. 00:05:53.367 --> 00:05:55.713 Udtrykkets værdi afhænger af de variables værdier. 00:05:55.713 --> 00:05:58.280 Vi kan også regne nogle endnu sværere udtryk. 00:05:58.280 --> 00:05:59.681 Vi kan tage dette udtryk 00:05:59.681 --> 00:06:06.609 kvadratroden af x plus y, og derefter minus x. 00:06:06.609 --> 00:06:11.878 Vi siger, at x er lig med 1, 00:06:11.878 --> 00:06:16.013 og y er lig med 8. 00:06:16.013 --> 00:06:18.571 Vi kan nu udregne udtrykket. 00:06:18.571 --> 00:06:21.422 Hver gang vi ser et x, indsætter vi 1 i stedet for x, 00:06:21.422 --> 00:06:23.008 Vi har et 1-tal der, 00:06:23.008 --> 00:06:24.812 og vi har et 1-tal til sidst. 00:06:24.812 --> 00:06:26.746 Hver gang vi har et y, 00:06:26.746 --> 00:06:28.413 indsætter vi 8. 00:06:28.413 --> 00:06:30.819 Vi kender værdierne af de variable, og indsætter dem i udtrykket. 00:06:30.819 --> 00:06:32.087 Vi indsætter 8 i stedet for y. 00:06:32.087 --> 00:06:34.611 Under kvadratrodstegnet har vi 1 plus 8. 00:06:34.611 --> 00:06:37.821 Kvadratroden af 9 er 3, 00:06:37.821 --> 00:06:40.974 så vi kan reducere i det her tilfælde. 00:06:40.974 --> 00:06:43.119 Når vi indsætter værdierne for de to variable, 00:06:43.119 --> 00:06:45.586 reduceres kvadratroden til 3, 00:06:45.586 --> 00:06:46.503 fordi 1 plus 8 er 9, 00:06:46.503 --> 00:06:48.685 og kvadratroden af 9 er 3. 00:06:48.685 --> 00:06:50.769 Nu står der 3 minus 1. 00:06:50.769 --> 00:06:52.941 Det er lig med 2. 00:06:52.941 --> 00:06:54.141 Vi er færdige.